專題48解答題最常考題型一次函數(shù)的實際應(yīng)用（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一利潤最大問題

1．（2022?南通）某水果店購進(jìn)甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價分別為8元/kg、12元/kg，這兩種蘋果的銷售額y（單

位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．

（1）寫出圖中點B表示的實際意義；

（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式，并寫出x

的取值范圍；

（3）若不計損耗等因素，當(dāng)甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時，它們的利潤和為1500元，求a的值．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圖形即可得出結(jié)論；

（2）用待定那個系數(shù)法分別求出甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的

函數(shù)解析式即可；

（3）分0≤a≤30和30＜a≤120兩種情況列方程求解即可．

解：（1）圖中點B表示的實際意義為當(dāng)銷量為60kg時，甲、乙兩種蘋果的銷售額均為1200元；

（2）設(shè)甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y甲＝kx（k≠0），

把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，

解得k＝20，

∴甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y甲＝20x（0≤x≤120）；

當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y乙＝k′

x（k′≠0），

把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，

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解得：k′＝25，

∴y乙＝25x；

當(dāng)30≤x≤120時，設(shè)乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y乙＝

mx+n（m≠0），

則，

30?+?=750

解得60：?+?=1，200

?=15

∴y乙＝1?5=x+3000，

綜上，乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y乙

；

＜

25?(0≤?≤30)

=

（3）15①?+當(dāng)3000≤(3a0≤3?0時≤，120)

根據(jù)題意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，

解得：a＝60＞30，不合題意；

②當(dāng)30＜a≤120時，

根據(jù)題意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，

解得：a＝80，

綜上，a的值為80．

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一

次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．

2．（2022?內(nèi)蒙古）某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會紀(jì)念品．若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5

件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．

（1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價；

（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量

不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨

方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)某商店購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需a元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需b元，根據(jù)條件建立二元

一次方程組求出其解即可；

（2）設(shè)某商店購進(jìn)A種紀(jì)念品x個，購進(jìn)B種紀(jì)念品y個，根據(jù)條件的數(shù)量關(guān)系建立不等式組求出其解

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即可；

（3）設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤＝兩種商品的利潤之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求值即

可．

解：（1）設(shè)該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需a元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需b元，

由題意，得，

10?+5?=1000

解得5，?+3?=550

?=50

∴該商?店=購10進(jìn)0A種紀(jì)念品每件需50元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需100元；

（2）設(shè)該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品x個，購進(jìn)B種紀(jì)念品y個，

根據(jù)題意，得50x+100y＝10000，

由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，

把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，

∵y≥20，

∴20≤y≤25且為正整數(shù)，

∴y可取得的正整數(shù)值是20，21，22，23，24，25，

與y相對應(yīng)的x可取得的正整數(shù)值是160，158，156，154，152，150，

∴共有6種進(jìn)貨方案；

（3）設(shè)總利潤為W元，

則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，

∵﹣10＜0，

∴W隨y的增大而減小，

∴當(dāng)y＝20時，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），

∴當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)、一元一次不等式解實際問題的運用，解答時求出A，B兩種紀(jì)念品的

單價是關(guān)鍵．

3．（2022?蘇州）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進(jìn)水果的情況如表所示：

進(jìn)貨批次甲種水果質(zhì)量乙種水果質(zhì)量總費用

（單位：千克）（單位：千克）（單位：元）

第一次60401520

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第二次30501360

（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價；

（2）銷售完前兩次購進(jìn)的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進(jìn)甲、乙兩種水果

共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進(jìn)價銷售，

剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進(jìn)的200千克水果全

部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)m的最大值．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價為每千克a元，乙種水果的進(jìn)價為每千克b元．構(gòu)建方程組求解；

（2）設(shè)第三次購進(jìn)x千克甲種水果，則購進(jìn)（200﹣x）千克乙種水果．由題意，得12x+20（200﹣x）≤

3360，解得x≥80．設(shè)獲得的利潤為w元，由題意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200

﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解：（1）設(shè)甲兩種水果的進(jìn)價為每千克a元，乙兩種水果的進(jìn)價為每千克b元．

由題意，得，

60?+40?=1520

解得，30?+50?=1360

?=12

答：甲?種=水20果的進(jìn)價為每千克12元，乙種水果的進(jìn)價為每千克20元．

（2）設(shè)第三次購進(jìn)x千克甲種水果，則購進(jìn)（200﹣x）千克乙種水果．

由題意，得12x+20（200﹣x）≤3360，

解得x≥80．

設(shè)獲得的利潤為w元，

由題意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，

∵﹣5＜0，

∴w隨x的增大而減小，

∴x＝80時，w的值最大，最大值為﹣35m+1600，

由題意，得﹣35m+1600≥800，

解得m，

160

∴m的最≤大7整數(shù)值為22．

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組不等式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建

方程或不等式解決問題，屬于中考常考題型．

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4．（2022?衡陽）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧

會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶．決定從該

網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售．第一次小雅用1400元購進(jìn)了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進(jìn)1個冰墩

墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20

元．

（1）求兩種玩偶的進(jìn)貨價分別是多少？

（2）第二次小雅進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍．小雅計

劃購進(jìn)兩種玩偶共40個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)用1400元購進(jìn)了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，購進(jìn)1個冰墩墩玩偶和1個

雪容融玩偶共需136元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）根據(jù)題意可以寫出利潤和冰墩墩數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超

過雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍，可以求得購買冰墩墩數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可

得到利潤的最大值．

解：（1）設(shè)冰墩墩的進(jìn)價為x元/個，雪容融的進(jìn)價為y元/個，

由題意可得：，

15?+5?=1400

解得，?+?=136

?=72

答：冰?墩=墩64的進(jìn)價為72元/個，雪容融的進(jìn)價為64元/個；

（2）設(shè)冰墩墩購進(jìn)a個，則雪容融購進(jìn)（40﹣a）個，利潤為w元，

由題意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，

∴w隨a的增大而增大，

∵網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的1.5倍，

∴a≤1.5（40﹣a），

解得a≤24，

∴當(dāng)a＝24時，w取得最大值，此時w＝992，40﹣a＝16，

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答：冰墩墩購進(jìn)24個，雪容融購進(jìn)16個時才能獲得最大利潤，最大利潤是992元．

總結(jié)提升：本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)

的方程組，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

5．（2022?東營）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售．經(jīng)了解，甲水果的

進(jìn)價比乙水果的進(jìn)價低20%，水果店用1000元購進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克，

已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克．

（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價分別是多少？

（2）若水果店購進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店

應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價為x元，則甲種水果的進(jìn)價為（1﹣20%）x元，由題意：用1000元購

進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果（150﹣m）千克，利潤為w元，由題意得w＝﹣m+450，再

由甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出

結(jié)論．

解：（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價為x元，則甲種水果的進(jìn)價為（1﹣20%）x元，

由題意得：，

10001200

=+10

解得：x＝5，(1?20%)??

經(jīng)檢驗：x＝5是原方程的解，且符合題意，

則5×（1﹣20%）＝4，

答：甲種水果的進(jìn)價為4元，則乙種水果的進(jìn)價為5元；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果（150﹣m）千克，利潤為w元，

由題意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，

∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，

∴m≥2（150﹣m），

解得：m≥100，

∵﹣1＜0，則w隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m＝100時，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，

則150﹣m＝50，

答：購進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克才能獲得最大利潤，最大利潤為350元．

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總結(jié)提升：本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

6．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)

銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品

進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/kg和18元/kg．

（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，

且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單

位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計出獲得最大利潤的進(jìn)

貨方案；

（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進(jìn)貨方案下，

甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大

值．

思路引領(lǐng)：（1）分當(dāng)0≤x≤2000時，當(dāng)x＞2000時，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)題意可知，分當(dāng)1600≤x≤2000時，當(dāng)2000＜x≤4000時，分別列出w與x的函數(shù)關(guān)系式，根

