專題13計數原理7類常考題型訓練

目錄

一常規題型方法...........................................................1

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排數問題）....1

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）.......................3

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）.................5

題型四二項式定理、二項式系數、項的系數..................................8

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................10

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................11

題型七楊輝三角.........................................................12

二針對性鞏固練習........................................................14

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排數問題）……―14

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）......................14

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................15

練習四二項式定理、二項式系數、項的系數.................................16

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................17

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................17

練習七楊輝三角.........................................................18

常規題型方法

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排

數問題）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋?河北石家莊?高二校聯考期末）2023年元旦假期，小明同學外出

去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，需從9個外觀完全相同的盲盒中，

隨機抽取3個.已知這9個盲盒中，其中3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另

外6個盲盒中，各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明獲獎的

情形為（）種

A.84B.42C.41D.35

典例12（2022秋.遼寧朝陽?高二校聯考階段練習）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，

節約糧食是我國的傳統美德.已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜,

小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的

選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

典例1-3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，矩形的對角線把矩形分成4、B、C、D

四部分，現用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分

顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

典例1-4.（2022春?天津河西?高二天津實驗中學校考期中）從024,6中任取3個數

字，從1,3,5中任取2個數字，組成沒有重復數字的五位奇數，則這樣的五位數共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【方法技巧總結】

1.技巧：注意特殊位置與特殊元素優先處理，對于染色問題與排數問題都要注意分

類討論。

【變式訓練】

1.（2022秋?江蘇南通?高三統考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部

動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少

兩人觀看，則不同的觀影方案共有（）種.

A.30B.40C.50D.80

2.（2022春?上海閔行?高二校考期末）現有5名同學去聽同時進行的4個課外知識

講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（）

A.45B.54C.20D.9

3.（2023?全國?高三專題練習）某兒童游樂園有5個區域要涂上顏色，現有四種不同

顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有

（）種

A.36B.48C.54D.72

4.（2022春?廣東清遠福二統考期末）回文聯是我國對聯中的一種，它是用回文形

式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代

北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯：“客上天然居，居然天上

客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數學中也有這樣一類順讀與例讀都是同一個數的

正整數，被稱為“回文數”，如22,575,1661等.那么用數字1,2,3,4,5可以

組成4位“回文數”的個數為（）

A.25B.20C.30D.36

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）

【典例分析】

典例2-1.（2022秋?遼寧葫蘆島?高二校聯考期中）小陳準備將新買的《尚書?禮記》、

《左傳》、《孟子》、《論語》、《詩經》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》、《詩

A.18種B.24種C.36種D.48種

典例2-2.（2022秋?遼寧朝陽?高二校聯考階段練習）《紅樓夢》是中國古代章回體長

篇小說，中國古典四大名著之一，《紅樓夢》第三十七回賈探春提議邀集大觀園中有

文采的人組成海棠詩社.詩社成立目的旨在“宴集詩人於風庭月榭；醉飛吟盞於簾杏

溪桃，作詩吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉詩社成員有8人：林黛玉、

薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈，若這8人排成一排進

人大觀園，且林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，則不同的排法種數有（）

A.1440R.2400C.14400D.86400

典例2-3.（2022秋?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學校考階段練習）元宵節燈展

后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有

C.90種D.280種

典例2-4.（2022?全國?高三專題練習）某晚會上需要安排4個歌舞類節目和2個語言

類節目的演出順序，要求語言類節目之間有且僅有2個歌舞類節目，則不同的演出

方案的種數為（）.

