專題09一元一次不等式的應用與一元一次不等式組

考點串

一、一元一次不等式實際問題

1.行程問題：路程=速度X時間

2.工程問題：工作量=工作效率X工作時間，各部分勞動量之和=總量

3.利潤問題：商品利潤=商品售價一商品進價，利潤率=韶、100%

進價

4.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率

5.銀行存貸款問題：本息和=本金+利息，利息=本金義利率

6.數字問題：多位數的表示方法：例如：abed=axl03+/>xl02+cxl0+<7.

7.收費問題：分類討論，起步價，超過部分價格分好設x即可

8.幾何問題：判斷是哪種類型，如果是長方形則設長和寬x即可

列不等式解決實際問題

列一元一次不等式解應用題與列一元一次方程解應用題類似，通常也需要經過以下幾個

步驟：

(1)審：認真審題，分清已知量、未知量及其關系，找出題中不等關系要抓住題中的關

鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過”、“超過”等；

(2)設：設出適當的未知數；

(3)列：根據題中的不等關系，列出不等式；

(4)解：解所列的不等式；

(5)答：寫出答案，并檢驗是否符合題意.

注意

(1)列不等式的關鍵在于確定不等關系；

(2)求得不等關系的解集后，應根據題意，把實際問題的解求出來；

(3)構建不等關系解應用題的流程如圖所示.

抽

實際問題(包含不等關系)象出

還

原

到

檢驗

(4)用不等式解決應用問題，有一點要特別注意：在設未知數時，表示不等關系的文字如

“至少”不能出現，即應給出肯定的未知數的設法，然后在最后寫答案時，應把表

示不等關系的文字補上.

二、一元一次不等式組

不等式組的概念

x—7>0

x-2>5

如《<2x+ll>6等都是一元一次不等式組.

x-6<2010

3x+15<9

(1)這里的“幾個”不等式是兩個、三個或三個以上.

(2)這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數.

解一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的解集：

注意：

(1)找幾個不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個不等式的解集在同一數軸上表示出來,

然后找出它們重疊的部分.

(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組

可能出現無解的情況.

2.一元一次不等式組的解法

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集.

(2)利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個不等式組的解集.

一元一次不等式組的應用

列一元一次不等式組解應用題的步驟為審題一設未知數一找不等關系一列不等式組一

解不等式組一檢驗一答.

注意：

(1)利用一元一次不等式組解應用題的關鍵是找不等關系.

(2)列不等式組解決實際問題時，求出不等式組的解集后，要結合問題的實際背景，從解集

中聯系實際找出符合題意的答案，比如求人數或物品的數目、產品的件數等，只能取整

數.

類型一、行程問題

類型二、工程問題

類型三、利潤問題

專題過關

類型四、和差倍分問題類型十、一元一次不等式組中有、無解

類型五、利息問題類型H--、一元一次不等式組與二元一次方程組求解

類型六、收費問題-類型十二、一元一次不等式組的新定義

【解惑】

（2023春?全國,七年級專題練習）小茗要從石室聯中到春熙路ZFS國際金融中心，兩地相距

L7千米，已知他步行的平均速度為90米/分鐘，跑步的平均速度為210米/分鐘，若他要在

不超過12分鐘的時間內到達，那么他至少需要跑步多少分鐘？設他要跑步的時間為x分鐘,

則列出的不等式為（）

A.210^+90（12-x）＞1,7B.210x+90（12-x）＜1.7

C.210x+90（12-x）＞1700D.210x+90（12-x）＜1700

【融會貫通】

1.（2023?黑龍江哈爾濱?統考一模）甲、乙兩車分別從相距200千米的/、8兩地相向而行,

甲乙兩車均保持勻速行駛，若甲車行駛2小時，乙車行駛3小時，兩車恰好相遇若甲車行

駛4小時，乙車行駛1小時，兩車也恰好相遇.

⑴求甲乙兩車的速度（單位：千米/小時）是多少.

（2）若甲乙兩車同時按原速度行駛了1小時，甲車發生故障不動了，為了保證乙車再經過不

超過2小時與甲車相遇，乙車提高了速度，求乙車提速后的速度至少是每小時多少千米？

2.（2023春?全國?七年級專題練習）在爆破時，如果導火索燃燒的速度是0.015m/s,人跑開

的速度是3m/s,那么要使點導火索的施工人員在點火后能夠跑到100m以外（包括100m）

的安全地區，這根導火索的長度至少應取多少米？

3.（2022春?上海?八年級期中）小明早上七點騎自行車從家出發，以每小時18千米的速度

到距家7千米的學校上課，行至距學校1千米的地方時，自行車突然發生故障，小明只得改

為步行前往學校，如果他想在7點30分趕到學校，那么他每小時步行的速度至少是多少千

米？

4.（2021春?山西?七年級校聯考期末）小宇騎自行車從家出發前往地鐵2號線的B站，與此

同時，一列地鐵從A站開往3站.3分鐘后，地鐵到達B站，此時小宇離5站還有2400

米.已知A、B兩站間的距離和小宇家到B站的距離恰好相等，這列地鐵的平均速度是小宇

騎車的平均速度的5倍.

