第三講二次函數的實際應用

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一運用二次函數求最大利潤.................................................................................................................1

考點二二次函數與幾何圖形.......................................................................................................................7

知識導航

必備知識點

知識點1二次函數的應用

1.利用二次函數解決利潤問題

在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定

出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此

在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．

2.幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的

最值的討論．

考點一運用二次函數求最大利潤

1．某超市以每件13元的價格購進一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進價且不高于18元．經

過市場調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數

關系．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？

第1頁共21頁.

【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），

由所給函數圖象可知：，

解得：，

故y與x的函數關系式為y＝﹣20x+500；

（2）設每天銷售這種商品所獲的利潤為w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x2+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）2+720，

∵﹣20＜0，

∴當x＜19時，w隨x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴當x＝18時，w有最大值，最大值為700，

∴售價定為18元/件時，每天最大利潤為700元．

2．如圖①是氣勢如弘、古典凝重的開封北門，也叫安遠門，有安定遠方之寓意．其主門洞的截面

如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處

點E到地面AB的距離為8米．

（1）請在圖②中建立適當的平面直角坐標系，并求出拋物線的解析式．

第2頁共21頁.

（2）該主門洞內設雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線．車輛必須在雙黃線兩側行駛，不

能壓雙黃線，并保持車輛最高點與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離），試判斷一輛大型貨運

汽車裝載某大型設備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過該主門洞？并說明理由．

【解答】解：（1）建立的平面直角坐標系如右圖所示，

由題意可得，點E的坐標為（0，8），點D的坐標為（﹣8，6），

設拋物線的解析式為y＝ax2+8，

∵點D在該函數圖象上，

∴6＝a×（﹣8）2+8，

解得a＝﹣，

∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+8；

（2）這輛大型貨運汽車能安全通過該主門洞，

理由：將x＝3.7+0.3＝4代入y＝﹣x2+8，

得：y＝﹣×42+8＝7.5，

∵7.5＞6.6+0.6，

∴這輛大型貨運汽車能安全通過該主門洞．

3．某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每月可賣出180件，該商品每臺售價（元）與月

銷量（臺）滿足的函數關系式如下表所示．已知該商品計劃漲價銷售，但每件售價不能高于35

元．設每件商品的售價上漲x元（x為整數）時，月銷售利潤為w元．

每臺售價（元）303132…30+x

月銷售量（臺）180170160…y

（1）上述表格中，y＝180﹣10x（用含x的代數式表示）；

第3頁共21頁.

（2）若銷售該商品每月所獲利潤為1920元，那么每件商品的售價應上漲多少元？

（3）當售價定為多少元時，商場每月銷售該商品所獲得的利潤w最大？最大利潤是多少？

【解答】解：（1）由表格數據可得，y與的函數解析式為：y＝180﹣10x，

故答案為：y＝180﹣10x；

（2）由題意得：1920＝（30﹣20+x）（180﹣10x），

即x2﹣8x+12＝0（0≤x≤5，且x為整數），

解得：x＝2或x＝6，

∵0≤x≤5，

∴x＝2，

∴當x＝2時，y的值為1920；

（3）由題意得：w＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x為整數）；

∵﹣10＜0，

∴當x＝＝4時，y最大＝1960元；

∴每件商品的售價為34元．

答：每件商品的售價為34元時，商品的利潤最大，為1960元．

4．隨著國內疫情得到有效控制，某產品的銷售市場逐漸回暖．某經銷商與生產廠家簽訂了一份該產

品的進貨合同，約定一年內進價為0.1萬元/臺．根據市場調研得知，一年內該產品的售價y（萬

元/臺）與簽約后的月份數x（1≤x≤12且為整數）滿足關系式：y＝．

估計這一年實際每月的銷售量p（臺）與月份x之間存在如圖所示的變化趨勢．

（1）求實際每月的銷售量p（臺）與簽約后的月份數x之間的函數表達式；

（2）請估計這一年中簽約后的第幾月實際銷售利潤W最高，最高為多少萬元？

【解答】解：（1）由題意得p＝，

（2）①當1≤x＜4時，

W＝（﹣0.05x+0.4﹣0.1）×（﹣5x+40）

第4頁共21頁.

