課程導入：模塊一機械工程力學基礎

任務一

工程構件的受力分析橋式起重機教學目標知識目標1.理解剛體、力、平衡、約束與約束反力等與靜力學有關的概念；2.掌握靜力學基本公理及其應用；3.掌握工程中常見的約束與約束反力的畫法；4.理解平面力系的合成與平衡條件。能力目標1.能正確應用靜力學基本公理；2.能分析構件受到的約束反力的方向，并能正確繪制機構中構件的受力圖；3.能根據平面力系的計算方法計算構件的受力。素養目標1.通過了解力學的發展歷史，增強學生民族自豪感；2.培養學生愛崗敬業、精益求精的工匠精神。【學習重點與難點】1.靜力學公理及其推論；2.柔性約束、光滑表面約束、鉸鏈約束的特點及約束反力的畫法；3.構件的受力分析和受力圖的繪制；4.平面力系的合成與平衡。【相關知識】一、靜力學基本公理及應用（一）靜力學基本概念1.靜力學

研究質點系在力的作用下的平衡規律，即物體處于靜止或作勻速直線運動的規律。2.剛體、物系

剛體是指在力的作用下不產生變形的物體。

由若干個剛體組成的系統稱為物系。3.力、力系

力是物體間相互的機械作用。力系是指作用于物體上的一群力。物體在力系的作用下處于平衡狀態的力系稱為平衡力系。力有三要素：力的大小、方向和作用點。力的單位為牛頓（N）或千牛（kN），通常用黑體字母F代表力矢，字母F代表力的大小。（二）靜力學公理1.公理1二力平衡公理剛體受兩個力的作用處于平衡，其充分必要條件是：二力等值、反向、共線。二力桿：工程上在兩力作用下保持平衡的構件。二力桿兩力的方向必在兩力作用點的連線上。2.公理2加減平衡力系公理

在任意一個力系上，可隨意加上或減去一平衡力系，不會改變原力系對剛體的作用效應。力的可傳性原理：作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內任一點，而不改變原力對剛體的作用效應。3.公理3力的平行四邊形法則作用在剛體上同一點的兩個力可合成為一個合力，合力的作用點在該點，其大小、方向以這兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線來表示，如圖所示。力的三角形法則：三角形的兩個邊分別表示兩個分力，第三邊表示合力，合力的作用點仍在匯交點，如圖所示。推論：三力平衡匯交定理物體受三個力作用而平衡時，此三個力的作用線的延長線必匯交于一點（O點），三個力矢量按首尾連接的順序構成一封閉三角形，如圖所示。4.公理4作用力與反作用力公理

兩個物體間的作用力與反作用力總是同時存在，同時消失，且大小相等，方向相反，作用線相同，并分別作用在這兩個物體上。二、工程中常見的約束和約束反力（一）約束與約束反力概念物體的空間位置受到周圍物體的限制，這種限制稱為約束。約束限制物體運動的力稱為約束反力。（二）工程中常見的約束與約束反力工程中常見的約束與約束反力的類型與特點：三、構件的受力分析和受力圖

受力分析是指將被研究的物體從周圍物體中分離出來，分析其所受力的大小、作用點和方向。被分離出來的物體稱為分離體。在分離體上畫出它所受的全部主動力和約束反力，這種簡圖稱為受力圖。繪制受力圖按以下步驟進行：1）確定被研究對象并分離。2）畫出分離體的主動力。3）在分離體上解除約束的地方畫出相應的約束反力。例1

如圖所示，鋼球重G，用繩系住靠在光滑平面上。試畫出鋼球的受力圖。答案：例2曲柄沖壓機曲柄滑塊機構如圖所示。假設連桿AB、沖頭C的重量略去不計，且沖頭C受工件阻力F。試畫出連桿AB和沖頭C的受力圖。答案：四、平面匯交力系

在平面力系中各力作用線均匯交于一點的力系，稱為平面匯交力系。分析平面匯交力系的方法有幾何法和解析法兩種。（一）平面匯交力系合成與平衡的幾何法1.平面匯交力系合成的幾何法2.平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的充分必要條件是：該力系的合力等于零，即平面匯交力系平衡的幾何條件：當合力

