第二章標量衍射理論光波是電磁波，其傳播過程滿足電磁波波動方程。當遇到障礙物時，光波會發生衍射。何為衍射索末菲定義：不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離。衍射是光傳播的普遍屬性，是光的波動性的表現。惠更斯—菲涅爾定義：光波在傳播過程中波面受到限制，使自由完整的波面產生破缺的現象稱為衍射現代定義：光波在傳播過程中不論任何原因導致波前的復振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改變，使自由傳播光場變為衍射光場的現象，都稱為衍射。衍射問題的解決方式：1，電磁波是矢量波，考慮光波的矢量性，嚴格電磁場衍射理論必須用矢量波方法求解。數學上很復雜，但是在某些問題（如研究高分辨率光柵時）必須要用這個方法。2，標量的方法（基爾霍夫標量衍射理論），一定條件下，可以不考慮電磁場矢量各個分量之間的聯系，電磁波矢量方程可以寫為分量方程（標量方程），把光作為標量來處理，只考慮電磁場一個分量的復振幅。標量衍射理論條件： （1）衍射孔徑比光波長大得多;

（2）觀察點距離衍射孔足夠的遠。§2.1歷史引言a.”衍射”現象最早研究衍射現象的是格里馬第(F.H.Grimaldi)光是能夠作波浪式運動的流體，不同顏色代表不同頻率

——1655年發表論文b.”衍射”的最初定義（索莫菲A.Sommerfeld)不能用反射或折射定律來解釋的，光線對直線光路的任意偏離現象，稱為衍射。d.18世紀牛頓在科學領域處于權威地位，由于他摒棄了光的波動理論，使得這一理論停滯了近一個世紀。c.惠更斯(F.M.Huygens)子波源假設理論

-----波動說的第一位倡導者波前上每一點起著一個次級波源(子波源)的作用，每一個次級波源發出次級球面波(子波)，它向著四面八方擴展，所有這些次級波的包絡面便是新的波前。可解釋”衍射”現象，但無法定量分析e.1801年,楊氏干涉原理(T.Young)證實了光的波動性——振幅疊加f.1818年，菲涅耳(A.J.Fresnel)提出惠更斯-菲涅耳原理。可定性分析衍射現象，提出了定量初步模型。g.基爾霍夫(G.Kirchhoff)提出了基爾霍夫衍射理論，完善了惠更斯-菲涅耳理論。可定性、定量分析衍射現象。h.索末菲利用格林函數理論修正了基爾霍夫衍射理論，成為瑞利-索末菲理論§2.2從矢量理論到標量理論光的電磁理論

麥克斯韋方程組介質中無自由電荷符號：電場強度磁場強度直角坐標系分量直角坐標系分量根據矢量理論若介質是線性、各向同性、均勻、無色散，則其中n

為介質折射率，c

為真空中的光速分量Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz的標量波動方程用一個標量波動方程慨括

和

的各分量的行為與位置和時間有關矢量理論到標量理論前提條件：介質同時具有線性、各向同性、均勻性且無色散結論：電場和磁場的所有分量的行為完全相同，可由單一的一個標量波動方程描述，標量理論可以完全準確的代替矢量理論若介質不具備上述前提，則用標量理論來表征矢量理論就會引入誤差1678年，惠更斯為解釋波的傳播提出子波的假設，認為波面上每一點都可以作為次級子波的波源，后一時刻的波陣面（相位相同的點組成的平面）則可看作是這些子波的包絡面1818年，菲涅耳引入干涉概念對惠更斯原理進行了補充，認為子波源應當是相干的，后空間光場是子波干涉的結果。惠更斯作圖法加上干涉原理，就稱為惠更斯---菲涅爾原理§2.3基爾霍夫標量衍射理論2.3.1

惠更斯-菲涅耳原理與基爾霍夫衍射公式1、

惠更斯-菲涅耳原理pS

*··QdU(Q)rpdSS(波前)設初相為零n

主要問題：1該理論缺乏嚴格的理論依據。常數c中應包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲涅爾原理無法解釋。K(θ)的具體函數形式難以確定。衍射理論所要解決的問題

光場中任一點Q的復振幅能否用光場中其它各點的復振幅表示出來？例如能否由如圖孔徑平面上的場分布計算孔徑后面任一點Q處的復振幅？這是一個根據邊界值求解波動方程的問題。Q入射光