A.72B.96C.120D.144

【方法技巧總結】

1.技巧：相鄰問題用捆綁法；不相鄰問題用插空法；定序問題與環排問題可用縮倍

法；當正向思考情況過多時可“正難則反”使用間接法來處理。

【變式訓練】

1.（2022秋?浙江?高二校聯考階段練習）某學校籌備元旦晚會節目單時，準備在前

五個節目排三個歌唱節目，一個小品節目以及一個相聲節目，若三個歌唱節目最多

有兩個相鄰，則不同的排法總數為（）

A.75B.80C.84D.96

2.（2022秋?湖北褰陽?高三襄陽五中校考階段練習）根據新課改要求，昆明市藝卓

中學對學校的課程進行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數學、英

語、物理、化學、生物這六個科目進行重新編排（排某一天連續六節課的課程，其

中每一節課是一個科目），編排課程要求如下：數學與物理不能相鄰，語文與生物要

相鄰，則針對這六個課程不同的排課順序共有（）

A.144種B.72種C.36種D.18種

3.（2022春?江蘇蘇州?高二昆山震川高級中學校考期中）現有8個人圍成一圈玩游

戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（）

A.B.A”A：A；C.A；A；D.A；-A；A；

4.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱工業大學附屬中學校校考階段練習）中國古

代中的“禮、樂、射、御、書、數”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育;“樂”主要指美育；

“射”和“御”就是休育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數”指數學.某校國學社團

開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數”不在第一次也不在第六次，“禮''

和“樂”不相鄰，貝IJ“六藝”講座不同的次序共有（）

A.480種B.336種C.144和D.96種

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）

【典例分析】

典例3-1.（2022秋?新疆巴音郭楞?高二新疆和靜高級中學校考階段練習）中國空間

站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲

、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有

<）種

A.450B.72C.90D.360

典例3-2.（2022?全國?高三專題練習）疫情期間，有6名同學去社區做防疫志愿者，

根據需要，要安排這6名同學去甲、乙兩個核酸檢測點，每個檢測點至少去2名同學，

則不同的安排方法共有（）

A.10種B.20種C.50利?D.70種

典例3-3.（2022春?黑龍江佳木斯?高二校聯考期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰

墩墩”和冬殘奧會吉祥物，雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克

精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會

和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體

育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者

安裝，則不同的安裝方案種數為（）

A.8B.10C.12D.14

典例3-4.（2022?山東濰坊?二模）某學校為增進學生體質，擬舉辦長跑比賽，該學校

高一年級共有6個班，現將8個參賽名額分配給這6個班，每班至少1個參賽名額，則

不同的分配方法共有（）

A.15種B.21種C.30種D.35種

典例3-5.（2023?全國?高三專題練習）北京冬奧會期間，比賽項目豐富多彩，為了實

時報道精彩的比賽過程，需要安排5名記者前往國家體育場、國家體育館和首都體

育館二個比賽場地進行實地報道,每個場地至少有一名記者,每名記者只夫一個場地.