據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)題意可知，降價后，w與x的關(guān)系式，并根據(jù)利潤不低于15000，可得出a的取值范圍．

解：（1）當(dāng)0≤x≤2000時，設(shè)y＝k′x，根據(jù)題意可得，2000k′＝30000，

解得k′＝15，

∴y＝15x；

當(dāng)x＞2000時，設(shè)y＝kx+b，

根據(jù)題意可得，，

2000?+?=30000

解得，4000?+?=56000

?=13

?=4000

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∴y＝13x+4000．

∴y．

＞

15?(0≤?≤2000)

=

（2）根1據(jù)3?題+意40可00知(?，購2進(jìn)00甲0)種產(chǎn)品（6000﹣x）千克，

∵1600≤x≤4000，

當(dāng)1600≤x≤2000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）?x＝﹣x+24000，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝1600時，w的最大值為﹣1×1600+24000＝22400（元）；

當(dāng)2000＜x≤4000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，

∵1＞0，

∴當(dāng)x＝4000時，w的最大值為4000+20000＝24000（元），

綜上，w；

＜

??+24000(1600≤?≤2000)

=

當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品?+2020000千00克(2，00乙0產(chǎn)?品≤440000千)克時，利潤最大為24000元．

（3）根據(jù)題意可知，降價后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）

x+20000﹣6000a，

當(dāng)x＝4000時，w取得最大值，

∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．

∴a的最大值為0.9．

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式．

類型二費用最少問題

7．（2022?鋼城區(qū)）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵

乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元．

（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？

（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍．則購買甲、乙兩

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種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價格是x元，乙種樹苗每棵的價格是y元，可得：，

20?+16?=1280

即可解得甲種樹苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；???=10

（2）設(shè)購買兩種樹苗共花費w元，購買甲種樹苗m棵，根據(jù)購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3

倍，得m≥25，而w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，由一次函數(shù)性質(zhì)可得購買甲種樹苗25棵，則購

買乙種樹苗75棵，花費最少．

解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價格是x元，乙種樹苗每棵的價格是y元，

根據(jù)題意得：，

20?+16?=1280

解得，???=10

?=40

答：甲?種=樹30苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；

（2）購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費最少，理由如下：

設(shè)購買兩種樹苗共花費w元，購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗（100﹣m）棵，

∵購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，

∴100﹣m≤3m，

解得m≥25，

根據(jù)題意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，

∵10＞0，

∴w隨m的增大而增大，

∴m＝25時，w取最小值，最小值為10×25+3000＝3250（元），

此時100﹣m＝75，

答：購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費最少．

總結(jié)提升：本題考查二元一次方程組及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和函數(shù)關(guān)

系式．

8．（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，

已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300

元．

（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？

（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為

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70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，

應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據(jù)題意列出關(guān)于x、

y的二元一次方程組，求解即可；

（2）設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，則種植B種花卉的數(shù)量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費用

為w元，由題意：這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再

由題意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據(jù)題意，

得：，

3?+4?=330

解得：4?+3?=，300

?=30

答：每盆?=A種60花卉種植費用為30元，每盆B種花卉種植費用為60元；

（2）設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，則種植B種花卉的數(shù)量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費用

為w元，

根據(jù)題意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，

解得：m≤200，

w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，

∵﹣30＜0，

∴w隨m的增大而減小，

當(dāng)m＝200時，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，

答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用為18000元．

總結(jié)提升：本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

9．（2022?濟(jì)寧）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨

車載重量及到A，B兩地的運輸成本如表：

貨車類型載重量（噸/輛）運往A地的成本（元/運往B地的成本（元/

輛）輛）

甲種161200900

乙種121000750

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（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設(shè)

甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．

①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；

②當(dāng)t為何值時，w最小？最小值是多少？

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲種貨車用了x輛，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲種貨車用了10輛，乙

種貨車用了14輛；

（2）①根據(jù)題意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500

②根據(jù)前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，可得4≤t≤10，由一次函數(shù)性質(zhì)

可得當(dāng)t為4時，w最小，最小值是22700元．

解：（1）設(shè)甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了（24﹣x）輛，

根據(jù)題意得：16x+12（24﹣x）＝328，

解得x＝10，

∴24﹣x＝24﹣10＝14，

答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛；

（2）①根據(jù)題意得：

w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500

∴w與t之間的函數(shù)解析式是w＝50t+22500；

②∵?≥0，

12??≥0

10??≥0

∴0≤t≤1410?，(12??)≥0

∵前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，

∴16t+12（12﹣t）≥160，

解得t≥4，

∴4≤t≤10，

在w＝50t+22500中，

∵50＞0，

∴w隨t的增大而增大，

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∴t＝4時，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），

答：當(dāng)t為4時，w最小，最小值是22700元．

總結(jié)提升：本題考查一元一次方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式．

10．（2022?深圳）某學(xué)校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型

的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數(shù)量與用120元購買的乙種類型的數(shù)量一樣．

（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價．

（2）該學(xué)校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數(shù)量不超過甲的3倍，則購買的最低

費用是多少．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，根據(jù)用110元購買

的甲種類型的數(shù)量與用120元購買的乙種類型的數(shù)量一樣列方程，從而可解決問題；

（2）設(shè)甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100﹣a）件，列出w關(guān)于a

的函數(shù)解析式，由一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解：（1）設(shè)甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，

由題意得，，

110120

=

解得x＝11，??+1

經(jīng)檢驗x＝11是原方程的解，且符合題意，

∴乙類型的筆記本單價為x+1＝11+1＝12（元），

答：甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元；

（2）設(shè)甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100﹣a）件，

∵購買的乙的數(shù)量不超過甲的3倍，

∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，

解得25≤a≤100，

根據(jù)題意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，

∵﹣1＜0，

∴w隨a的增大而減小，

∴a＝100時，w最小值為﹣100+1200＝1100（元），

答：最低費用為1100元．

總結(jié)提升：本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的運用等知識，根據(jù)題

意，列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

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11．（2022?十堰）某商戶購進(jìn)一批童裝，40天銷售完畢．根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）與銷售

，＜

時間x（天）之間的關(guān)系式是y，銷售單價p（元/件）與銷售時間x（天）之

，＜

2?0?≤30

=

間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．?6?+24030?≤40

（1）第15天的日銷售量為30件；

（2）0＜x≤30時，求日銷售額的最大值；

（3）在銷售過程中，若日銷售量不低于48件的時間段為“火熱銷售期”，則“火熱銷售期”共有多少天？

思路引領(lǐng)：（1）利用日銷售量y（件）與銷售時間x（天）之間的關(guān)系式，將x＝15代入對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系

式中即可；

（2）利用分類討論的方法，分①當(dāng)0＜x≤20時，②當(dāng)20＜x≤30時兩種情形解答：利用日銷售額＝日

銷售量×銷售單價計算出日銷售額，再利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

（3）利用分類討論的方法，分①當(dāng)0＜x≤20時，②當(dāng)20＜x≤30時兩種情形解答：利用已知條件列出

不等式，求出滿足條件的x的范圍，再取整數(shù)解即可．

，＜

解：（1）∵日銷售量y（件）與銷售時間x（天）之間的關(guān)系式是y，

，＜

2?0?≤30

=

∴第15天的銷售量為2×15＝30件，?6?+24030?≤40

故答案為：30；

（2）由銷售單價p（元/件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)圖象得：

＜

p，

40(0?≤2＜0)

=1

①當(dāng)500＜?x2≤?(2200時，?≤40)

日銷售額＝40×2x＝80x，

∵80＞0，

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∴日銷售額隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝20時，日銷售額最大，最大值為80×20＝1600（元）；