基爾霍夫利用數學工具格林定理，通過假定衍射屏的邊界條件，求解波動方程，導出了更嚴格的衍射公式，從而把惠更斯—菲涅耳原理置于更為可靠的波動理論基礎上。2、

基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論—基爾霍夫衍射公式QPnP0Σr0rP0點的單色點光源

P為孔徑平面上任一點，Q為孔徑后方的觀察點。

r和r0分別是Q和P0到P的距離，二者均比波長大得多。

n表示衍射屏面法線的正方向。在單色點光源照明下，平面孔徑后方光場中任一點Q的復振幅為基爾霍夫衍射公式孔徑平面上的復振幅分布是球面波，有代入基爾霍夫衍射公式，有其中：若并代入衍射公式，該公式與惠更斯-菲涅爾衍射公式完全相同。基爾霍夫衍射公式說明：

上述基爾霍夫衍射公式僅僅是單個點光源發射的球面波照明孔徑的情況作出的討論，但衍射公式卻適用于更普遍的任意單色光波照明孔徑的情況。因為任意復雜的光波可分解成簡單的球面波的線性組合，波動方程的線性性質允許對每一單個球面波分別應用上述原理，把所有點源在Q點的貢獻疊加。因此，基爾霍夫衍射公式中可以理解為在任意單色光照明下在孔徑平面產生的光場分布．基爾霍夫衍射公式

根據基爾霍夫對平面屏幕假設的邊界條件，孔徑外的陰影區內，則衍射公式的積分限可以擴展到無窮，從而有：這里省略常數項c。

衍射與障礙物

不論以什么方式改變光波波面

——（1）限制波面范圍

（2）振幅以一定分布衰減，（3）以一定的空間分布使復振幅相位延遲，（4）相位與振幅兩者兼而變化，都會引起衍射，均稱為衍射。 所以障礙物的概念，除去不透明屏上有開孔這種情況以外，還包含具有一定復振幅的透明片。把能引起衍射的障礙物統稱為衍射屏。衍射屏處光場描寫衍射屏自身宏觀光學性質的物理量——復振幅透過率：：衍射屏前表面的復振幅或照射到衍射屏上的光場的復振幅；：是衍射屏后表面的復振幅。若衍射屏是具有開孔的不透明屏，則公式中的既可理解為衍射屏前表面的復振幅，也可理解為衍射屏后表面的復振幅，因為積分范圍為Σ。若將衍射過程看作衍射屏后表面光振動到觀察面的傳播，則2.3.2基爾霍夫衍射與疊加積分基爾霍夫衍射公式令有

物理意義

衍射屏面上任一點P，其復振幅為

P點處的小面元dS對觀察點Q的貢獻

表示在P點有一個單位脈沖即時，在觀察點Q造成的復振幅分布，稱為脈沖響應或點擴散函數。由上面衍射公式可知，觀察點Q的復振幅，是Σ上所有面元的光振動在Q點引起的復振幅的相干疊加。如果把衍射過程看作是一種變換，衍射公式便是將函數變換成的變換式。按照系統的觀點，衍射過程或傳播過程也可以等效為一種線性系統的線性變換，代表了這個系統的全部特性光波傳播的線性性質不僅存在于單色光波在自由空間中的傳播，同樣存在于孔徑和觀察平面之間是非均勻媒質的情況，如兩者之間存在有光學系統，則線性系統的脈沖響應函數h（P，Q）有不同的形式而已2.3.3

相干光場在自由空間傳播的平移不變性對于近軸有：

則：故有：即：觀察平面上光場的復振幅分布，等于孔徑平面上透射光場的復振幅與脈沖響應

的卷積2.1.6因此，衍射系統可以等效于一個線性空不變系統，故可用線性系統理論分析衍射現象，這一結論是傅里葉變換與光學互相結合的紐帶之一。2.3.4相干光場在自由空間傳播的脈沖響應的近似表達式當和都是小量菲涅耳近似或傍軸近似脈沖響應可表示為：代入菲涅耳衍射如果在菲涅耳衍射的基礎上進一步限定的線度遠遠小于傳播距離z，以至于