＝（x﹣6）（x﹣8）＝x2﹣x+12

∵a＝＞0，﹣＝7＞4，

∴當1≤x＜4時，W隨x的增大而減小，

∴當x＝1時取得W的最大值為：

×12﹣×1+12＝8.75（萬元）．

②當4≤x≤12時，

W＝（0.2﹣0.1）×（2x+12）＝x+，

∵k＝＞0，

∴當4≤x≤12時，W隨x的增大而增大，

∴當x＝12時取得W的最大值為3.6：

×12+＝3.6（萬元）．

綜上得：全年中1月份的實際銷售利潤W最高為8.75萬元．

5．某大型農貿市場新建了100個固定攤位，經調查分析發現，去年1月至12月，每個固定攤位的

租金y（元）與月份x之間滿足關系式如下表，每月租出的固定攤位的個數p（個）與月份x之間

的函數圖象如圖所示．每個固定攤位租用者支付月租金給市場管理公司，由市場管理公司為每個

攤位支付管理費，管理費m（元）與月份x之間關系滿足m＝20x（1≤x≤12，且x為正整數）．

x（x為正整數）1≤x≤67≤x≤12

y/元400﹣40x+820

（1）試求p與x之間的函數關系式；

（2）分別時算3月份和8月份市場管理公司的收益（收益＝租金﹣攤位管理費）；

（3）請你通過計算說明市場管理公司哪個月的收益最大？

【解答】解：（1）當1≤x≤6時，圖象過（0，100），（6，40），

第5頁共21頁.

設函數解析式為y＝kx+b，

則，

解得：，

∴p＝﹣10x+100；

當7≤x≤12時，圖象過（12，100），（6，40），

設函數解析式為y＝k1x+b1，

則，

解得：，

∴p＝10x﹣20．

綜上所述，p＝；

（2）當x＝3時，市場管理公司的收益為：（400﹣20×3）×（﹣10×3+100）＝23800（元），

當x＝8時，市場管理公司的收益為：（﹣40×8+820﹣20×8）×（10×8﹣20）＝20400（元）；

（3）設市場管理公司某月的收益為W元．

當1≤x≤6時，

W＝（400﹣20x）（﹣10x+100）

＝200x2﹣6000x+40000

＝200（x﹣15）2﹣5000，

∵200＞0，

∴W隨x：的增大而減小，I≤x≤6，且x為整數，

∴當x＝1時W最大，W＝200×1﹣6000×1+40000＝34200；

當7≤x≤12時，

W＝（﹣40x+820﹣20x）（10x﹣20）

＝﹣600x2+9400x﹣16400，

∵x＝﹣＝＝7，

∵﹣600＜0，7≤x≤12，且x為整數，

∴當x＝8時W最大，

第6頁共21頁.

∴W＝﹣600×82+9400×8﹣16400＝20400，

∵34200＞20400，

∴市場管理公司的收益在1月份收益最大．

考點二二次函數與幾何圖形

6．在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的

底邊AB長20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點E、D分別在邊CA、CB上．設

EF的長為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關于x的函數解析式及定義域，

并求當EF的長為4厘米時所截得的矩形的面積．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，

∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，

∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，

FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，

矩形EFGD的面積y＝x（20﹣2x）

＝﹣2x2+20x，

由0＜20﹣2x＜20，

解得0＜x＜10，

∴y關于x的函數關系式是y＝﹣2x2+20x，

定義域是0＜x＜10，

當x＝4時，y＝﹣2×42+20×4＝48，

即當EF的長為4厘米時，所截得的矩形的面積為48平方厘米．

7．問題探究

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，連接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四邊形ABCD＝72，求△ABC

的面積；

第7頁共21頁.