時，多邊形自行封閉，即第一個力的始點與最后一個力的終點重合。（二）平面匯交力系合成的解析法與平衡條件

解析法即投影法，是利用平面匯交力系在直角坐標軸上的投影來求合力的方法。1.兩力合成的解析法2.平面匯交力系合成的解析法若剛體上作用的是平面匯交力系

則有：合力的大小與方向為：3.平面匯交力系平衡的解析條件

平面匯交力系平衡時，得到平面匯交力系的平衡方程為：注意：用解析法求解平衡問題時，未知力的方向可先假設，若計算結果為正值，則表示假設的與實際方向相同；反之，則相反。例題：如圖所示為一簡易起重機，重物用絞車和繞過滑輪的繩索吊起，其重力G＝20kN，滑輪及各桿件的重量不計，各接觸處的摩擦與滑輪的大小均略去不計。試求桿AB和BC所受的力。答案：五、力矩與力偶（一）力矩與合力矩定理

力除了能使物體產生移動外，有時還會有轉動。如圖所示用扳手擰緊螺母時，螺母產生轉動。1.定義

以物理量F·L與轉向來度量力使物體繞O點轉動的效應，這個量稱為力F對O點之矩，簡稱力矩。即：公式：O點為矩心O點到力作用線的垂直距離L為力臂正負號的規定：逆時針轉動時為正，反之為負力矩單位：牛頓·米（N·m）。2.合力矩定理

平面匯交力系的合力對平面內任意一點的力矩，等于力系中各力對同一點的力矩的代數和，即：答案：-62.5N·m例題：如圖所示為一漸開線直齒圓柱齒輪，分度圓直徑d=140mm，其齒廓在分度圓上的點P處受到一法向力Fn的作用，且已知Fn=950N，分度圓處壓力角（P點處）α=20°，試求力Fn對輪心O點的力矩。（二）力偶與力偶矩1.力偶

等值、反向、作用線不在同一條直線上的平行力所組成的力系稱為力偶。用（F，F’）表示。

力偶正負符號的規定：一般規定，使物體作逆時針轉動的力偶取正值，反之取負值。2.力偶矩定義：在力學上以力F與力偶臂d的乘積作為度量力偶在其作用面內對物體轉動效應的物理量。單位為N·m或N·mm，用M

(F，F’)表示，簡稱M。即：M

(F，F’)=M=±F·dd為力F和F’作用線之間的垂直距離。力偶矩正負符號的規定與力矩相同。3.力偶的性質（1）力偶對其作用面內任意點的力矩恒等于此力偶的力偶矩，與矩心的位置無關。（2）力偶無合力。（3）力偶在任何坐標上的投影和恒等于零。4.力偶的等效條件

力偶對物體的轉動效應取決于三要素：力偶矩的大小、力偶的轉向與力偶作用面的方位。

力偶的等效條件：三要素相同的力偶可以相互置換，而不改變對剛體的作用效果。如圖所示。5.平面力偶系的合成與平衡

作用在剛體上同一平面內的若干個力偶，總稱為平面力偶系。（1）平面力偶系的合成

平面力偶系合成后為一合力偶，其合力偶矩為各分力偶矩的代數和。即：（2）平面力偶系的平衡條件

平面力偶系平衡的充分必要條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零，即：

。例：如圖所示工件，在多軸鉆床上鉆孔，三軸的鉆頭對工件施加力偶的力偶矩分別為M1=M2=M3=20N·m，固定螺栓A和B之間的距離l=200mm，試求兩螺栓所受的水平約束力。答案：FNA=FNB=300N六、平面任意力系

作用于物體上的各力的作用線都在同一平面上，但即不匯交于一點，也不平行，此力系稱為平面任意力系。（一）力的平移定理

作用在剛體上的力，可以平移到剛體上任意點O，但必須附加一力偶，其力偶矩應等于原來力對該作用點O的矩MO(F)=Fd，如圖所示。（二）平面任意力系的簡化主矢的大小、方向及主矩分別為：（三）平面任意力系的平衡平面任意力系平衡的充分必要條件是：