②當(dāng)20＜x≤30時，

日銷售額＝（50x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，

1

∵﹣1＜0，?2

∴當(dāng)x＜50時，日銷售額隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝30時，日銷售額最大，最大值為2100（元），

綜上，當(dāng)0＜x≤30時，日銷售額的最大值為2100元；

（3）由題意得：

當(dāng)0＜x≤30時，2x≥48，

解得：24≤x≤30，

當(dāng)30＜x≤40時，﹣6x+240≥48，

解得：30＜x≤32，

∴當(dāng)24≤x≤32時，日銷售量不低于48件，

∵x為整數(shù)，

∴x的整數(shù)值有9個，

∴“火熱銷售期”共有9天．

總結(jié)提升：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，配方法求函數(shù)的極值，

正確利用自變量的取值范圍確定函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

12．（2022?通遼）為落實“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買

一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：

甲：所有商品按原價8.5折出售；

乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．

設(shè)需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數(shù)圖

象如圖所示．

（1）分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）兩圖象交于點A，求點A坐標(biāo)；

（3）請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．

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思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以分別寫出y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和題意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相應(yīng)的y的值，即可得到點A

的坐標(biāo)．

（3）根據(jù)函數(shù)圖象和（2）中點A的坐標(biāo)，可以寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．

解：（1）由題意可得，

y甲＝0.85x，

當(dāng)0≤x≤300時，y乙＝x，

當(dāng)x＞300時，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，

則y乙；

＞

?(0≤?≤300)

=

（2）令00.8.75?x＝+09.07x+(9?0，300)

解得x＝600，

將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，

即點A的坐標(biāo)為（600，510）；

（3）由圖象可得，

當(dāng)x＜600時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當(dāng)x＝600時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣

合算；當(dāng)x＞600時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算．

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

13．（2022?廣安）某企業(yè)下屬A、B兩廠向甲乙兩地運送水泥共520噸，A廠比B廠少運送20噸，從A廠

運往甲乙兩地的運費分別為40元/噸和35元/噸，從B廠運往甲乙兩地的運費分別為28元/噸和25元/噸．

（1）求A、B兩廠各運送多少噸水泥；

（2）現(xiàn)甲地需要水泥240噸，乙地需要水泥280噸．受條件限制，B廠運往甲地的水泥最多150噸．設(shè)

從A廠運往甲地a噸水泥，A、B兩廠運往甲乙兩地的總運費為w元．求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，請

你為該企業(yè)設(shè)計一種總運費最低的運輸方案，并說明理由．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)A廠運送水泥x噸，則B廠運送水泥（x+20）噸，根據(jù)A、B兩廠向甲乙兩地運送水

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泥共520噸列出方程，解方程即可；

（2）設(shè)從A廠運往甲地水泥a噸，則A廠運往乙地水泥（250﹣a）噸，B廠運往甲地水泥（240﹣a）

噸，B廠運往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）噸，然后根據(jù)題意列出總費用w關(guān)于a的函數(shù)解析