問題解決

（2）如圖2，有一個菱形廣場ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，連接AC．現計劃對這

個廣場進行綠化．在△DMP和△DNP區域種植綠植，且滿足點P、M、N分別在AC、AB、CB

上，PM∥AD，PN∥CD，為了節省成本，要求種植綠植的區域面積盡可能的小，問△DMP與△

DNP的面積之和是否存在最小值，若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，

∵AD＝CD＝10，AC＝12，

∴AE＝EC＝6，

∴DE＝8，

∴S△ACD＝?AC?DE＝×12×8＝48，

∴S△ABC＝S四邊形ABCD﹣S△ACD＝72﹣48＝24．

（2）存在，理由如下：

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC＝30°，

∵PM∥AD，PN∥CD，

∴PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，且∠APM＝∠DAC＝30°，

∴S△AMP＝S△DMP，S△CPN＝S△DPN，四邊形MBNP是平行四邊形，

∵PM∥AD∥BC，PN∥CD∥AB，

∴∠APM＝∠DAC＝30°，∠NPC＝∠DCA＝30°，

第8頁共21頁.

∴△APM和△CPN是等腰三角形，

設AM＝a，米則PM＝BN＝a米，CN＝（60﹣a）米，

22

∴S△AMP＝?a?a＝a，S△CPN＝?（60﹣a）?（60﹣a）＝（60﹣a），

222

∴S△AMP+S△CPN＝a+（60﹣a）＝（a﹣30）+450，

∵＞0，

∴當a＝30時，△AMP與△CNP的面積之和最小為450平方米．

∴當a＝30時，△DMP與△DNP的面積之和最小為450平方米．

8．問題提出：（1）如圖①，等邊△ABC的邊長為1，D是BC邊上的一點，過點D作DE?AB，

垂足為E，設線段AE的長度為x，Rt△EBD的面積為y，求y與x的函數關系式．

問題解決：（2）某路口拐角處有一個五邊形空地，為方便市民出行的需要，市政局準備在這片空

地上給廣大來往群眾搭建一個既能遮陽又能避雨的遮陽棚．經過勘測發現，在如圖②所示的五邊

形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根據該路

口的實際條件限制，需將遮陽棚形狀設計為三角形，且△FGH的頂點F、G、H分布在邊AB、

CD、DE上，點F為AB中點，DH＝DG，為進一步提升市民的出行體驗，想讓遮陽棚面積盡可

能大．請問，是否存在符合設計要求的面積最大的△FGH？若存在，求△FGH面積的最大值，若

不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）設線段AE的長度為x，則BE＝1﹣x，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

在Rt△EBD中，tan60°＝，

∴，

第9頁共21頁.

∴DE＝（1﹣x），

∴Rt△EBD的面積為y＝BE?DE＝（1﹣x）?（1﹣x）＝x2﹣x+；

（2）存在，理由如下：

如圖2，過點B作BI⊥CD，過點F作FJ⊥CD，過點A作AK⊥CD，過點E作EL⊥CD，過點H

作HM⊥CD，過點B作BN⊥AK，

則四邊形AKLE是矩形，四邊形FJMH是直角梯形，

∵∠C＝∠D＝60°，且DE＝2AE＝8，

在Rt△ELD中，DL＝DE＝4，EL＝LD＝4，

設BC＝a，則AB＝a，

在Rt△BCI中，CI＝BC＝a，BI＝a，

在Rt△ABN中，AN＝AB＝a，

∴a+a＝4，

解得：a＝4，

∴BC＝4，AB＝4，CI＝2，IK＝BN＝6，

∴JD＝11，

設DG＝DH＝b，

∴△DGH是等邊三角形，

∴DM＝GM＝b，

∴S梯形FGMH＝（FJ+HM）?JM

＝（b+3）（11﹣b）

＝﹣b2+2b+，

第10頁共21頁.

2

S△HMG＝GM?HM＝×b×b＝b，

S△FJG＝JG?FJ＝×7×3＝，

22

∴S△FGH＝﹣b+2b+﹣b﹣

＝﹣b2+2b+6

＝﹣（b﹣4）2+10，

∵﹣＜0，

∴當b＝4時，S△FGH有最大值為10．

9．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點E在邊AD上，點P從點C出發沿CB運動到

點B停止，點Q從點A出發，沿折線AE→EC運動，它們同時出發，運動速度都是1cm/s，點P

運動到點B時同時停止，設點P運動時間為t（s），△BPQ的面積為S（cm2）．當點Q到達點E

時，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝4cm，CE＝10cm；

（2）求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

【解答】解：（1）由題意得，

6×（12﹣t）＝24，解得t＝4，

∴AE＝PB＝t＝4cm，DE＝AD﹣AE＝8cm，

∴CE＝＝10（cm），

故答案為：4，10；

（2）分兩種情況：

第11頁共21頁.

