Page18北京市海淀區2024-2025學年高二數學上學期期中試題（本試卷滿分120分，考試時間100分鐘）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據題意，將直線方程化為斜截式，求出直線斜率，由斜率與傾斜角的關系，及可求解．【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2.圓關于原點對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓心關于原點的對稱點，從而可求出所求圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為點關于原點對稱點為，所以圓關于原點對稱的圓的方程為，故選：C.3.如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據空間向量的線性運算法則——三角形法，精確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.4.已知直線，點和點，若，則實數的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，依據直線平行的斜率關系得出實數的值.【詳解】，由于，則直線的斜率為即，故選：B5.若點為圓的弦的中點，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由垂徑定理可知，求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】圓的標準方程方程為，，即點在圓內，圓心，，由垂徑定理可知，則，故直線的方程為，即.故選：C.6.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（）A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1【答案】D【解析】【分析】依據題意，結合圖形，分別推斷選項中的命題是否正確即可．【詳解】易知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不行能相互平行，故選項A錯誤；易知EF∥A1B，與選項A同理，可推斷選項B錯誤；因為EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項C錯誤；對于，平面平面，理由是：由，，，分別是棱，，，的中點，得出，，所以平面，平面，又，所以平面平面．故選：．7.已知直線平面，則“直線”是“”的()A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【詳解】當且時,我們可以得到或（因為直線與平面的位置關系不確定）,所以充分性不成立;當時,過直線可做平面與平面交于直線,則有.又有,則有,即.所以必要性成立,故選.8.已知正方體，給出下列四個結論：①直線與所成的角為；②直線與所成的角為；③直線與平面所成的角為；④直線與平面所成的角為.其中，正確結論的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題意，作圖，利用線面垂直判定定理，以及線面角定義，結合三角函數的定義，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在正方體中，平面，由平面，則，在正方形中，，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，，故①②正確；同理可得平面，垂足為，所以為直線與平面所成的角，設正方體的棱長為，，，則，即，故③錯誤；易知為直線與平面所成的角，由，則，故④正確.故選：C.9.設，若直線與圓相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直線與圓相切的性質可得，的關系式，再借助均值不等式求解能求出的取值范圍．【詳解】,直線與圓相切，圓的圓心，半徑，則，整理得，，，，解得或，的取值范圍是故選：D10.在空間中，過點A作平面的垂線，垂足為B，記，設、是兩個不同的平面，對空間隨意一點P，，恒有，則（）A.平面與平面垂直B.平面與平面所成的（銳）二面角為C.平面與平面平行D.平面與平面所成的（銳）二面角為【答案】A【解析】【分析】依據題意分析可得重合于同一點，且所成的角為直角，即可得出.【詳解】設，則依據題意得點是過點作平面垂線的垂足，，點是過點作平面垂線的垂足，同理，若，得點是過點作平面垂線的垂足，得點是過點作平面垂線的垂足，對隨意的點P，恒有，重合于同一點，由此可得，四邊形為矩形，且是所成的角，是直角，所以平面與平面垂直.故選：A.二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.直線與直線之間的距離等于__________.【答案】【解析】【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線之間的距離.故答案為：12.若點，，三點共線，則的值等于______.【答案】4【解析】【詳解】解：因為若三點13.如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則三棱錐的體積為__________.【答案】1【解析】【分析】由線面垂直，依據等體積法即可求解.【詳解】在正方體中，平面,所以平面,,故,故答案為：114.已知直線，若直線與圓在第一象限內的部分有公共點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依據題意畫出圖像，視察圖像得到直線與圓在第一象限內的部分有公共點時，其臨界直線分別為直線，求出對應的斜率可寫出的取值范圍.