式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，以及此時a的值．

解：（1）設(shè)A廠運送水泥x噸，則B廠運送水泥（x+20）噸，

根據(jù)題意得：x+x+20＝520，

解得：x＝250，

此時x+20＝270，

答：A廠運送水泥250噸，B廠運送水泥270噸；

（2）設(shè)從A廠運往甲地水泥a噸，則A廠運往乙地水泥（250﹣a）噸，B廠運往甲地水泥（240﹣a）

噸，B廠運往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）噸，

由題意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝

2a+16220，

∵B廠運往甲地的水泥最多150噸，

∴240﹣a≤150，

解得：a≥90，

∵2＞0，

∴w隨a的增大而增大，

∴當(dāng)a＝90時，總運費最低，

最低運費為：2×90+16220＝16400（元），

∴最低運送方案為A廠運往甲地水泥90噸，運往乙地水泥160噸：B廠運往甲地水泥150噸，B廠運往

乙地水泥120噸，最低運費為16400元．

總結(jié)提升：此題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，求得一次函

數(shù)解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

14．（2022?遵義）遵義市開展信息技術(shù)與教學(xué)深度融合的“精準(zhǔn)化教學(xué)”，某實驗學(xué)校計劃購買A，B兩種

型號教學(xué)設(shè)備，已知A型設(shè)備價格比B型設(shè)備價格每臺高20%，用30000元購買A型設(shè)備的數(shù)量比用

15000元購買B型設(shè)備的數(shù)量多4臺．

（1）求A，B型設(shè)備單價分別是多少元；

（2）該校計劃購買兩種設(shè)備共50臺，要求A型設(shè)備數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的．設(shè)購買a臺A型設(shè)

1

3

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備，購買總費用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購買費用．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)每臺B型設(shè)備的價格為x元，則每臺A型號設(shè)備的價格為1.2x元，根據(jù)“用30000元

購買A型設(shè)備的數(shù)量比用15000元購買B型設(shè)備的數(shù)量多4臺”建立方程，解方程即可．

（2）根據(jù)總費用＝購買A型設(shè)備的費用+購買B型設(shè)備的費用，可得出w與a的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)兩

種設(shè)備的數(shù)量關(guān)系得出a的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)每臺B型設(shè)備的價格為x元，則每臺A型號設(shè)備的價格為1.2x元，

根據(jù)題意得，4，

3000015000

=+

解得：x＝25001．.2??

經(jīng)檢驗，x＝2500是原方程的解．

∴1.2x＝3000，

∴每臺B型設(shè)備的價格為2500元，則每臺A型號設(shè)備的價格為3000元．

（2）設(shè)購買a臺A型設(shè)備，則購買（50﹣a）臺B型設(shè)備，

∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，

由實際意義可知，，

?≥0

50??≥0

1

∴12.5≤a≤50且a為?≥整3數(shù)(，50??)

∵500＞0，

∴w隨a的增大而增大，

∴當(dāng)a＝13時，w的最小值為500×13+125000＝131500（元）．

∴w＝500a+125000，且最少購買費用為131500元．

總結(jié)提升：本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

15．（2022?包頭）由于精準(zhǔn)扶貧的措施科學(xué)得當(dāng)，貧困戶小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天

全部銷售完．小穎對銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，在該草莓上市第x天（x取整數(shù)）時，日銷售量y（單位：

，

千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y，草莓價格m（單位：元/千克）與x之

，＜

12?0≤?≤10

=

間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．?20?+32010?≤16

（1）求第14天小穎家草莓的日銷售量；

（2）求當(dāng)4≤x≤12時，草莓價格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？

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思路引領(lǐng)：（1）當(dāng)10≤x≤16時，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；

（2）利用待定系數(shù)法即可求得草莓價格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用銷售金額＝銷售量×草莓價格，比較第8天與第10天的銷售金額，即可得答案．

解：（1）∵當(dāng)10≤x≤16時，y＝﹣20x+320，

∴當(dāng)x＝14時，y＝﹣20×14+320＝40（千克），

∴第14天小穎家草莓的日銷售量是40千克．

（2）當(dāng)4≤x≤12時，設(shè)草莓價格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式為m＝kx+b，

∵點（4，24），（12，16）在m＝kx+b的圖象上，

∴，

4?+?=24

解得12：?+?=1，6

?=?1

∴函數(shù)解?析=式28為m＝﹣x+28．

（3）當(dāng)0≤x≤10時，y＝12x，

∴當(dāng)x＝8時，y＝12×8＝96，

當(dāng)x＝10時，y＝12×10＝120；

當(dāng)4≤x≤12時，m＝﹣x+28，

∴當(dāng)x＝8時，m＝﹣8+28＝20，

當(dāng)x＝10時，m＝﹣10+28＝18

∴第8天的銷售金額為：96×20＝1920（元），

第10天的銷售金額為：120×18＝2160（元），

∵2160＞1920，

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∴第10天的銷售金額多．

總結(jié)提升：此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用待定系數(shù)法求得

函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．

類型三行程問題

16．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時出發(fā)．兩人離甲

地的距離y（m）與出發(fā)時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）小麗步行的速度為80m/min；