并且記者甲不去國家體育館，記者乙不去國家體育場.則安排方式共有（）

A.87種B.72種C.96種D.69種

【方法技巧總結】

1.技巧：在分組時如果出現兩組個數相同，則此問題為平均分組或部分平均分組問

題，使用縮倍法處理；元素完全相同的分組分配問題可使用隔板法。

【變式訓練】

1.（2022秋?甘肅張掖?高三高臺縣第一中學校考階段練習）安徽省地形具有平原、

臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區占了很大比重，因此山地較多，著

名的山也有很多，比如：黃山、九華山、天柱山.某校開設了研學旅行課程，計劃將

5名優秀學生分別派往這三個地方進行研學旅行，每座山至少有一名學生參加，則

不同的安排方案種數是（）

A.150B.120C.160D.180

2.（2023?全國?高三專題練習）為貫徹落實《中共中央國務院關于全面深化新時代教

師隊伍建設改革意見》精神，加強義務教育教師隊伍管理，推動義務教育優質均衡

發展，安徽省全面實施中小學教師“縣管校聘”管理改革，支持建設城鄉學校共同

體.2022年暑期某市教體局計劃安排市區學校的6名骨干教師去4所鄉鎮學校工作一

年，每所學校至少安排1人，則不同安排方案的總數為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

3.（2023?全國?高三專題練習）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥

物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰A、8兩

個志愿者小組，組委會決定將3個不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3個不同造型“雪容

融'‘吉祥物，平均分配給A、8兩個小組，要求每個小組至少有一個“冰墩墩”，則這6

個吉祥物的分配方法種數為（）

A.9B.18C.19D.20

4.（2022.全國?高二專題練習）袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球,

每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，最后四個小朋友手中乒乓球個數的

情況一共有（）

A.84種B.504種C.729和D.39種

5.（2022?浙江嘉興?校考模擬預測）第19屆亞運會即將于2022年9月10日至9月

25日在美麗的西子湖畔杭州召開，為了辦好這?屆“中國特色、浙江風采、杭州韻

味、精彩紛呈”的體育文化盛會，杭州亞運會組委會決定進行賽會志愿者招募，此舉

得到在杭大學生的踴躍支持.某高校3男同學和2位女同學通過篩選加入志愿者服務,

通過培訓，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個項目進行志愿者服務，這四個項

目都有人參加，要求2位女同學不安排一起，且男司學小王、女同學大雅由于專業

需要必須分開，則不同的安排方法種數有（）

A.144B.150C.168D.192

題型四二項式定理、二項式系數、項的系數

【典例分析】

/1\'0

典例4-1.（2022秋?吉林長春?高三長春外國語學校校考期中的展開式中,

力的系數等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

典例4-2.（2022?全國?高三專題練習）已知（五十1]的展開式中，第3項的系數與

倒數第3項的系數之比為白，則展開式中二項式系數最大的項為第（）項.

10

A.3B.4C.5D.6

典例4-3.（2022秋?云南昆明?高三云南師大附中校考階段練習）二項式,十9]’的

展開式中所有二項式系數之和為64,則二項式的展開式中常數項為（）

A.9B.15C.135D.540

典例4-4.（2022春?江蘇揚州?高二揚州市江都區丁溝中學校考期末）若二項式

,的展開式中所有項的系數和為1024,則展開式中的常數項為（）

A.25B.-25C.15D.-15

典例4-5.（2023秋?江蘇泰州?高三統考期末）若（x+y『=%），6+a因，5+的k/+...+4,巴

則（40+。2+q+。6）2-卜71+%+%）2的值為（）

A.0B.32C.64D.128

典例4-6.（2023秋?江西南昌?高二南昌市外國語學校校考期末）已知

4525

（x-1）+2X=a0+?,（x+l）+a2（x+l）++a5（x+l）,則生=（）

A.-2B.2C.4D.12

【方法技巧總結】

1.二項式定理:（a+〃）"=C%"+C『%+???+「/"+??＜1?"，通項：

2.相關性質：

（1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等。即C：=C,T”

（2）當A＜四時，二項式系數逐漸增大；當”＞四時，二項式系數逐漸減小。

22

（3）二項式系數的最大值

當〃是偶數時，中間一項（第1+1項）的二項式系數最大，最大值C。

當〃是奇數時，中間兩項（第±1+1項和第四+］項）的二項式系數相等，且同時

22

w-1/J>I

取到最大值，最大值為。了或C7。

（4）各二項式系數的和

（〃+%）”的展開式的各二項式系數的和等于2”;奇數項和偶數項的二項系數的和相等,

為。

（5）各項系數的問題：/*）=/+中+W2+...4心則各項系數之和為了⑴。奇數

項系數之和…+#..=/”（一）;偶數項系數之和

Al）-y（-l）

4+/+%+-='——j——。

【變式訓練】

1.（2000?全國?高考真題）二項式（正+石幻’°的展開式中系數為有理數的項共有（）

A.6項B.7項C.8項D.9項

2.（2022?浙江?校考模擬預測）若二項式（2x+

的展開式中只有第7項的

二項式系數最大，若展開式的有理項中第攵項的系數最大，則A=（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2022春?山東聊城?高二山東聊城一中校考期中）已知（IT）"的展開式中第3項與

第7項的二項式系數相等，則展開式中的第3項為（）

A.-8B.-8xC.-28/D.28/

4.（2023秋?甘肅蘭州?高三蘭化一中校考階段練習），+與"的展開式中只有第5項

的二項式系數最大，若展開式中所有項的系數和為256,則。的值為（）

A.1B.-1C.3D.1或-3

5.（2022?全國?高三專題練習）已知C：=C；,設

（2x-3）r，=（x-1）+（x-1）2+■??+??（x-1）°,則q+G+…+4=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022春?山東臨沂?高二統考期中）對任意實數工,有

