第1頁/共1頁北京大興區2023~2024學年第一學期期末檢測試題高一數學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1等于（）A. B. C. D.2.函數的最小正周期等于（）A. B. C. D.3.下列函數中，不是表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，4.下列函數中，在區間上單調遞增是（）A. B.C. D.5.下列區間中，方程的解所在區間是（）A. B. C. D.6.若，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要7.已知為第二象限角，且，則等于（）A. B.1 C. D.78.要得到函數的圖象，只需將函數圖象上的所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來2倍B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的C.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍D.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的9.設，給出下列四個結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④10.已知函數零點為，的零點為，若，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為_____________．12.我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一等份是一個密位，那么300密位等于___________；13.指數函數在區間上最大值與最小值的差為2，則等于______.14.已知函數，若，則______；若，且，則的取值范圍是______.15.已知函數對任意的，都有成立.給出下列結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.17.在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，若角與的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的非負半軸，將繞原點按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函數，.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）求在區間上的最大值與最小值.19.已知函數，.（1）求證：為偶函數；（2）設，判斷單調性，并用單調性定義加以證明.20.設關于的函數的最小值為.（1）求；（2）若，求函數的最大值.21.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；（2）求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數據：；；.）大興區2023~2024學年第一學期期末檢測試題高一數學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由特殊角的三角函數值即可得解.【詳解】由題意有.故選：C.2.函數的最小正周期等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正切函數的周期公式計算即得.【詳解】函數的最小正周期.故選：A3.下列函數中，不是表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據定義域、值域和對應法則依次判斷即可.【詳解】對于A選項，兩個函數的定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數，故A選項錯誤；對于B選項，的定義域為，值域為，的定義域為，值域為，定義域不同，所以不是同一函數，故B選項正確；對于C選項，與的定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數，故C選項錯誤；對于D選項，與定義域都為，值域都為，且對應法則一樣，所以表示同一函數，故D選項錯誤.故選：B.4.下列函數中，在區間上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據基本初等函數的單調性判斷即可.【詳解】對于ABC：，，均在區間上單調遞減，錯誤；對于D：在區間上單調遞增，正確；故選：D.5.下列區間中，方程的解所在區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，直接由表達式（指數函數、一次函數單調性）可得它的單調性，結合零點存在定理即可得解.【詳解】因為指數函數與一次函數在定義域內均單調遞增，所以函數在定義域內也單調遞增，且注意到，所以由零點存在定理可知方程的解所在區間是.故選：C.6.若，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】兩個角不相等，正弦值可能相等，兩個角的正弦值不相等，那么兩個角必定不相等——由此判斷出正確選項.【詳解】當兩個角不相等時，正弦值可能相等，如；如果兩個角的正弦值不相等，那么兩個角必定不相等，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.【點睛】本小題主要考查充要條件的判斷.如果，則是的充分條件，是的必要條件；否則，不是的充分條件，不是的必要條件.在判斷具體問題時，可以采用互推的方法，進行和各一次，判斷是否能被推出，由此判斷是什么條件.還可以采用集合的觀點來判斷：小范圍是大范圍的充分不必要條件，大范圍是小范圍的充要不充分條件.如果兩個范圍相等，則為充要條件.如果沒有包含關系，則為既不充分也不必要條件.7.已知為第二象限角，且，則等于（）A. B.1 C. D.7【答案】A【解析】【分析】先通過誘導公式求出，進而根據同角三角函數關系求出，展開代入的值計算即可.【詳解】,，即，又為第二象限角，，則，.故選：A.8.要得到函數的圖象，只需將函數圖象上的所有點（）A.