（1）求小宇騎車的平均速度

（2）如果此時另有一列地鐵需10分鐘到達3站，且小宇騎車到達3站后還需2分鐘才能走

到地鐵站臺候車，那么他要想乘上這趟地鐵，騎車的平均速度至少應提高多少？（假定這兩

列地鐵的平均速度相同）

5.（2021?廣西百色?校聯考一模）鄧老師從學校出發，到距學校2160米的某商場買學習獎

品，她步行了9分鐘然后換騎共享單車，全程共用15分鐘（轉換方式所需時間忽略不

計）.已知鄧老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍.

（1）鄧老師步行和騎共享單車的平均速度分別是多少？

（2）若鄧老師仍然以步行和騎共享單車的方式分別按原來速度原路返回，買完獎品時正好

10:31,為趕上10:45的數學課，問路上最多可步行多少米？

類型二、工程問題

【解惑】

（2022秋?重慶豐都?九年級校考期中）眾所周知，我國新疆盛產棉花，品種多且質量好，其

中天然彩棉最具特色.每年4月底至5月初是種植天然彩棉的最佳季節.某農場今年有8480

畝待種棉地，計劃全部播種天然彩棉.農場現有雇傭工人若干名，且每個工人每小時種植棉

花的面積相同.農場先將所有工人分成/、B、C三組，其中C組比/組多5人，且N、B、

。三組工人每天勞動時間分別為12小時，10小時，8小時.一開始三組工人剛好用了8天

完成了3200畝棉地的種植；接下來，農場安排/組工人每天勞動8小時，C組工人每天勞

動12小時，5組工人勞動時間不變，這樣調整后的三組工人也剛好用了8天完成了3280畝

棉地的種植.為了不錯過種植的最佳季節，農場決定從其他農場緊急雇傭3他名工人，平均

分配給4B、C三組進行支援，此時4B、C三組工人每天勞動時間仍分別為8小時，10

小時，12小時，以確保剩下的棉地在4天內完成全部種植，則3小的最小值為.

【融會貫通】

1.（2022春?海南海口?七年級校考期中）5月份是空調銷售和安裝的高峰時期.某區域售后

服務中心現有600臺已售空調尚待安裝，另外每天還有新銷售的空調需要安裝.設每天新銷

售的空調臺數相同，每個空調安裝小組每天安裝空調的臺數也相同.若同時安排3個裝機小

組，恰好60天可將空調安裝完畢若同時安排5個裝機小組，恰好20天就能將空調安裝完

畢.

（1）求每天新銷售的空調數和每個空調安裝小組每天安裝空調的臺數；

⑵如果要在5天內將空調安裝完畢，那么該區域售后服務中心至少需要安排幾個空調安裝

小組同時進行安裝？

2.（2023春?廣東佛山?八年級校考階段練習）小明借到一本72頁的圖書，要在10天之內讀

完，開始2天每天只讀5頁，在剩下的時間里，小明每天至少要讀多少頁？

3.（2023春?八年級單元測試）現有甲乙兩個工程隊參加一條道路的施工改造，受條件阻制,

每天只能由一個工程隊施工.甲工程隊先單獨施工3天，再由乙工程隊單獨施工5天，則可

以完成340米施工任務若甲工程隊先單獨施工2天，再由乙工程對單獨施工4天，則可以

完成260米的施工任務.

⑴求甲、乙兩個工程隊平均每天分別能完成多少米施工任務？

（2）要改造的道路全長1300米，工期不能超過30天，那么乙工程隊至少施工多少天？

4.（2022春?山東青島?八年級統考期末）某學校為美化校園環境，計劃對面積為1400n?的

區域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成.己知乙隊每天能完成綠化的面積是50平方米,

甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，學校每天需付給甲隊的綠

化費用為0.4萬元，每天需付給乙隊為0.5萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至

少應安排甲隊工作多少天？

5.（2022春?河南駐馬店?七年級統考期末）［方案思想］

（一）為了豐富群眾文化生活，某縣城區已經整體轉換成了數字電視.目前該縣廣播電視信

息網絡公司正在對鄉鎮進行數字電視改裝.公司現有400戶申請了但還未安裝的用戶，此外

每天還有新的用戶申請.已知每個安裝小組每天安裝的數量相同，且每天申請安裝的用戶數

也相同，公司若安排3個安裝小組同時安裝，則50天可以安裝完所有新、舊申請用戶；若

公司安排5個安裝小組同時安裝，則10天可以安裝完所有新，舊申請用戶.