9

（2彳-3）9=恁+4（彳-1）+出（工-1『+〃3（4-1）3++a9（x-l）,貝lj（）

A.%=1B.a2=-144

9

C.?i+a2++%=1D.?0-tzl+6f2----679=3

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式

【典例分析】

典例5-1.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學校考階段練習）（2/+），+1了的展

開式中一/項的系數為（）

A.120B.160C.180D.210

典例5-2.（2022秋?山西?高三校聯考階段練習）在《+”.12+］了的展開式中，常數

項為（）

A.12B.13C.15D.18

【方法技巧總結】

1.技巧：選取法可以處理上述兩類不標準的情況，注意選取要分情況，且滿足不重

不漏。

【變式訓練】

1.（2022秋?貴州?高三校聯考階段練習）在化-x+i1的展開式中，常數項為（）

A.-81B.81C.-160D.160

2.（2022?青海西寧遵川中學校考一模）（1+力（2必亡）的展開式中的常數項是（）

A.-160B.-l（X）C.-20D.20

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題

【典例分析】

典例6-1.（2022秋?湖南長沙?高三雅禮中學校考階段練習）

-2%+22dg+…+2］必譚的值是（）

A.0B.1C.-ID.22022

典例6-2.（2023?高二課時練習）設awZ,且0313,若51刈$+a能被13整除,則

。的值為（）.

A.0B.1C.11D.12

典例6-3.（2023?全國?高二專題練習）0.99,的計算結果精確到0.001的近似值是（）

A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933

【方法技巧總結】

1.技巧：二項式定理逆用要熟悉兩類模型，并注意補項；整除問題與近似值問題都

主要進行配湊展開。

【變式訓練】

1.（2021春?江蘇淮安?高二校聯考期中）設復數（i是虛數單位），則

1-1

C/x+Cir+C短2^3++C器”22=（）

A.-2B.-zC.2D.0

2.（2022?全國?高三專題練習）已知SnZ-ZRc然+2?8殿+…+2C',則s除以10所

得的余數是（）

A.2B.3C.6D.8

3.（2021春?安徽?高二校聯考期末）估算

C!0.998+C；0.9982+C0.9983+C；0.998』+C?.998s的結果，精確到001的近似值為：）

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

題型七楊輝三角

【典例分析】

典例7-1.（2022?全國?高三專題練習）下表出現在我國南宋數學家楊輝的著作《詳解

九章算法》中，稱之為“楊輝三角”，該表中第10行第7個數是（）

C.84D.36

典例7-2.（2022秋?北京?高三統考階段練習）“楊輝三角”是中國古代數學文化的現

寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.

如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數依

次構成一個數列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，則此數列的前20項的和為（）

第1行11

第2行12^-1

第3行13<-3I

第4行14^—641

第5行15To105I

A.350B.295C.285D.230

【方法技巧總結】

1.技巧：注意把每一行對應還原二項式，從而能夠把任一行任一列的數寫成二項式

系數；與數列結合的題需注意新數列的項數求法與二項式性質的結合。

【變式訓練】

1.（2022春?廣東肇慶?高二校聯考階段練習）習近平總書記在“十九大”報告中指出:

堅定文化自信，推動中華優秀傳統文化創造性轉化，“楊輝三角”揭示了二項式系數

在三角形中的一種幾何排列規律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解

九章算法》一書中出現歐洲數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律，比楊輝要晚近

四百年.“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好

者的探究欲望，如圖，在由二項式系數所構成的“楊輝三角''中，第】0行中從左至右

第5與第6個數的比值為（）

第。行I

第I行11

第2行121

第3行1331

14641

第5療I51010II

2.（2020春.湖南長沙高一湖南師大附中校考期末）我國南宋數學家楊輝1261年所

著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的

一個偉大成就.在“楊輝三角''中，若去除所有為1的項,依次構成數列2,3,3,4,

6,4,5,10,10,5,則此數列的前56項和為（）

A.2060B.2038C.4084D.4108

針對性鞏固練習

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排

數問題）

1.（2022秋?福建莆田?高二校考期末）已知甲袋子中裝有1個紅球和3個白球，乙

袋子中裝有3個紅球和2個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出2個球，則取出的

4個球中恰有2個紅球的不同取法共有（）

A.9種B.18種C.27種D.36種

2.（2022春?福建?高二福建師大附中校考期中）四名師范生從A,B,C三所學校中

任選一所進行教學實習，其中A學校必有師范生去，則不同的選法方案有（）

A.37種B.65種C.96種D.108種

3.（2022秋?吉林四平?高二四平市第一高級中學校考階段練習）給如圖所示的5塊

區域A,B,C,D,E涂色,要求同一區域用同一種顏色，有公共邊的區域使月不

同的顏色，現有紅、黃、藍、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）

A.120種B.720種C.840和D.960種

4.（2022?全國?高三專題練習）用1,2,3…，9這九個數字組成的無重復數字的四

位偶數中，各位數字之和為奇數的共有（）

A.600個B.540個C.480個D.420個

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）

5.（2023?全國?高三專題練習）在某個單位迎新晚會上有A、B、C、。、E、尸6個節

目，單位為了考慮整體效果，對節目演出順序有如下具體要求，節目C必須安排在

第三位，節目。、戶必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節目演出順序的編排方

案共有（）種

A.36B.48C.60D.72

6.（2023?全國?高三專題練習）現有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中

3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創產品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理

部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創產品店不相鄰，則不同的排法總數為（）

A.48B.72C.144D.96

7.（2022?全國?高二假期作業）為引領廣大家庭和少年兒童繼承黨的光榮傳統、弘揚

黨的優良作風，進一步增強聽黨話、感黨恩、跟黨走的思想自覺性和行動自覺性，

某市文明辦舉行“少年兒童心向黨''主題活動，獻禮中國共產黨成立100周年原定表

演6個節目，已排成節目單，開演前又臨時增加了2個互動節目.如果保持原節目

的順序不變，那么不同排法的種數為（）

A.42B.56C.30D.72

8.（2023?全國?高三專題練習）舉世矚目的第24屆冬奧會于2022年2月4日至2

月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學生志愿者前往A、B、C、

。四個場館服務，每一位志愿者只去一個場館，每個場館至少分配一位志愿者，由

于工作需要甲同學和乙司學不能去同一場館，則所有不同的安排方法種數為（）

A.216B.180C.108D.72

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）

9.（2022春?安徽?高二合肥一中校聯考期末）第24屆冬季奧運會于2022年2月4

日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市成功舉行，舉世矚比中國奧運健

兒取得了多項歷史性的突破，比賽期間要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去國

家高山滑雪館，國家速滑館，首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每人去一個

場館，每個場館都要有人去，則不同的方案種數為（）

A.120B.150C.240D.300

10.（2022秋?四川眉山?高三校考開學考試）2021年4月24日是第六個“中國航天日”,

今年的主題是“揚帆起航逐夢九天為了制作一期展示我國近年來航天成就的展覽,

某校科普小組的6名同學，計劃分“神舟飛天”、“嫦娥奔月”、“火星探測”3個展區制作

展板，每人只負貢一個展區，每個展區至少有一人負貢，則不同的任務分配方案有

（）

A.990種B.630種C.540和D.480種

11.（2023?全國?高三專題練習）甲、乙、丙、丁共4名學生報名參加夏季運動會，每人

報名1個項目，目前有100米短跑、3000米長跑、跳高、跳遠、鉛球這5個項目可供

選擇，其中100米短跑只剩下一個參賽名額，若最后這4人共選擇了3個項目，則

不同的報名情況共有（）

A.224種B.288種C.314和D.248種

12.（2022春?吉林延邊?高二延邊二中校考期中）把6個相同的小球放入4個不同的

箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法（）

A.10種B.24種C.36種D.60種

13.（2022?全國?高三專題練習）中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實

驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲、乙等5名航天員開展實驗，二:艙中每個艙

至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數有（）

A.60B.66C.72D.80

練習四二項式定理、二項式系數、項的系數

/1\10

14.（2022秋?甘肅蘭州?高三蘭州四北中學校考期中）的展開式中丁項的

<7x）

系數是（）

A.-45B.45C.-120D.120

15.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級中學校考模擬預測）已知（1+2幻”的展開式中第

3項與第5項的二項式系數相等，則（1+2幻”的展開式的各項系數之和為（）

A.26B.28C.36D.38

16.（2022春?廣西欽州高二欽州一中校考期中）若（x+3）”展開式的各項系數和等于

（7〃+。）“，展開式的一項式系數之和，貝心的值為（）

A.5B.8C.10D.15

17.（2023?全國?高二專題練習）已知（五-2［的展開式中只有第5項是二項式系數

\X）

最大，則該展開式中各頊系數的最小值為（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

32

18.（1999?全國?高考真題）（2x+\/3）=?（）+axx+azx+,則（4+?）?-（4+?）?