小到可以忽略不計；而觀察范圍的線度與z相比盡管很小，但還未小到可以略去的程度，可以進一步簡化得出：這一近似稱為夫瑯禾費近似或遠場近似，在這一條件下，脈沖響應可進一步簡化為：不再具有空間平移不變性。2.4衍射的角譜理論2.4.1單色平面波與本征函數如果不考慮夫瑯禾費近似，則相干光場在給定的二平面間的傳播過程就是通過一個二維線性空不變系統。在1.6.4節中，形如的函數應該是這種系統的本征函數，在1.7節中我們知道

的函數表示振幅為1的平面波在xy平面上形成的復振幅分布。空間頻率分量表示單色平面波的傳播方向。2.2.2角譜的傳播

衍射角譜分析方法令：如果能夠找到和的關系，就知道了每一平面波的分量在傳播過程中振幅和位相發生的變化，自然也就可以確定整個光場由孔徑平面傳播到觀察平面所發生的變化。由于在所有無源點上，必須滿足亥姆霍玆方程將上式代入亥姆霍玆方程：在空域坐標系中僅是z的函數，解這個二階齊次偏微分方程，得到這個方程的基本解為：式中由邊界條件決定，在處，即為孔徑平面，角譜是。因此上式表明，我們只要知道平面上光場的角譜就可以求出觀察面的角譜，然后通過傅里葉逆變換可以求出觀察面的復振幅分布。相移當時，式中對應這些傳播方向波動分量稱為倏逝波平方根是虛數該系統的傳遞函數是低通濾波器，截止頻率為。在頻率平面上，這個濾波器的半徑為的圓孔。這一結論告訴我們，對于孔徑中比波長還小的精細結構，或者空間頻率高于的信息，在單色平面波照明下不能沿方向向前傳播。基爾霍夫理論和角譜理論的比較球面子波干涉疊加的衍射理論衍射的平面波理論線性不變系統空域頻域孔徑平面上的光場看做點源的集合觀察平面上的光場等于球面子波的相干疊加球面子波在觀察平面上復振幅分布就是系統的脈沖響應孔徑平面光場分布看成許多不同方向平面波的線性組合觀察平面上的場分布仍然等于這些平面波分量的相干疊加。但每個平面波分量引入一個相移相移的大小決定于系統的傳遞函數2.2.3孔徑對角譜的影響用單位振幅的平面波垂直照射衍射屏時因而通過衍射屏后，由函數所表征的入射光場的角譜變成了孔徑函數的傅里葉變換，顯然角譜分量大大增加了。因此，從空域看，孔徑的作用限制了入射波面的大小，從頻域看則是展寬了入射光場的角譜2.3.菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射

2.3.1菲涅耳衍射將展開：令略去第三項----菲涅耳近似得菲涅耳公式為:在指數項中，被略去的第三項不應引起明顯的位相誤差，即移項得：（2.3.1）2.3.2上式稱為菲涅耳衍射成立的充分條件，但不是必要條件。取菲涅耳近似的目的是要能夠用公式2.3.1來等效以下積分公式實際上，當z較小時，上述條件雖不滿足，也能觀察到菲涅耳衍射從角譜理論出發，對描述光波傳播的傳遞函數H做出近似，導出菲涅耳衍射公式觀察面上和孔徑面上的光擾動關系式傳遞函數2.3.52.4.7當時，可對位相因子中的根式作二項式展開，即若上式中第三項所貢獻的位相遠小于，則上式中第三項都可以忽略不計，即z應滿足2.5.7代入2.5.7傍軸近似下：在菲涅耳衍射區內代入由于，傳遞函數也可表示為對下式作逆傅里葉變換上式積分過程使用到高斯積分公式：2.3.3菲涅耳衍射與傅里葉變換的關系一般情況：指數項展開得代入上式整理得：-----菲涅爾衍射公式的傅里葉變換表達形式尤其當照明衍射屏是匯聚球面波時，中將包含關于的二次位相因子，在一定條件下可以與相消。這時的菲涅耳衍射計算變得比較簡單。頻率取離散值的無窮多個平面波的疊加現討論與物平面相距為z的觀察平面上的光場分布，這是一個菲涅耳衍射問題。對這個問題從頻域研究比從空域研究更為方便由菲涅耳衍射傳遞函數的表達式得：觀察平面上得到的場分布的頻譜為：當z滿足條件則有在這種情況下