主矢和主矩都等于零，即：

因平面任意力系中力的投影形式不是唯一的，平衡方程的表達形式有基本形式、二矩式、三矩式三種。如表所示。課程導入：模塊一機械工程力學基礎

任務二

工程構件的承載能力分析橋式起重機教學目標知識目標1.理解強度、剛度、穩定性、內力、應力、許用應力等基本概念。2.掌握構件承受軸向拉伸與壓縮、剪切與擠壓、圓軸扭轉、平面彎曲四種基本變形的特點。3.掌握構件承受四種基本變形的強度計算。能力目標1.能根據工程構件的實際受力情況分析其承載能力。2.能正確處理機械工程中構件的載荷問題。素養目標1.培養學生標準意識和規范意識；2.培養學生嚴謹細心、愛崗敬業、精益求精的工匠精神。【學習重點與難點】1.四種基本變形的受力和變形特點，根據構件實際承載識別變形類型。2.四種基本變形的強度計算。【相關知識】一、桿件變形的基本形式

實際構件的形狀是多種多樣的，簡化后的構件可分為桿、板、殼和塊，如圖所示。凡是長度尺寸遠遠大于其他兩個方向尺寸的構件稱為桿。桿件變形的基本形式有四種，如表所示。二、軸向拉伸與壓縮（一）軸向拉伸與壓縮的概念

桿件兩端的外力等值、反向，作用線與桿件的軸線重合，桿件沿軸線方向產生伸長或縮短變形。這種變形稱為桿件的軸向拉伸或軸向壓縮。起重機緊固螺栓拉伸與壓縮受力圖軸力的正負號規定如下：

當軸力的方向離開橫截面時，桿件產生拉伸變形，軸力取正號；反之，取負號。（二）軸向拉伸與壓縮桿件的內力與應力1.內力的概念

在外力的作用下，桿件內部產生的相互作用的力，稱為內力，也叫軸力，用FN表示，單位牛頓（N）。2.截面法

桿件內力的大小與方向，通常用截面法來確定，如圖所示。任取其中的一段作為研究對象，建立平衡方程，即：FN=F3.軸力與軸力圖

軸力沿桿件軸線方向的變化用軸力圖來表示。

軸力圖的表示：用橫坐標x表示橫截面的位置，縱坐標值表示各橫截面上軸力的大小，按選定的比例尺寸和軸力的正負把軸力分別畫在坐標軸上。課堂練習：如圖所示，桿件沿軸線方向受F1=5kN、F2=2kN兩個力的作用，分別作用在B、C兩點，試求桿件截面1-1與2-2的軸力并繪制軸力圖。提示：先進行外力分析，再進行內力分析答案：4.桿件橫截面上的應力與變形（1）應力

應力是指作用在桿件橫截面上單位面積的內力，用σ表示，即：（2）胡克定律

大多數工程材料有一個彈性階段，在此階段內軸向拉（壓）桿件的伸長或縮短量ΔL與內力FN和桿長L成正比，與桿件的橫截面積A成反比，即：

引入比例系數E，則：式中：E—彈性模量（Pa）。胡克定律胡克定律可改為：（三）拉伸與壓縮的強度計算對于塑性材料的許用應力

；對于脆性材料的許用應力

。

為保證構件安全可靠地工作，必須使構件的最大工作應力小于材料的許用應力

，即桿件受軸向拉伸或壓縮時的強度條件為：

強度計算：根據強度條件，可進行強度校核、橫截面的設計、許可載荷的確定。式中ns和nb分別為塑性材料與脆性材料的安全系數。選取安全系數時，應合理兼顧安全性和經濟性。在一般機械設計中，靜載荷下，取塑性材料ns

=1.5～2.0；脆性材料nb

=2.0～5.0。課堂練習：如圖所示的三角架由AB與BC兩桿鉸接而成，兩桿的截面均為圓形，材料的許用應力[σ]=58MPa，作用在節點B處的載荷Fp

=20kN，試確定AB與BC桿的直徑。受力分析：答案：計算結果：三、剪切與擠壓（一）剪切變形

大小相等、方向相反、作用線相距很近的兩力作用在鋼板上，鋼板在兩力間的截面m-m處發生相對錯動。鋼板的這種變形稱為剪切變形。發生相對錯動的截面m-m稱為剪切面。剪切面上內力的作用線與外力平行，沿截面作用，沿截面作用的內力稱為剪力，用符號FQ表示，如圖所示的鉚釘。