（1）求每天新申請安裝的用戶數及每個安裝小組每天安裝的數量；

⑵如果要求在8天內安裝完所有新、舊申請用戶，但前3天只能派出2個安裝小組安裝，

那么最后幾天至少需要增加多少個安裝小組同時安裝，才能完成任務.

（二）"端午節"是中華民族古老的傳統節日.甲、乙兩家超市在“端午節”當天對一種原來售

價相同的粽子分別推出了不同的優惠方案.

甲超市方案：購買該種粽子超過200元后，超出200元的部分按95%收費；

乙超市方案：購買該種粽子超過300元后，超出300元的部分按90%收費.

設某位顧客購買了x元的該種粽子.

X（單位：元）實際在甲超市的花費（單位：元）實際在乙超市的花費（單位：元）

200X

200<x<300—X

x>300——

⑶補充表格，填寫在“橫線"上；

⑷當X為何值時到甲、乙兩超市的花費一樣？

⑸如果顧客在“端午節”當天購買該種粽子超過300元，那么到哪家超市花費更少？說明理

由.

類型三、利潤問題

【解惑】

(2023春?山東濟南?八年級校考階段練習)某種筆記本原售價是每本7元，凡一次購買3本

或以上可享受優惠價格，第1種：3本按原價，其余按七折優惠；第2種：全部按原價的八

折優惠，若想在購買相同數量的情況下，要使第1種比第2種更優惠，則至少購買筆記本是

()

A.7本B.8本C.9本D.10本

【融會貫通】

L(2023春?全國?七年級專題練習)隨著新冠疫情的出現，口罩成為日常生活的必需品，某

醫藥公司每月生產甲、乙兩種型號的防疫口罩共20萬只，且所有口罩當月全部賣出，其中

成本、售價如表所示：

甲乙

成本1.2元/只0.4元/只

售價1.8元/只0.6元/只

⑴若該公司三月份的利潤為8.8萬元，求生產甲、乙兩種型號的防疫口罩分別是多少萬只？

(2)養正學校到該公司購買乙型口罩，有如下兩種方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案

二：購買16.8元會員卡后，乙型口罩一律打7折，請幫養正學校設計出合適的購買方案.

2.（2023秋?河北保定?七年級校考期末）某超市對4,8兩種商品開展春節促銷活動，活動

方案有如下兩種：

商品AB

標價（單位：元）110160

方案一每件商品出售價格按標價打7折按標價打a折

方案二若所購商品超過10件（不同商品可累計）時，每件商品均按標價打8折后出售

（同一種商品不可同時參與兩種活動）

⑴某單位購買/商品5件，8商品4件，共花費961元，求。的值；

（2）在（1）的條件下，若某單位購買工商品x件，購買3商品的件數比/商品件數的2倍還

多一件，請問該單位該如何選擇才能獲得最大優惠？請說明理由.

3.（2021春?重慶南岸?八年級校聯考期中）新冠肺炎疫情發生后.口罩市場出現熱銷，小明

的爸爸用12000元購進醫用外科、N95兩種型號的口罩在自家藥房銷售.銷售完后總銷售

額為14700元，進價和售價如表：

品名價格醫用外科口罩N95口罩

進價（元/袋）2030

售價（元/袋）2536

（1）小明爸爸的藥房購進醫用外科、N95兩種型號口罩各多少袋？

（2）該藥房第二次以原價購進醫用外科、N95兩種型號口罩，購進醫用外科口罩袋數不變，

而購進N95口罩袋數是第一次的2倍，醫用外科口罩按原售價出售，而效果更好的N95口

罩打折讓利銷售，若兩種型號的口罩全部售完，要使第二次銷售活動獲利不少于2460元，

每袋N95口罩最多打幾折？

4.（2022春?海南海口?七年級瓊山中學校考階段練習）春節前小六從蔬菜批發市場批發蔬菜

進行零售，蔬菜批發價格與零售價格如下表：

品種青椒土豆

批發價（元/kg）1.53

零售價（元/kg）34

請解答下列問題：

⑴第一天，小六批發青椒和土豆兩種共200kg,用去了450元錢，這兩種蔬菜當天全部售

完一共能賺多少元錢？

⑵第二天，還是用去450元錢批發青椒和土豆，要想當天全部售完后所賺錢數不少于270

元，則最多能批發土豆多少千克？

5.（2023春?全國?八年級專題練習）某網店在“618購物節”前準備從廠家選購相同數量的A、

B兩種商品，已知3種商品每件進價比A種商品每件進價少20元，購進A種商品需要1200

元，購進B種商品需要1000元.