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍B.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的C.先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍D.先向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的【答案】A【解析】【分析】根據三角函數平移，伸縮的變換規律，即可判斷選項.【詳解】函數圖象上的所有點先向右平移個單位長度，得到函數，再將橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數.故選：A9.設，給出下列四個結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據指數、對數函數的單調性，和不等式性質逐項判斷即可.【詳解】由題，令，則單調遞減，所以，①正確；令，在單調遞增，所以，②錯誤；對于③，，由知，，所以③正確；對于④，，因為，所以，所以，故④正確；故選：D10.已知函數的零點為，的零點為，若，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由函數零點的定義得到，再結合條件進行變形，，再根據對數函數的圖象和性質，即可求解取值范圍.【詳解】由題意可知，，，即，因為，所以，則，當時，解得：.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數的定義域為_____________．【答案】【解析】【詳解】函數的定義域為故答案為12.我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一等份是一個密位，那么300密位等于___________；【答案】【解析】【分析】根據一個圓周分為6000等份，對應，列出等式，即可求得答案.【詳解】設300密位等于x，由題意得：，解得，故答案：13.指數函數在區間上最大值與最小值的差為2，則等于______.【答案】2【解析】【分析】分與兩種情況，結合函數單調性得到方程，求出.【詳解】當時，單調遞增，故，解得或（舍去），當時，單調遞減，故，無解，綜上，等于2.故答案為：214.已知函數，若，則______；若，且，則的取值范圍是______.【答案】①.或②.【解析】【分析】根據對數運算求解方程；根據對數函數的圖象，即可去絕對值，再結合基本不等式，即可求解的取值范圍.【詳解】，得或；由題意可知，，由函數圖象可知，，則，即，則，，所以的取值范圍是.故答案為：或；15.已知函數對任意的，都有成立.給出下列結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是______.【答案】①③④【解析】【分析】令可判斷①，取特殊函數利用特例可判斷②，根據所給函數性質推出可得即可判斷③，利用均值不等式及③可判斷④.【詳解】令，則，故①正確；由可得，用換可得，令，則滿足，而，，則不恒相等，故②錯誤；由，用代替可得，又由對任意實數成立知，所以，故③正確；由③知，，所以，用替換可得，，所以，當且僅當時等號成立，故④正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）根據指對運算即可得到答案；（2）根據對數運算性質和換底公式即可.【詳解】（1）原式（2）由已知，，則17.在平面直角坐標系中，角終邊與單位圓交于點，若角與的頂點均為坐標原點，始邊均為軸的非負半軸，將繞原點按逆時針方向旋轉后與角的終邊重合.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由三角函數定義以及二倍角的余弦公式即可得解.（2）由誘導公式結合兩角和的余弦公式即可得解.小問1詳解】由三角函數定義，，，.【小問2詳解】由題意，，.18已知函數，.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）求在區間上的最大值與最小值.【答案】（1），.（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡原函數，再用周期公式計算周期和正弦函數的單調區間求出函數的單調增區間.（2）由正弦函數的單調性求出最值即可.【小問1詳解】因為所以的最小正周期.函數的單調遞增區間為.由，得.所以的單調遞增區間為.【小問2詳解】因為，所以.當，即時，取得最小值.當，即時，取得最大值.所以在區間上的最小值為，最大值為.19.已知函數，.（1）求證：為偶函數；（2）設，判斷的單調性，并用單調性定義加以證明.【答案】（1）證明見解析（2）是單調遞增函數，證明見解析【解析】【分析】（1）由對數復合型函數的定義域結合偶函數的定義即可得證.（2）直接由函數單調性的定義結合對數函數單調性即可得證.【小問1詳解】函數的自變量滿足，解得，所以函數的定義域為.對于，都有，且所以函數為偶函數.【小問2詳解】函數是單調遞增函數.理由如下：設，且，因為，所以，即，又知，所以，因此，即，由函數單調性定義可知，函數是單調遞增函數.20.設關于的函數的最小值為.（1）求；（2）若，求函數的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）換元成二次函數，分情況討論二次函數的單調性討論最小值即可.（2）根據二次函數的單調性進行最值的討論.【小問1詳解】解：（1），設，則，由于，若，則當時，取得最小值1，即；若，則當時，取得最小值，即若，則當時，取得最小值，即.所以.【小問2詳解】由第（1）問的結論可知，當時，無解；當時，由，解得，或（舍）；當時，由，解得（舍），綜上，此時當，即時，取得最大值5.21.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；（2）求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.（參考公式與數據：；；）【答案】（1），（2）（3），，.【解析】【分析】（1）首先旋轉的角速度和初相，結合三角函數，列出與的函數關系；（2）根據（1）的結果，即可求解；（3）根據（1）的結果，結合兩人的角度差，分別計算和，并利用參考公式化簡高度