①如圖1，

當0≤t≤4時，過點Q作QF⊥BC于點F，

矩形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，

∴QF＝6，

∵BC＝12，PC＝t，

∴BP＝12﹣t，

∴S＝BP×QF＝（12﹣t）×6＝﹣3t+36；

②如圖2，

當4＜t≤12時，過點Q作QM⊥BC于點M，

∴∠QMC＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠D＝90°，

∴∠DEC＝∠QCM，∠D＝∠QMC，

∴△QMC∽△CDE，

∴，

∵CQ＝14﹣t，CD＝6，DE＝8，

∴QM＝（14﹣t），

∴S＝BP×QM＝×（12﹣t）×（14﹣t）＝t2﹣t+．

綜上，S＝．

10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點P，Q同時從點B出發，點P以每秒5個

單位長度的速度沿折線BA﹣AC運動，點Q以每秒3個單位長度的速度沿折線BC﹣CA運動，當

第12頁共21頁.

點P，Q相遇時，兩點同時停止運動，設點P運動的時間為t秒，△PBQ的面積為S．

（1）當P，Q兩點相遇時，t＝3秒；

（2）求S關于t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，

∴AB＝＝10，

∴5t+3t＝24，解得t＝3．

∴當P，Q兩點相遇時，t＝3秒，

故答案為：3；

（2）當0≤t＜2時，當2≤t＜時，

在△ABC中，過點P作PH⊥BC于點H，

∴∠PHB＝∠C＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△PBH，

∴，

∵BP＝5t，AC＝6，AB＝10，

∴PH＝3t，

∵BQ＝3t，

∴S＝3t×3t＝t2；

當2≤t＜時，如圖，

第13頁共21頁.

PC＝16﹣5t，

S＝PQ×PC＝3t×（16﹣5t）＝﹣t2+24t；

當≤t≤3時，如圖，

PQ＝24﹣8t，

S＝．

綜上，S＝．

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的長恰好為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，且AC﹣

BC＝2，D為AB的中點．

（1）求a的值．

（2）動點P從點A出發，沿A→D→C的路線向點C運動；點Q從點B出發，沿B→C的路線

向點C運動．若點P、Q同時出發，速度都為每秒2個單位，當點P經過點D時，點P速度變

為每秒3單位，同時點Q速度變為每秒1個單位．當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束．設

運動時間為t秒．在整個運動過程中，設△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數關系式；并

指出自變量t的取值范圍．

第14頁共21頁.

【解答】解：（1）∵AC、BC的長為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48；

（2）作PH⊥BC，垂足為H，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝＝10．

又∵D為AB的中點，

∴CD＝AB＝5．

當0＜t≤2.5時，由PH∥AC得＝，即＝，

解得PH＝（10﹣2t），

S＝×CQ×PH＝（6﹣2t）×（10﹣2t）＝1.6t2﹣12.8t+24，

當2.5＜t≤3.5時，CQ＝1﹣（t﹣2.5），PD＝5﹣3（t﹣2.5），PH＝（12.5﹣3t），

得S＝1.2t2﹣t+．

12．問題探究

（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，點P為邊CD的中點，Q為邊AD上一點，

第15頁共21頁.

且DP+DQ＝5，連接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面積；

問題解決

（2）為響應市政府“建設美麗城市，改善生活環境”的號召，某小區欲建造如圖2所示的四邊

形ABCD休閑廣場，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照規劃要求，點P、

Q分別在邊CD、AD上，滿足DP+DQ＝40米，連接BP、PQ、BQ，其中△PBQ為健身休閑區，

其他區域為景觀綠化區，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區的面積盡可能小，那么按此

要求修建的這個健身休閑區（△PBQ）是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時DP的

長；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）如圖，過點B作BE⊥AD交DA的延長線于點E，過點P作PM⊥AD于點M，

延長MP交BC的延長線于點N，

∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，

在菱形ABCD中，AB＝4，點P為邊CD的中點，

∴DP＝CP＝2，

∵DP+DQ＝5，

∴DQ＝3，

∴AQ＝1，

在Rt△ABE中，BE＝AB?sin60°＝2，

在Rt△CPN中，PN＝CP?sin60°＝，

在Rt△DPM中，PM＝DP?sin60°＝，

∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

第16頁共21頁.