（1）求A、&兩種商品每件的進價分別是多少元；

⑵若A種商品的售價為每件145元，8種商品的售價為每件120元，該網店準備購進A、B

兩種商品共40件，且這兩種商品的全部售出后總利潤不少于920元，則B種商品最多可購

進多少件？

類型四、和差倍分問題

【解惑】

（2020?湖南常德?統考一模）我國的《洛書》中記載著世界上最古老幻方：將1-9這九個數

字填入3x3的方格內，使三行、三列、兩對角線上的三個數之和都相等.如圖的幻方中字母m

所能表示的所有數中最大的數是（）

A.6B.7C.8D.9

【融會貫通】

L（2023?云南?模擬預測）某校為活躍班級體育大課間，計劃分兩次購進一批羽毛球和乒乓

球.第一次分別購進羽毛球和乒乓球30盒和15盒，共花費675元第二次分別購進羽毛球

和乒乓球12盒和5盒，共花費265元.若兩次購進的羽毛球和乒乓球的價格均分別相同.

（1）羽毛球和乒乓球每盒的價格分別是多少元？

⑵若購買羽毛球和乒乓球共30盒，且乒乓球的數量少于羽毛球數量的2倍，請你給出一種

費用最省的方案，并求出該方案所需費用.

2.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱德強學校校考階段練習）某班級為學習成績進步的

學生購買獎品，計劃購買同一品牌的鋼筆和自動鉛筆，到文教店查看定價后發現，購買1支

鋼筆和5支自動鉛筆共需50元，購買3支鋼筆和2支自動鉛筆共需85元.

（1）求該品牌的鋼筆、自動鉛筆每支的定價分別是多少元；

（2）如果該班級需要自動鉛筆的數量是鋼筆的數量的2倍還多8個，現在文教店進行促銷活

動，全場商品一律八折出售，且班級購買鋼筆和自動鉛筆的總費用不超過620元，那么該班

級最多可購買多少支該品牌的鋼筆？

3.(2023春,全國?八年級專題練習)為了抓住中秋商機，某商店計劃購進42兩種月餅，

若購進/種月餅10盒，8種月餅5盒，需要600元；若購進/種月餅5盒，8種月餅3盒,

需要330兀.

(1)求購進48兩種月餅每盒需要多少元？

⑵若該商店決定拿出2400元全部用來購進兩種月餅，考慮市場需求，要求購進/種月餅的

數量不少于8種月餅數量6倍，且不超過8種月餅數量的8倍.請你分別求出該商店共有

幾種進貨方案？

4.(2021秋?重慶?八年級重慶巴蜀中學校考期中)金秋十月，丹桂飄香.香甜可口的桂花糕

也成為了大家茶余飯后喜愛的甜點，某超市10月分別用3000元和6600元購進N、B兩種禮

盒的桂花糕若干件，其中3的件數是4的件數的2倍，每件3的進價比每件/的進價多2

元./禮盒售價為36元/件，8禮盒售價為24元/件.

(1)求該超市10月購進/禮盒桂花糕多少件；

⑵由于深受廣大消費者喜愛，10月購進的/、B兩款桂花糕很快就銷售完，11月該超市繼

續購進這兩款桂花糕，但在銷售時進行了適當的調整，/禮盒的售價降低了;a％,8禮盒

售價不變.結果/禮盒的銷量在10月銷量的基礎上增加了60%,8禮盒的銷量在10月銷量

的基礎上增加了g機％,若要使得11月兩種禮盒的總銷售額不低于15552元，求加的最大

值.

5.（2023春?福建漳州?七年級統考期中）某商場進貨40件/商品和30件8商品共用了760

元，進貨50件/商品和10件8商品共用了840元.

（1）求/、8兩種商品的進價.

（2）該商場在某次進貨中，2商品的件數比/商品的件數的2倍少4件，且/、2兩種商品的

總件數至少為26件，總費用不超過248元，請問該商場有哪幾種進貨方案？

類型五、利息問題

【解惑】

（2013,浙江杭州?統考一模）某企業向銀行貸款100萬元，一年后歸還銀行106.6多萬元，

則年利率高于%.