對上式作傅里葉逆變換得到觀察平面上的場分布為其強度分布與物體相同，即于是在的整數倍距離上，可觀察到物體的像。成為泰伯距離2.5.3夫瑯和費衍射公式式中:r的簡化：令略去第三項----菲涅耳近似

---------------夫瑯和費近似代入U(x,y)式得夫瑯和費衍射公式為：------------------夫瑯和費衍射公式夫瑯和費近似條件及范圍令2.5.4簡單孔徑的夫瑯和費衍射（舉例）求幾個簡單孔徑的夫瑯和費衍射(單位振幅的平面波照明：透過孔徑的場等于振幅透過率)矩形孔的衍射

矩形孔的復振幅透過率為：得：

根據夫瑯和費衍射公式得：得衍射平面的光強度為：光強在方向的分布如圖

中央（0級）最大光強為：當時，

有由函數的定義知：

當，時，

因此：當時，

有零值，故得中央亮斑的寬度為：單縫的衍射單縫的復幅透過率為：

得：得強度分布為：2.貝塞爾函數的性質（1）（2）（3）圓孔衍射

圓孔的復振透過率為：圓對稱，其付氏變換用傅里葉---貝塞爾變換表示由（1）（2）由得：故得圓孔夫瑯和費衍射為：強度分布為：對于一階貝塞爾函數有：當時，

因此，衍射斑中心的強度分布為（光強）故得：2.6透鏡的傅里葉變換性質要在衍射屏后面的自由空間觀察夫瑯禾費衍射，其條件相當苛刻，要想近距離觀察夫瑯禾費衍射，是借助會聚透鏡實現的。研究光場復振幅經過透鏡后的橫向光場分布（與普通光學中的區別）在單位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情況下，夫瑯禾費衍射就是屏函數的傅里葉變換。對透射物體進行傅里葉變換運算的物理手段是實現它的夫瑯禾費衍射（即：透射物體后面加會聚透鏡）。2.6.3透鏡的一般變換特性2.6.1透鏡的相位變換作用2.6.2透鏡的FT特性本節包含：透鏡：光密介質（玻璃、塑料等），v<c。薄透鏡：忽略光線在透鏡內由于折射而產生的平移，

0

0(x,y)薄透鏡的作用:若忽略吸收，僅使入射波前產生相位延遲，。（把透鏡看成是一個相位型的衍射屏）2.4.1透鏡的位相變換作用圖2.6.1透鏡的位相變換作用幾何光學：點物成點像波面變換：發散的球面波變換成會聚球面波透鏡的復振幅透過率常數相位，可略去根據透鏡的高斯公式：理解透鏡相位變換的物理意義可通過考察透鏡對垂直入射的單位振幅平面波的效應，來理解透鏡相位變換的物理意義當一個單位振幅的平面波垂直于面入射時，它在面上造成的復振幅分

，在面上造成的復振幅分布傍軸條件下，這是一個球面波的表達式f>0凸透鏡，指數位相因子顯示為負，為會聚球面波，向透鏡后方f處的焦點F會聚的球面波。f<0凹透鏡，指數位相因子顯示為正，為發散球面波，由透鏡前方處的虛焦點發散球面波。發散透鏡f<0-f會聚透鏡f>0f球面透鏡將平面波變換成球面波（波前經過透鏡發生變化）,在很大程度上依賴于傍軸近似。表示孔徑函數透鏡孔徑內其它透鏡的位相變換因子可寫作

會聚透鏡除具有成像性質外，另一個最突出和最有用的性質就是它能夠進行二維FT。正因如此，傅立葉分析方法才得以用于光學。2.6.2透鏡的傅里葉變換特性1.物在透鏡之前物的前表面上造成的光場分布透過物體，輸出面上的光場分布根據菲涅耳衍射到達透鏡平面，其復振幅分布：光源s的共軛面上的光場分布：把代入先將積出其中，1.輸入平面位于透鏡前焦面計算光源共軛面上場分布的一般公式衍射物體的復振幅透過率與衍射場的復振幅分布存在準確的傅里葉變換關系，并且只要照明光源和觀察平面滿足共軛關系，與照明光源的具體位置無關。也就是說，不管照明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標的關系，始終為觀察平面上坐標(x,y)處的光場的振幅和相位，由衍射物體中頻率為