第十三講二次函數--費馬點最值

知識導航

必備知識點

費馬點：三角形內的點到三個頂點距離之和最小的點

【結論】

如圖，點M為銳角△ABC內任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°

時，MA+MB+MC的值最小

【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．

∵△ABE為等邊三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB與△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN為等邊三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

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∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．

此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點

M即為△ABC的費馬點。

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點P為銳角△ABC內任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值

解決辦法：

第一步，選定固定不變線段；

第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

xz

如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如圖所示，B、P、P2、A2四點共線時，取

yy

得最小值。

例：點P為銳角△ABC內任意一點，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，連接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP

的最小值

【分析】將△APC繞C點順時針轉90°到△A1P1C，過P2作P1A1的平行線，交CA1于點A2，且滿足A2P2：

P1A1=3：4.

在Rt△PCP2中，設PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，則PP2=5a/4。

35

∴3AP+4BP+5CP=4(APBPCP)

44

∴B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。接觸BA2長度即可。

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方法點撥

一、題型特征：PA+PB+PC（P為動點）

①一動點，三定點

②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的

頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為

費馬點。

③同時線段前可以有不為1的系數出現，即：加權費馬點

二、模型本質：兩點之間，線段最短。

例題演練

1．在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，

直線y＝kx+（k≠0）經過點A，與拋物線交于另一點R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1，若點P是x軸下方拋物線上一點，過點P做PH⊥AR于點H，過點P做PQ∥x軸

交拋物線于點Q，過點P做PH′⊥x軸于點H′，K為直線PH′上一點，且PK＝2PQ，點

I為第四象限內一點，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，

當l取得最大值時，求出點P的坐標，并求出此時m的最小值．

（3）如圖2，將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M，過點M做MN⊥x軸，交拋物

線于點N，動點D為x軸上一點，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點

M、N、D、N′在同一平面內），連接AN、AN′、NN′，當△ANN′為等腰三角形時，請直接

寫出點D的坐標．

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【解答】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8與y軸的交點為C，令x＝0，y＝﹣8