【融會貫通】

1.（2018秋?湖南張家界?八年級校考期末）2007年5月19日起，中國人民銀行上調存款利

率.

人民幣存款利率調整表:

項目調整前年利率%調整后年利率％

活期存款0.720.72

二年期定期存款2.793.06

儲戶的實得利息收益是扣除利息稅后的所得利息，利息稅率為20%.

（1）小明于2007年5月19日把3500元的壓歲錢按一年期定期存入銀行，到期時他實得

利息收益是多少元？

（2）小明在這次利率調整前有一筆一年期定期存款，到期時按調整前的年利率2.79%計

息，本金與實得利息收益的和為2555.8元，問他這筆存款的本金是多少元？

（3）小明爸爸有一張在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款單，為獲取

更大的利息收益，想把這筆存款轉存為利率調整后的一年期定期存款.問他是否應該轉存？

請說明理由.

約定：①存款天數按整數天計算，一年按360天計算利息.

②比較利息大小是指從首次存入日開始的一年時間內.獲得的利息比較.如果不轉存，利

息按調整前的一年期定期利率計算如果轉存，轉存前已存天數的利息按活期利率計算，轉

存后，余下天數的利息按調整后的一年期定期利率計算（轉存前后本金不變）.

2.（2022秋?八年級課時練習）某企業向銀行貸款1000萬元，一年后歸還銀行貸款的本利

和超過1040萬元.問年利率在怎樣的一個范圍內？

3.（2021春?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學校考期末）2021年初，隨著重慶本地的一些優

勢政策的落地，城市經濟發展狀況越來越好，購房需求有增無減，重慶樓市漲幅明顯，據國

家統計局5月17日公布的70城房價數據顯示，4月重慶新房價格環比上漲1.4%,領漲全國

二手房價格環比上漲13%,漲幅全國第二.5月份，重慶RC壹號院甄裝大平層璀璨登場，

共推出/、2兩種大平層共100套，其中/戶型340萬元/套，2戶型460萬元/套.

（1）RC壹號院5月的銷售總額為38800萬元，問5月推出/、8兩種戶型各多少套？

（2）近期，關于重慶銀行利率上漲、二手房將停貸等消息在朋友圈被大量轉發，重慶樓市

將要進行調控成為了各大平臺的熱點話題.為年中清盤促銷，地產商調整了營銷方案，對銷

售團隊采取獎勵辦法：每銷售一套/戶型按每套售價的。％給予獎勵，每銷售一套2戶型按

每套售價的0.5%給予獎勵.獎勵辦法出臺后./戶型6月份的銷售量比5月份增加了50%；

而8戶型6月份的銷售量比5月份減少了30%,為保證銷售團隊6月份類勵金額不低于

4

152.97萬元，求。的最小值.

4.（2020春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市光華中學校校考階段練習）水產養殖戶李大爺準

備進行大閘蟹與河蝦的混合養殖，他了解到如下信息：

①每畝水面的年租金為500元.

②每畝水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg蝦苗.

③每千克蟹苗的價格為75元，其飼養費用為525元，當年可獲1400元收益.

④每千克蝦苗的價格為15元，其飼養費用為85元，當年可獲160元收益.

（1）若租用水面n畝，則年租金共需元；

（2）水產養殖的成本包括水面年租金、苗種費用和飼養費用，求每畝水面蟹、蝦混合養殖

的年利潤（利潤=收益一成本）；

（3）李大爺現有資金25000元，他準備再向銀行貸款不超過25000元，用于蟹蝦混合養殖,

已知銀行貸款的年利率為10%,試問李大爺應該租多少畝水面，并向銀行貸款多少元，可使

年利潤達到36600元？

5.（■江蘇蘇州?中考真題）蘇州地處太湖之濱，有豐富的水產養殖資源，水產養殖戶李大爺

準備進行大閘蟹與河蝦的混合養殖，他了解到如下信息：

①每畝水面的年租金為500元，水面需按整數畝出租；

②每畝水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤蝦苗；

③每公斤蟹苗的價格為75元，其飼養費用為525元，當年可獲1400元收益；

④每公斤蝦苗的價格為15元，其飼養費用為85元，當年可獲160元收益；

⑴若租用水面"畝，則年租金共需一元；

⑵水產養殖的成本包括水面年租金、苗種費用和飼養費用，求每畝水面蟹蝦混合養殖的年

利潤（利潤：收益一成本）；

⑶李大爺現有資金25000元，他準備再向銀行貸不超過25000元的款.用于蟹蝦混合養

殖.已知銀行貸款的年利率為8%,試問李大爺應該租多少畝水面，并向銀行貸款多少

元.可使年利潤超過35000元?