＝4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×

＝．

（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，

設DP＝x米，則CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，

∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ

＝40×60﹣×40（20+x）﹣×60×（40﹣x）﹣x（40﹣x）

＝x2﹣10x+800

＝（x﹣10）2+750．

∴當x＝10時，S△BPQ的最小值為750．

∴按此要求修建的這個健身休閑區（△PBQ）存在最小面積，最小面積為750平方米，此時DP

的長為10米．

13．問題提出：

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，點E在線段BC上，且

BE＝5，連接DE，作EF⊥DE，交AB于點F，求四邊形ADEF的面積；

問題解決：

（2）精密儀器廠要生產一種特殊的四邊形ABCD金屬部件，如圖②所示，部件要求是：BC＝4cm，

點D到BC的距離為5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生產這種金屬部件的材料每平方厘米

造價60元，在滿足要求和保證質量的前提下，儀器廠希望造價最低，請你幫忙求出一個這種四

邊形金屬部件的最低造價．

【解答】解：（1）如圖，過點D作DH⊥BC于H，

第17頁共21頁.

∴四邊形ADHB是矩形，

∴DH＝AB＝8，BH＝AD＝11，

∵BE＝5，

∴HE＝6，

∵∠B＝∠DEF＝90°，

∴∠BFE＝90°﹣∠BEF＝∠DEH，

又∵∠B＝∠DHE＝90°，

∴△BFE∽△HED，

∴＝，即＝，

∴BF＝，

∴S四邊形ADEF＝S四邊形ADHB﹣S△BFE﹣S△DHE

＝8×11﹣×5×﹣×6×8

＝，

答：四邊形ADEF的面積是；

（2）過點D作EF∥BC，過點A作EF的垂線交EF于點E，交CB的延長線于點H，過點C作

CF⊥EF于點F，

∵點D到BC的距離為5cm，

∴FC＝EH＝5cm，

同（1）可得△EDA∽△FCD，

第18頁共21頁.

∴＝＝＝，

∴ED＝cm，

設AE＝xcm，則DF＝2xcm，HA＝（5﹣x）cm，HB＝ED+DF﹣BC＝+2x﹣4＝（2x﹣）cm，

∴S四邊形ABCD＝5×（+2x）﹣×5?2x﹣x×﹣×（5﹣x）?（2x﹣）

＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2+，

∴當x＝1時，S四邊形ABCD最小為，

∴四邊形金屬部件的最低造價為×60＝915（元），

答：這種四邊形金屬部件的造價最低是915元．

14．為了提高巴中市民的生活質量，巴中市對老舊小區進行了美化改造．如圖，在老舊小區改造中，

某小區決定用總長27m的柵欄，再借助外墻圍成一個矩形綠化帶ABCD，中間用柵欄隔成兩個小

矩形，已知房屋外墻長9m．

（1）當AB長為多少時，綠化帶ABCD的面積為42m2？

（2）當AB長為多少時，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是多少？

【解答】解：（1）設AB長為xm時，綠化帶ABCD的面積為42m2，

x（27﹣3x）＝42，

解得x1＝2，x2＝7，

當x＝2時，27﹣3x＝21＞9，不合題意，舍去；

當x＝7時，27﹣3x＝6，符合題意；

答：當AB長為7m時，綠化帶ABCD的面積為42m2；

（2）設綠化帶ABCD的面積為Sm2，AB長為am，

S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣）2+，

∴該函數圖象開口向下，對稱軸為直線x＝，

∵，

第19頁共21頁.

解得6≤a＜9，

∴當a＝6時，S取得最大值，此時S＝54，

答：當AB長為6m時，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是54m2．

15．如圖