∴點C（0，﹣8）

∴OC＝8

∵OC＝2OA，OB＝3OA

∴OA＝4，OB＝12

∴A（﹣4，0）B（12，0）

將點A代入直線解析式可得0＝﹣4k+

解得k＝

∴y＝x+

將點A和點B代入拋物線中

解得a＝，b＝﹣

∴y＝x2﹣x﹣8

（2）設點P的坐標為（p，p2﹣p﹣8）

﹣＝4

∴拋物線的對稱軸為直線x＝4

∴點Q（8﹣p，）

∴PQ＝2p﹣8

∵PK＝2PQ

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∴PK＝4p﹣16

如圖1所示，延長PK交直線AR于點M，則M（p，）

∴PM＝﹣（）＝

∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′

∴∠HPM＝∠MAH′

∵直線解析式為y＝，令x＝0，y＝．

∴OE＝

∵OA＝4

根據勾股定理得∴AE＝

∴cos∠EAO＝＝

∴cos∠HPM＝＝＝

∴PH＝

∵I＝PH﹣PQ

∴I＝（）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85

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∴當p＝5時，I取最大值此時點P（5，）

∴PQ＝2，PK＝

如圖2所示，連接QK，以PQ為邊向下做等邊三角形PQD，連接KD，在KD取I，

使∠PID＝60°，以PI為邊做等邊三角形IPF，連接IQ

∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD

∴△IPQ≌△FPD

∴DF＝IQ

∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此時m最小

過點D作DN垂直于KP

∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°

∴∠PDN＝30°

∵DP＝PQ＝2

∴DN＝1，根據勾股定理得PN＝

在△KDN中，KN＝5，DN＝1，根據勾股定理得KD＝2

∴m的最小值為2

（3）設NM與x軸交于點J

∵AM＝13，cos∠MAJ＝

∴AJ＝12，根據勾股定理得MJ＝5

∵OA＝4，∴OJ＝8

∴M（8，5）

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當x＝8時，代入拋物線中，可得y＝﹣8

∴N（8，﹣8），MN＝13

在△AJN中，根據勾股定理得AN＝4

∵點D為x軸上的動點，根據翻折，MN′＝13，所以點N′在以M為圓心，13個單位長度為半

徑的圓上運動，如圖3所示

①當N′落在AN的垂直平分線上時

tan∠MNA＝＝

∴tan∠MGJ＝，∵MJ＝5

∴JG＝，根據勾股定理得MG＝

∵MD1為∠GMJ的角平分線

∴

∴D1J＝∴D1（，0）

∵MD4也為角平分線

∴∠D1MD4＝90°

2

根據射影定理得MJ＝JD1?JD4

∴JD4＝

∴D4（，0）

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②當AN＝AN′時

D2與點A重合

∴D2（﹣4，0）

∵MD3為角平分線

∴

∴JD3＝

∴D3（，0）

綜上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．

2．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸為x＝1，與y交于點A，與x軸負半軸交于點C，作平行

四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．

（1）求拋物線的解析式和點A、C的坐標；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；

（3）若點P為△AOC內一點，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結果可以不化簡）以及直線CP

的解析式．

【解答】解：（1）由已知得，x＝﹣＝1，則b＝1，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，

∴A（0，4），令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝4．

（2）在ABCD中，∠OAB＝∠AOC＝90°，則AB∥CO，

∴OB＝?＝2，OC′＝OC＝2，

∴∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，

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∴△C′OD∽△BOA，

∴＝＝＝，

∵△AOB的周長為6+2，

∴△C′OD的周長為（6+2）×＝2+；

（3）此點位費馬點，設三角形AOB的三邊為a，b，c，

∵OC＝2，OA＝4，AC＝＝2，

PA+PO+PC＝

＝2．

直線CP解析式為y＝（﹣1）x+2﹣2．

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，

OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F

的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

（3）點P為△ABO內的一個動點，設m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最

小值時，線段AP的

長．

【解答】解：（1）過E作EG⊥OD于G（1分）

∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，

∴△BOD∽△EGD，

∵點B（0，2），∠ODB＝30°，

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可得OB＝2，；

∵E為BD中點，

∴

∴EG＝1，

∴

∴點E的坐標為（2分）

∵拋物線經過B（0，2）、兩點，

∴，

可得；

∴拋物線的解析式為；（3分）

（2）∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側，

∴A點的坐標為

∴，

∴在△AGE中，∠AGE＝90°，（4分）

過點O作OK⊥AE于K，

可得△AOK∽△AEG

∴

∴

∴

∴

∵△OMN是等邊三角形，

∴∠NMO＝60°

∴；

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∴，或；（6分）

（寫出一個給1分）

（3）如圖；

以AB為邊做等邊三角形AO′B，以OA為邊做等邊三角形AOB′；

易證OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，則△OBE是等邊三角形；

連接OO′、BB′、AE，它們的交點即為m最小時，P點的位置（即費馬點）；

∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，

∴△AOE≌△B′OB；

∴∠B′BO＝∠AEO；

∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，

∴∠POP'＝60°，

∴△POP′為等邊三角形，

∴OP＝PP′，

∴PA+PB+PO＝AP+OP′+P′E＝AE；

即m最小＝AE＝；

如圖；作正△OBE的外接圓Q，

根據費馬點的性質知∠BPO＝⊙120°，則∠PBO+∠BOP＝60°，而∠EBO＝∠EOB＝60°；

∴∠PBE+∠POE＝180°，∠BPO+∠BEO＝180°；

即B、P、O、E四點共圓；

易求得Q（，1），則H（，0）；

∴AH＝；

由割線定理得：AP?AE＝OA?AH，

即：AP＝OA?AH÷AE＝×÷＝．

故：m可以取到的最小值為

當m取得最小值時，線段AP的長為．

（如遇不同解法，請老師根據評分標準酌情給分）

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4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+過點A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）定義：平面上的任一點到二次函數圖象上與它橫坐標相同的點的距離，稱為點到二次函數