類型六、收費問題

【解惑】

（2022春?山東臨沂?七年級統考期末）甲，乙兩市出租車收費標準如表:

起步價（元）3千米后（元/千米）

甲102

乙82.5

某人分別在兩市乘坐出租車各行駛x千米（其中x>3）,若甲市的收費高于乙市，則x的取

值范圍為（）

A.x<7B.%>3C.x>10D.x<10

【融會貫通】

1（2022春?安徽淮北?七年級淮北一中校聯考階段練習）甲，乙兩市出租車收費標準如下表

起步價（元）3千米后（元/千米）

甲102

乙82.5

某人分別在兩市乘坐出租車各行駛無千米（其中x>3）,若甲市的收費高于乙市，則x的值

（）

A.大于7B.小于7C.大于10D.小于10

2.（2023春?全國?七年級專題練習）甲、乙兩個家庭計劃利用"五一"假期到某景區旅游，已

知甲家庭人數比乙家庭人數多4人，且甲家庭人數的2倍恰好等于乙家庭人數的3倍.

⑴求甲、乙兩家庭的人數分別有多少人？

（2）現有48兩個旅行社，他們的報價相同，都是成人票價200元，兒童票價120元.同時,

他們都規定：團體人數不少于15人，可按表格中的優惠條件購票.設兩個家庭共有加名兒

童，若他們組團旅游，則選擇哪一家旅行社支付旅游費用較少？

旅行社團體優惠條件

A/成人全價購票，兒童可免費

B8成人8折購票，小孩半價購票

3.（2022秋?山東青島,九年級青島大學附屬中學校考開學考試）為了落實水資源管理制度,

大力促進水資源節約，某地實行居民用水階梯水價，收費標準如下表：

居民用水階梯水價表單位：元/立方米

分檔戶每月分檔用水量X（立方米）水價

第一階梯0<x<155.00

第二階梯15<x<217.00

第三階梯x>219.00

⑴小明家5月份用水量為14立方米，在這個月，小明家需繳納的水費為元；

（2）小明家6月份繳納水費110元，在這個月，小明家繳納第二階梯水價的用水量為

立方米；

⑶隨著夏天的到來，用水量將會有所增加，為了節省開支，小明家計劃7月份的水費不超

過180元，在這個月，小明家最多能用水多少立方米？

4.（2022秋?山東臨沂?七年級統考期末）春節期間，某同學計劃租車去旅行，在看過租車公

司的方案后，認為有以下兩種方案比較適合（注：兩種車型的油耗相同）：

日租金（單位：元）免費行駛里程（單位：千米）超出部分費用（單位：元/千米）

/型12001001.5

3型15002001.2

解決下列問題：

⑴如果此次旅行的總行程為1800千米，請通過計算說明租用哪種型號的車劃算；

（2）設本次旅行行程為x千米，請通過計算說明什么時候選N型車，什么時候選8型車？.

5.（2023春?八年級單元測試）某工廠需將產品分別運送至不同的倉庫，為節約運費，考察

了甲、乙兩家運輸公司.甲、乙公司的收費標準如下表：

運輸公司起步價（單位：元）里程價（單位：元/千米）

甲10005

乙50010

⑴倉庫A距離該工廠120千米，應選擇哪家運輸公司？

（2）倉庫C,。與該工廠的距離分別為60千米、100千米、200千米，運送到哪個倉庫時,

可以從甲、乙兩家運輸公司任選一家？

⑶根據以上信息，你能給工廠提供選擇甲、乙公司的標準嗎？

6.（2022?廣東揭陽?統考二模）為了增強公民的節水意識，合理利用水資源，某市出臺了居

民用水"階梯價格"制度來引導市民節約用水，下表是用水價格的標準：

階梯一戶居民每月用水量（單位：立方米）水費價格（單位：元/立方米）

一檔不超過15立方米a

二檔超過15立方米的部分b

已知該市某戶居民今年4月份用水16立方米，繳納水費50元；5月份用水20立方米，繳

納水費70元.

（1）求出表格中a、b的值；

（2）6月份是用水高峰期，該戶居民計劃6月份水費支出不超過85元，那么該戶居民6月

份最多可用水多少立方米?

類型七、數字問題

【解惑】

（2020?七年級統考課時練習）一個兩位數，它的十位數上的數字比個位上的數字大2.且這

個兩位數小于40,則這個兩位數是.