【詳解】如圖所示，由直線得直線過點，由題意得圓，圓心為，半徑為，令得或，所以圓與軸的交點為，所以直線的斜率為，當直線與圓相切時，有，整理得，解得，其中切線的斜率為，若直線與圓在第一象限內的部分有公共點，則直線斜率的取值范圍為.故答案為：.15.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，點在線段上.則點到直線的距離的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，由空間向量表示出點P到的距離，利用函數性質即可求解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，，設，，則，設點P在平面ABCD上的投影為，則∥，則點到直線的距離，∴，當時，，故答案為：16.在平面直角坐標系中，假如與都是整數，則稱點是整點.已知直線，下列命題中正確的是__________.（寫出全部正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；②若和都是無理數，則直線不經過任何整點；③存在只經過一個整點的直線；④存在只經過兩個不同整點的直線.【答案】①③【解析】【分析】舉例可推斷①②③，通過兩個整數點，和，在直線上，可得，在直線上，進而可得更多的整數點在直線上，進而推斷④錯誤【詳解】對于①，令，則該直線既不與坐標軸平行又不經過任何整點，故①正確；對于②，取，，直線為，經過整點，故②錯誤；對于③，比如直線方程為，直線經過整點，當取不為0的整數時，都是無理數，故該直線只經過整點，故③正確；對于④，設直線為，若此直線過不同的整點，和，，把兩點代入直線方程得：，，兩式相減得：，則，為整點且在直線上，依次可得直線經過無窮多個整點，故④錯誤．正確的命題是①③．故答案為：①③．三?解答題共4小題，共50分.解答應寫出文字說明?演算步驟或證明過程.17.如圖所示，在五面體中，平面為的中點，.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用直線與的方向向量求異面直線與所成角即可.（2）求出平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，利用公式即可求出答案.【詳解】因為平面，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，（1）所以，所以，所以，因為，所以，所以異面直線與所成角為.（2）因為，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，取平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知直線經過兩條直線和的交點.（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線與圓相交所得弦長為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）聯立方程組得到交點為，再利用平行的直線系求解即可.（2）首先得到圓心到直線距離，再分類探討結合圓的弦長求解即可.【小問1詳解】，即交點為.設直線的方程為，把點代入方程得，所以直線的方程為.【小問2詳解】圓，圓心為，半徑為.設圓心到直線的距離為，則.若直線過點且斜率不存在，則，到圓心距離為，滿意條件；若直線過點且斜率存在，設，即，由題意，解得.所以，即.綜上所述，直線的方程為或.19.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，點在棱上.條件①：；條件②：平面平面.從條件①和②中選擇一個作為已知，解決下列問題：（1）推斷與是否垂直，并證明；（2）若點為棱的中點，點在直線上，且點到平面的距離為，求線段的長.（3）求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.注：若選擇①和②分別作答，按選擇①給分.【答案】（1），證明見解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）選①由勾股定理證得，從而證得平面，進而由證得結果；選②由面面垂直的性質證得平面，從而證得結果.（2）建立空間直角坐標系，由點到面的距離公式解得點M的坐標，進而由兩點間距離公式可得BM的長.（3）由線面角公式得是關于的分式型函數，進而用換元法求分式型函數的值域可得結果.【小問1詳解】選①：.證明：平行四邊形中，.∵，∴中，.∴，∴又∵，，平面，∴平面，平面，∴.又∵，∴.選②：.證明：∵平面平面，平面平面，，平面.∴平面，平面，∴.【小問2詳解】由（1）知：BA、BD、BP兩兩垂直，∴以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，∴，設平面的法向量為，則令，則.此時.∵在直線上，∴設，∴∴到平面的距離為∴，∴或，∴或，∴或.【小問3詳解】∵在棱上，∴設，∴，設平面的法向量為，則∴，取，由于，設直線與平面所成角，則∴，令，當時，；當時，；∵，∴，∴.∴綜上，20.對于平面直角坐標系中的兩點，現定義由點到點的“折線距離”為.（1）已知，求；（2）已知點，點是直線上的一個動點，求的最小值；（3）對平面上給定的兩個不同的點，是否存在點，同時滿意①②.若存在，懇求出全部符合條件的點；若不存在，請予以證明.【答案】（1）4；（2）；（3）存在，答案見解析.【解析】【分析】（1）依據題中給定定義干脆求解;（2）依據定義列出式子，用不等式求解最值；（3）依據定義分類探討證明.【小問1詳解】.【小問2詳解】因為點為直線上的動點，故可設點的坐