圖象的垂直距離．如：點O到二次函數圖象的垂直距離是線段OC的長．已知點E為拋物線對稱

軸上的一點，且在x軸上方，點F為平面內一點，當以A，B，E，F為頂點的四邊形是邊長為4

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的菱形時，請求出點F到二次函數圖象的垂直距離．

（3）在（2）中，當點F到二次函數圖象的垂直距離最小時，在以A，B，E，F為頂點的菱形內

部是否存在點Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理

由．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+過點A（1，0），B（5，0），

∴0＝a+b+

0＝25a+5b+

∴a＝，b＝﹣3

∴解析式y＝x2﹣3x+

（2）當y＝0，則0＝x2﹣3x+

∴x1＝5，x2＝1

∴A（1，0），B（5，0）

∴對稱軸直線x＝3，頂點坐標（3，﹣2），AB＝4

∵拋物線與y軸相交于點C．

∴C（0，）

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如圖1

①如AB為菱形的邊，則EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的橫坐標為3

∴F的橫坐標為7或﹣1

∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB

∴EM＝2

∴F（7，2），或（﹣1，2）

∴當x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6

∴點F到二次函數圖象的垂直距離6﹣2

②如AB為對角線，如圖2

∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4

∴AB⊥EF，EM＝MF＝2

∴F（3，﹣2）

∴點F到二次函數圖象的垂直距離﹣2+2

（3）當F（3，﹣2）時，點F到二次函數圖象的垂直距離最小

如圖3，以BQ為邊作等邊三角形BQD，將△BQF繞B逆時針旋轉60°到△BDN位置，連接AN，

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作PN⊥AB于P

∵等邊三角形BQD

∴QD＝QB＝BD，

∵將△BQF繞B逆時針旋轉60°到△BDN位置

∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ

∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN

∴當AQ，QD，DN共線時AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值為AN的長．

∵AF＝BF＝4＝AB，

∴∠ABF＝60°

∴∠NBP＝60°且BN＝4，

∴BP＝2，PN＝2

∴AP＝6

在Rt△ANP中，AN＝＝4

∴AQ+BQ+FQ的和最短值為4．

5．如圖，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸

交于點C，經過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．

（1）若點D的橫坐標為2，則拋物線的函數關系式為．

（2）若在第三象限內的拋物線上有一點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求

點P的坐標．

（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上一點（不含端點），連接BE，一動點Q從點B出發，

沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒個單位運動到點D停止，

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問當點E的坐標為多少時，點Q運動的時間最少？

（4）連接BC，點M為△ABC內一點，若∠ABC＝60°，求MA+MB+MC的最小值為

．

【解答】解：（1）已知y＝a（x+3）（x﹣1），

令y＝0，得a（x+3）（x﹣1）＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0），

∵直線y＝﹣x+b經過點A（﹣3，0），

∴3+b＝0，

解得：b＝﹣3，

∴y＝﹣x﹣3，

當x＝2時，y＝﹣5，

∴點D的坐標為（2，﹣5），

∵點D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，

解得：a＝﹣，

∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，作PH⊥x軸于H，

設點P的坐標為（m，n），

當△BPA∽△ABC時，∠BAC＝∠PBA，

∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，

∴＝，即n＝﹣a（m﹣1），

第17頁共20頁.

∴，

解得，m1＝﹣4，m2＝1（不合題意，舍去），

當m＝﹣4時，n＝5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴＝，即AB2＝AC?PB，

∴42＝?，

解得，a1＝（不合題意，舍去），a2＝﹣，

則n＝5a＝﹣，

∴點P坐標為（﹣4，﹣）；

當△PBA∽△ABC時，∠CBA＝∠PBA，

∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，

∴＝，即n＝﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1＝﹣6，m2＝1（不合題意，舍去），

當m＝﹣6時，n＝21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴＝，即AB2＝BC?PB，

∴42＝?，

解得，a1＝