與剪力FQ對應，剪切面上有切應力τ。通常假定切應力在剪切面上是均勻分布的，則切應力的計算公式為：（二）擠壓變形

如圖所示的鍵，在鍵發生剪切變形的同時，往往伴隨著擠壓變形。在力的接觸面上，局部承受較大的壓力，同時發生塑性變形，這種現象稱為擠壓。發生擠壓的接觸面稱為擠壓面。擠壓面上的壓力稱為擠壓力，用Fj表示。擠壓面一般垂直于外力作用線。擠壓面上由擠壓力引起的應力稱為擠壓應力，用符號σj表示。（三）剪切與擠壓強度計算

為保證構件能可靠、安全工作，要求剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力，即剪切強度條件為：式中：

—材料的許用切應力，單位Pa。擠壓面上的擠壓強度條件為：

式中：

—材料的許用擠壓應力，單位Pa。注意：在擠壓強度計算中，當連接件和被連接件的材料不同時，應對擠壓強度較低的桿件進行強度計算。課堂練習：校核如圖所示鍵的強度。已知軸的直徑d0=50mm，采用B型普通平鍵，尺寸為b×h×l=14×9×50，傳遞的轉矩M=0.5kN·m，鍵和軸的材料為45號鋼，許用切應力[τ]=60MPa，許用擠壓應力[σj]=100MPa。答案：所選鍵的強度符合要求。四、圓軸扭轉（一）扭轉概念

如圖所示鉆頭、汽車轉向軸以及傳動軸AB，構件兩端受到一對大小相等、轉向相反的力偶的作用，作用在垂直于構件軸線的平面內，構件在力偶的作用下產生變形，任意兩橫截面皆繞軸線產生相對轉動，這種轉動變形稱為扭轉變形。發生扭轉變形的圓軸任意兩橫截面間相對轉動的角度稱為扭轉角，用ψ表示。圓軸表面的縱向直線也轉過一個角度γ，變為螺旋線，γ稱為切應變。（二）扭矩和扭矩圖

在分析圓軸的扭轉變形和承載能力之前，首先要計算外力偶矩。外力偶矩通常通過已知軸所傳遞的功率和轉速來求解，即：1.扭矩

求解圓軸扭轉內力用截面法。在截面n-n處有一個內力偶矩與外力偶矩Me平衡，這個內力偶矩稱為扭矩，用符號T表示。由平衡條件得：則：扭矩正負符號的規定：按右手螺旋法則，四指按扭矩的轉向握住軸線，則大拇指的指向離開截面時為正；反之為負。2.扭矩圖

為表示各截面扭矩的大小與正負，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖像，這種圖像稱為扭矩圖。以橫坐標x表示各截面的位置，以縱坐標T表示相應截面上的扭矩，圓軸扭矩圖如圖（d）所示。

當軸受多個外力偶作用時，由平衡條件可得計算扭矩方法：

圓軸任一截面的扭矩等于該截面一側軸段上所有外力偶矩的代數和。課堂練習：如圖所示的傳動軸，A為主動輪，輸入功率PA=40kW，轉速n=200r/min，輸出功率PB=25kW，PC=15kW。試作出傳動軸的扭矩圖。

從扭矩圖可以看出，在集中力偶作用處，其左右截面扭矩不同，此處發生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。最大扭矩發生在AB段，請思考：如果主動輪放中間，結果如何？（三）圓軸扭轉強度與剛度計算1.圓軸扭轉時橫截面上的切應力特點：（1）各縱向線傾斜了同一角度γ，表面上的矩形網格變成了平行四邊形。（2）各圓周橫截面均繞軸線轉過角度ψ