（2）當(dāng)兩人相遇時，求他們到甲地的距離．

思路引領(lǐng)：（1）用路程除以速度即可得小麗步行的速度；

（2）求出小華的速度，即可求出兩人相遇所需的時間，進(jìn)而可得小麗所走路程，即是他們到甲地的距離．

解：（1）由圖象可知，小麗步行的速度為80（m/min），

2400

=

故答案為：80；30

（2）由圖象可得，小華騎自行車的速度是120（m/min），

2400

=

∴出發(fā)后需要12（min）兩人相遇，20

2400

=

∴相遇時小麗所12走0+的80路程為12×80＝960（m），

即當(dāng)兩人相遇時，他們到甲地的距離是960m．

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從圖象中獲取有用的信息．

17．（2022?長春）已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出

發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼

續(xù)勻速行駛4小時到達(dá)B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達(dá)各自的目的地后停止，兩車距A地的路程

y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

（1）m＝2，n＝6；

（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)乙車到達(dá)A地時，求甲車距A地的路程．

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思路引領(lǐng)：（1）由甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇可求出m＝2，根據(jù)以另

一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達(dá)B地知n＝6；

（2）用待定系數(shù)法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；

（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用時間，即可求得甲車距A地的路程為300千米．

解：（1）由題意知：m＝200÷100＝2，

n＝m+4＝2+4＝6，

故答案為：2，6；

（2）設(shè)y＝kx+b，將（2，200），（6，440）代入得：

，

2?+?=200

解6?得+?=44，0

?=60

∴y＝?60=x+8800，（2≤x≤6）；

（3）乙車的速度為（440﹣200）÷2＝120（千米/小時），

∴乙車到達(dá)A地所需時間為440÷120（小時），

11

=

當(dāng)x時，y＝6080＝300，3

1111

∴甲=車3距A地的路程×為33+00千米．

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識圖．

18．（2022?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從

B地騎摩托車到A地，到達(dá)A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前

往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達(dá)C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分

鐘）之間的函數(shù)圖象．

請解答下列問題：

（1）填空：甲的速度為300米/分鐘，乙的速度為800米/分鐘；

（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x

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的取值范圍；

（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．

思路引領(lǐng)：（1）利用速度＝路程÷時間，找準(zhǔn)甲乙的路程和時間即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）中的計算可得出點G的坐標(biāo)，設(shè)直線FG的解析式為：y＝kx+b，將F，G的坐標(biāo)代入，

求解方程組即可；

（3）根據(jù)題意可知存在三種情況，然后分別計算即可．

解：（1）根據(jù)題意可知D（1，800），E（2，800），

∴乙的速度為：800÷1＝800（米/分鐘），

∴乙從B地到C地用時：2400÷800＝3（分鐘），

∴G（6，2400）．

∴H（8，2400）．

∴甲的速度為2400÷8＝300（米/分鐘），

故答案為：300；800；

（2）設(shè)直線FG的解析式為：y＝kx+b（k≠0），且由圖象可知F（3，0），

由（1）知G（6，2400）．

∴，

3?+?=0

解得6?，+?=2400．

?=800

∴直線F?G=的?解24析00式為：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．

（3）由題意可知，AB相距800米，BC相距2400米．

∵O（0，0），H（8，2400），

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∴直線OH的解析式為：y＝300x，

∵D（1，800），

∴直線OD的解析式為：y＝800x，

當(dāng)0≤x≤1時，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，即甲乙朝相反方向走，

∴令800x+300x＝600，解得x．