的值為（）

A.-1B.1C.0D.2

19.（2022春.江西撫州.高二南城縣第二中學校考階段練習）若

（X+I），=〃0+4（4-1）+〃2（]-1）2+…+。式/一1）5,則“3等于（）.

A.80B.40C.10D.1

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式

20.（2022秋?山東?高三校聯考階段練習）在卜+：-]1的展開式中，含V項的系數

為（）.

A.10B.15C.20D.30

21.（2022春?江蘇無錫高二江蘇省天一中學校考期中）若（1+〃/）（1+“的展開式中

父的系數為20,則實數（）

A.1B.2C.3D.4

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題

22.（2022?全國?高三專題練習）化簡C02+C；O22+...+C牌。等于（）

A.210-1B.3,0-1C.2,0+1D.3,0+1

23.（2022秋?遼寧沈陽?高二沈陽市笫一二O中學校考階段練習）10嚴被9除的余數

為（）

A.5B.6C.7D.8

24.(2021?高二課時練習)1.02,的近似值(精確到o.oi)為()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

練習七楊輝三角

25.（2022春?陜西西安.高二校考階段練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學

家.在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三

角形數陣（如圖所示），稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”，它是楊輝的

一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用％一表示三角形數陣

的第i行第1個數,則。必3=（）

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A.5050B.4851C.4950D.5000

26.（2022春?吉林長春?高二長春市實驗中學校考階段練習）楊輝三角，又稱帕斯卡

三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝所著的《評

解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數規

律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1,1,1,1,2,

1,1,3,3,1,1,4,6,4,1……記作數列｛%｝,若數列｛4｝的前〃項和為5.，

則%=()

專題13計數原理7類常考題型訓練

目錄

一常規題型方法...........................................................1

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排數問題）....1

題型二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）.......................6

題型三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................10

題型四二項式定理、二項式系數、項的系數.................................15

題型五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................21

題型六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................23

題型七楊輝三角.........................................................25

二針對性鞏固練習........................................................28

練習一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排數問題）……―28

練習二排隊模型（捆綁法、插空法、縮倍法、間接法）......................30

練習三分組模型（平均分組與不平均分組、隔板法、間接法）................32

練習四二項式定理、二項式系數、項的系數.................................34

練習五三項展開式與兩個二項式乘積展開式.................................36

練習六二項式定理逆用、整除問題、近似值問題............................37

練習七楊輝三角.........................................................38

常規題型方法

題型一分類分步問題（特殊位置與特殊元素優先法、染色問題、排

數問題）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋?河北石家莊?高二校聯考期末）2023年元旦假期，小明同學外出

去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，需從9個外觀完全相同的盲盒中，

隨機抽取3個.已知這9個盲盒中，其中3個盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另

外6個盲盒中，各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小明獲獎的

情形為（）種

A.84B.42C.41D.35

【答案】B

【分析】對抽到鋼筆的情形分4種情況討論，按照分類加法計數原理計算可得.

【詳解】解：依題意小明抽到1支鋼筆，則抽到2個不同的小飾品，有C；=15種；

小明抽到2支鋼筆，則抽到1個不同的小飾品，有C：=6種；

小明抽到3支鋼筆，則只有1種;

小明抽到。支鋼筆，則抽到3個不同的小飾品，由C；=20種；

綜上可得小明獲獎的情形有15+6+1+20=42種.

故選：B

典例1-2.（2022秋?遼寧朝陽?高二校聯考階段練習）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，

節約糧食是我國的傳統美德.已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜,

小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的

選取方法有（）

A.13種B.22種C.30種D.60種

【答案】D

【分析】根據分步乘法計數原理可求出結果.

【詳解】根據分步乘法計數原理，共有2x6x5=60（種）不同的選取方法，

故選：D.

典例1-3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、CD

四部分，現用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分

顏色互異，共有（）種不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

【答案】A

【分析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，最多四種顏色，分類討論，

最后相加.

【詳解】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：

第一類，用4種顏色涂色，有A；=120種方法.

第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C；種.

在涂的過程中，選對頂的兩部分（A、C或以D）涂同色，另兩部分涂異色有C；種

選法；3種顏色涂上去有A；種涂法，

根據分步計數原理求得共C〉C；A；=120種涂法.