【融會貫通】

1.（2022春?河南南陽?七年級統考期中）一個兩位數，其十位上數字與個位上數字之和等于

9,且十位上數字與個位上數字都不為0.若將其十位上數字與個位上數字調換，所得新數

小于原來數的：.求這個兩位數.

2.（2022春?重慶榮昌?七年級統考期末）閱讀材料：一個四位自然數各位數字不同且不為0,

若它滿足千位數字與個位數字之和等于百位數字與十位數字之和，我們稱這個四位自然數為

"雙城數".比如8631,各位數字均不為0且不相同，8+1=6+3,所以8631是"雙城數".

（1）請判斷5724,6532是否是“雙城數”，并寫出判斷過程；

（2）一個“雙城數"/千位數字為2,百位數字為加，個位數字為小若/的各位數字之和恰為7

的倍數，求所有滿足題意的“雙城數"

3.（2022?江蘇?七年級假期作業）定義：對于四位自然數加，若其千位數字與個位數字之和

為7,百位數字與十位數字之和也等于7,則稱這個四位自然數加為“七巧數".例如：3254

是“七巧數"，因為3+4=7,2+5=7,所以3254是“七巧數"；1456不是“七巧數"，因為

1+6=7,4+5/7,所以1456不是"七巧數".

(1)若一個"七巧數"的千位數字為4,則其個位數字可以表示為;(用含。的代數式

表示)

⑵若"七巧數”加的千位數字加上十位數字的和，是百位數字減去個位數字的差的3倍，請寫

出一個滿足條件的"七巧數".

4.(2020春?湖南長沙?七年級校考階段練習)定義：對任意一個兩位數a,如果a滿足個位

數字與十位數字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數為“迥異數".將一個"迥異數"的

個位數字與十位數字對調后得到一個新的兩位數，把這個新兩位數與原兩位數的和與11的

商記為f(a).例如：a=12,對調個位數字與十位數字得到新兩位數21,新兩位數與原兩位

數的和為21+12=33,和與11的商為33+11=3,所以f(12)=3.

根據以上定義，回答下列問題：

(1)填空：

①下列兩位數：40,42,44中，“迥異數"為二

②計算：f(23)=_.

(2)如果一個"迥異數"b的十位數字是k,個位數字是2(k+1),且f(b)=11,請求出“迥

異數"b.

(3)如果一個"迥異數"c,滿足c-5f(c)>30,請直接寫出滿足條件的c的值.

類型八、幾何問題

【解惑】

(2021春,山東濰坊?七年級統考期末)如圖，一機器人在平地上按圖中的程序行走，要使機

器人行走的路程大于10m,則a的值可能是()

否

A.90°B.45°C.36°D.24°

【融會貫通】

L（2022?福建?模擬預測）小明同學在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算了一個內

角，結果得到的總和是800。，則少算了這個內角的度數為一.

2.（2023春?全國?七年級專題練習）將長為4,寬為。（。大于2且小于4）的長方形紙片按

如圖①所示的方式折疊并壓平，剪上一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；

再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長等于此時長方形寬的正方形,

稱為第二次操作；如此反復操作下去…，若在第"次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則

操作終止.當〃=3時，。的值為.

3.（2023春?江蘇?七年級專題練習）如圖，已知乙405=120。，射線OP從。/位置出發，以

每秒2。的速度順時針向射線02旋轉；與此同時，射線。0以每秒6。的速度，從位置出

發逆時針向射線旋轉，到達射線后又以同樣的速度順時針返回，當射線返回并

與射線。尸重合時，兩條射線同時停止運動.設旋轉時間為/秒.

⑴當f=5時，貝ikPO。的度數是

（2）求射線。。返回時f的值取值范圍.

⑶在旋轉過程中，當0°</尸。。420。時，求f的取值范圍.

（注此題主要考查，把不等式變等式來求，分三種情況，求相遇，相距30度的K再寫三

個不等式范圍）

4.（2023春?江蘇?七年級專題練習）長方形的一邊長為2米,另一邊長為（x+8）米，它的周

長不大于48米，求x的取值范圍.

5.（2021春?七年級課時練習）若多邊形有且只有四個鈍角,那么此多邊形的邊數至多是多

少？

類型九、一元一次不等式組中取整

【解惑】

jQ<m

有4個整數解，則〃?的取值范圍是（）

ix>3

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<7

【融會貫通】

、，\x-a>0

L（2023春?安徽滁州?七年級校考期中）關于x的不等式組有且僅有5個整數

—5<1—x

解，則。的取值范圍是（）

A.-5<a<-4B.-5<a<-4C.-4<a<-3D.-4<a<-3

2x+3>12

2.（2022春?四川瀘州?七年級統考期末）若關于x的一元一次不等式組.,八恰有3個

整數解，則實數。的取值范圍是.