，各截面的形狀、大小及間距不變。

圓軸扭轉時橫截面上只產生切應力，而橫截面上各點切應力的大小與該點到軸心的距離ρ成正比，方向與過該點的半徑垂直。

當圓軸某橫截面上的扭矩為T、截面半徑為R時，橫截面上距軸心為ρ處的切應力τρ的計算公式為：

截面的極慣性矩

與抗扭截面系數

都與截面的形狀與尺寸有關。工程中承受扭轉變形的圓軸有實心圓軸與空心圓軸兩種，其橫截面如圖所示。兩種圓軸的截面極慣性矩與抗扭截面系數的計算公式如下。令

，則：式中：

—抗扭截面系數，單位為

。實心圓軸受扭時切應力的分布空心圓軸受扭時切應力的分布2.圓軸扭轉強度

為保證圓軸在扭轉變形中有足夠的強度，應使圓軸橫截面上的最大切應力不能超過材料的許用應力，即圓軸扭轉的強度條件為：3.圓軸剛度

不產生扭轉變形以兩個橫截面的相對扭轉角

來度量。通過圓軸扭轉試驗發現，當最大扭轉切應力

不超過材料的剪切比例極限

時，圓軸的扭轉角

（單位為rad）總是正比于扭矩

和軸的長度

，反比于截面的極慣性矩

及材料的切變模量

，即：（1）

越大，則

越小。它反映了截面抗扭轉變形的能力，稱為抗扭剛度。（2）扭轉角

與軸的長度

有關。為了消除的影響，將上式兩端除以

，得單位長度扭轉角

，其單位為

。用

表示：圓軸扭轉的剛度條件：課堂練習：如圖所示的階梯軸，已知

，，

，材料的許用切應力

，試校核階梯軸的強度。答案：最大切應力發生在BC段，且其最大切應力大于材料的許用切應力，說明階梯軸的強度不能滿足要求。五、平面彎曲

如圖所示的火車輪軸、橋式起重機橋梁，外力垂直作用于桿件軸線，使原為直線的軸線產生變形成為曲線，這種變形稱為彎曲變形。習慣上把以彎曲變形為主的桿件稱為梁。

工程中多數梁的橫截面有一對稱軸，通過對稱軸和梁的軸線作一縱向對稱面，如圖所示。若所有載荷都作用在梁的縱向對稱面內，梁的軸線在縱向對稱面內彎曲成一曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。（一）梁的支座形式及支座反力

梁的支座形式復雜多樣，按支座對梁的約束情況，將支座形式簡化為可動鉸鏈支座、固定鉸鏈支座、固定端三種。（二）載荷形式

作用在梁上的載荷，通常可分為集中載荷、分布載荷、集中力偶三種。集中載荷分布載荷集中力偶（三）梁的支撐形式

根據支撐形式的不同，梁可分為簡支梁、外伸梁、懸臂梁三種類型。簡支梁外伸梁懸臂梁（四）平面彎曲內力1.剪力和彎矩概念

梁在發生平面彎曲變形時，其橫截面上會產生兩種內力抵抗變形的發生，一種是剪力

，另一種是彎矩

。如圖所示，假想沿截面n-n將梁分成兩段，則有：（1）力

的作用線平行于外力并通過截面的形心，稱為剪力。（2）力偶矩

，其力偶面垂直于橫截面，稱為彎矩。梁橫截面上的剪力

與彎矩

可由平衡方程求得。梁任一截面上的內力

、

的大小，由該截面一側的外力確定，即：（2）剪力和彎矩的方向

從梁內取一小段梁，當小段梁兩側面發生“左上右下”相對錯動時，剪切力為正，反之為負。使小段梁彎曲向下凸時彎矩（左順右逆）為正，反之為負。2.剪力和彎矩的大小與方向（1）剪力和彎矩的大小3.彎矩圖

為了能直觀、形象地表示彎矩沿梁軸線的變化情況，找出最大彎矩值及其所在截面的位置，需要繪制彎矩圖。畫彎矩圖的步驟如下：（1）求出梁的支座反力；（2）列力與彎矩平衡方程，計算出梁的剪力

與彎矩

。（3）以平行于軸線的

軸為橫坐標，

表示截面位置，以縱坐標

表示相應各橫截面上的彎矩，正彎矩畫在

軸上方，負彎矩畫在

軸下方。例：如圖所示的簡支梁AB，在點C處受到集中力F作用，尺寸a、b和l均為已知，試計算簡支梁的截面內力并作出梁的彎矩圖。答案：先計算支座約束反力：截面內力：

截面彎矩：總結：