第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C；種選法，人C用一種顏色，B、。涂一種顏

色,有A；種涂法，故共C；-A”20種涂法.

，共有涂色方法120+120+20=260種，

故選：A.

典例1-4.（2022春?天津河西?高二天津實驗中學校考期中）從024,6中任取3個數

字，從1,3,5中任取2個數字，組成沒有重復數字的五位奇數，則這樣的五位數共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【答案】C

【分析】滿足條件的五位數可分為兩類，第一類含0,第二類不含0,利用分步乘法

計數原理和分類加法計數原理即可求解.

【詳解】滿足條件的五位數可分為兩類，

第一類含0,先由2,4,6中任選兩個數，再從1,3,5中任選2個數，有C；C種選法，

最后將所選的數與0排成五位奇數有C；C；A；種排法，故滿足條件的數共

個,

第二類不含0,先由2,4,6中任選三個數，再從1,3,5中任選2個數，有C；C；種選法，

最后將所選的數排成五位奇數有C；A：種排法，故滿足條件的數共C；C；C；A：個，

故滿足條件的五位數共C；C；C；C；A；+C；C；C；A：個，即468個，

故選：C.

【方法技巧總結】

1.技巧：注意特殊位置與特殊元素優先處理，對于染色問題與排數問題都要注意分

類討論。

【變式訓練】

1.（2022秋?江蘇南通?高三統考階段練習）已知電影院有三部影片同時上映，一部

動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學前去觀看，若喜劇片和動作片各至少

兩人觀看，則不同的觀影方案共有（）種.

A.30B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】根據題意可知事件包含喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2

人，喜劇片2人且動作片3人三種情況，求出對應的方案后相加即可.

【詳解】喜劇片和動作片至少兩人觀看的情況有：

喜劇片2人且動作片2人，喜劇片3人且動作片2人，喜劇片2人且動作片3人，

當喜劇片2人且動作片2人時，共有C；C；C；種觀看方案，

當喜劇片3人且動作片2人時，共有種觀看方案，

當喜劇片2人且動作片3人時，共有C；C；種觀看方案，

所以一共有C；C；C：+C；C；+C；C；=50種觀看方案.

故選：C.

2.（2022春?上海閔行?高二校考期末）現有5名同學去聽同時進行的4個課外知識

講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（）

A.45B.54C.20D.9

【答案】A

【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學選擇講座，后由分步計數原理可得

答案.

【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學完成選擇，有4種方法；第2步

為第二名同學完成選擇，有4種方法：…；第5步為第五名同學完成選擇，有4種

方法.

則由分步計數原理可知，不同選法的種數位為：4x4x4x4x4=45.

故選：A

3.（2023?全國?高三專題練習）某兒童游樂園有5個區域要涂上顏色，現有四種不同

顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有

（）種

A.36B.48C.54D.72

【答案】D

【分析】符合條件的涂色方案可分為兩類，笫一類區域②，④涂色相同的涂色方案，

第二類區域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法計數原理分別求出其方

法數，相加即可求得結果.

【詳解】如圖：將五個區域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案

可分為兩類，

第一類區域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中區域②，④涂色相司的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區域①，有4種方

法，第二步涂區域②，有3種方法，第三步涂區域③，有2種方法，第四步涂區域

④，有1種方法，第五步涂區域⑤，有2種方法，由分步乘法計數原理可得區域②，

④涂色相同的涂色方案有4x3x2xlx2種方案，即48種方案；

區域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區域①，有4種方法，

第二步涂區域②，有3種方法，第三步涂區域③，有2種方法，第四步涂區域④，

有I種方法，第五步涂區域⑤，有1種方法，由分步乘法計數原理可得區域②，④

涂色不相同的涂色方案有4x3x2xlxl種方案，即24種方案;

所以符合條件的涂色方案共有72種,

故選：D.

4.（2022春?廣東清遠?高二統考期末）回文聯是我國對聯中的一種，它是用回文形

式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代

北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯：“客上天然居，居然天上

客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的

正整數，被稱為“回文數”，如22,575,1661等.那么用數字1,2,3,4,5可以

組成4位“回文數”的個數為（）

A.25B.20C.30