[2x-7<0

3.（2023春?陜西西安?八年級高新一中校考期中）若關于、的不等式組八有且僅有

[X-6Z>0

一個整數解x=3,則實數。的取值范圍是.

x-3（x-l）>1

4.（2023春,北京西城?九年級北京鐵路二中校考階段練習）解不等式組l+3x,，并

------->x-l

[2

寫出它的所有非負整數解.

5.（2023春?福建漳州?七年級統考期中）已知加，〃與代數式。加-加+l的值的對應關系如

下表:

m234

n31-1

am-bn+\-4412

（1）根據表中信息，求a,6的值;

ax-6-（x-3）<8

（2）若關于x的不等式組。人〉C、I，有且只有一個整數解，求才的取值范圍.

3a-O-（-2x）+1<t

類型十、一元一次不等式組中有、無解

【解惑】

l<x<2

（2022秋?浙江?八年級專題練習）若不等式有解，則加的取值范圍是（）

[x>m

A.m<2B.m>2C.m<\D.1<m<2

【融會貫通】

-2x+3機>

1.（2023春?全國?七年級專題練習）若關于x的一元一次不等式組―4—~“有解，且

2x+7<4（x+1）

最多有3個整數解，且關于y的方程"-2=四二當二2的解為非負整數，則符合條件的所

有整數m的和為（）

A.23B.26C.29D.39

\x-a<Q

2.（2022秋?湖北黃岡?八年級校聯考開學考試）若不等式組?、有解，則。的取值

[1-2x<2-x

范圍是（）

A.a>-1B.6Z>-1C.6Z<1D.a<l

（x>3,

3.（2023春?七年級單元測試）某班數學興趣小組對不等式組/討論得到以下結論①

[x<a

若。=5,則不等式組的解集為3<x45；②若a=2,則不等式組無解③若不等式組無解,

則。的取值范圍為。<3；④若不等式組只有兩個整數解，則。的值可以為5.3.其中，正

確結論的序號是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

x+1X

■----<—

4.（2023春?全國?八年級專題練習）若不等式組32無解，則加的取值范圍為

x<2m

5-3%>-1

5.（2023?全國?九年級專題練習）己知關于x的不等式組,八無解，則。的取值范圍

a-2x<0

是

類型十一、一元一次不等式組與二元一次方程組求解

【解惑】

x一（4。-2）<2

（2023春?全國?八年級專題練習）若關于x的不等式組3x-lx+2的解集為xV4%且

-----<----

123

（y+2z=4。+5

關于八Z的二元一次方程組:c”的解滿足了+2NT,則滿足條件的所有整數。

[2y+z=2Q+4

的和為（）

A.-3B.-2C.0D.3

【融會貫通】

fx+y=-2a

1.（2022春?重慶?七年級校考期中）已知關于x,了的二元一次方程組'、的解關

[x-y=4a-2

于工,歹滿足％<0,天工2,則。的取值范圍為.

fx+y=m

2.（2023春?七年級單元測試）整數加滿足關于x,y的二元一次方程組《:》的解是

[5x+3y=21

\5x-4m>0

正整數，且關于X的不等式組X46有且僅有2個整數解，則，〃為一

3.（2022春?江蘇泰州?七年級校聯考階段練習）若關于x,y的二元一次方程組

2x+y=3a-l

x+2y=2

⑴若x+y=l,求Q的值.

⑵若-34-”3,求。的取值范圍.

⑶在（2）的條件下化簡⑷+|。-2|.

3x+2y=加+1①

4.2023秋?貴州銅仁?八年級統考期末）已知關于工,y的二元一次方程組

2x+y=m-1(g)

當加為何值時，工<歹且3x_2y>0?

\x+y=-a-/

5.（2021春?甘肅蘭州?八年級校考期中）已知關于x,V的二元一次方程組.?2的

[x-y=i+3a

解X為非正數，了為負數，求。的取值范圍.

類型十二、一元一次不等式組的新定義

【解惑】

（2023年廣東省深圳市三十五校中考模擬數學試卷）定義新運算"⑤"，規定：

[x03>0

a?b=a-2b,若關于'的不等式組心的解集為％〉6,則。的取值范圍是

[x?a>a

【融會貫通】

1.（2023春?安徽合肥?七年級合肥市第四十二中學校考期中）新定義：若一元一次方程的解

在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不