專題能力訓練21不等式選講(選修4—5)能力突破訓練1.(2022廣西南寧一模)已知函數f(x)=|2xm|,m∈R.(1)當m>0時,解不等式f(x)>|x+1|;(2)若對任意的x∈[1,2],不等式f(x)≥x1恒成立,求實數m的取值范圍.2.已知函數f(x)=|xa|+|x+3|.(1)當a=1時,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>a,求a的取值范圍.3.已知函數f(x)=|2xa|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值為2,求實數a的值;(2)若關于x的不等式f(x)+g(x)<6的解集為A,且[1,2]?A,求實數a的取值范圍.4.(2022全國乙,文23)已知a,b,c都是正數,且a32(1)abc≤19(2)ab5.已知f(x)=|x+1||ax1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.思維提升訓練6.已知函數f(x)=|x+a|+|x+b|.(1)若a=b2+3b+2,證明:?x∈R,b∈R,f(x)≥1;(2)若關于x的不等式f(x)≤7的解集為[6,1],求a,b的一組值,并說明你的理由.7.(2022廣西桂林、河池、來賓、北海、崇左5月模擬)已知函數f(x)=|x+1||x2|.(1)畫出f(x)的圖象,若g(x)=x+m與f(x)的圖象有三個交點,求實數m的取值范圍;(2)已知函數f(x)的最大值為n,正實數a,b,c滿足1a+c+2b+c=n8.已知實數a,b,c滿足a+b+c=1.(1)若a>0,b>0,c=0,求證:a+(2)設a>b>c,a2+b2+c2=1,求證:a+b>1.答案：能力突破訓練1.解:(1)依題意,f(x)=|2xm|>|x+1|.因為m>0,所以m2>1當x<1時,不等式可化為(2xm)>(x+1),即x<m+1,又m>0,所以x<1.當1≤x≤m2時,不等式可化為(2xm)>x+即x<m-13,又m>0,所以1≤當x>m2時,不等式可化為2xm>x+1,即x>m+1,又m>0,所以x>m+1綜上所述,不等式f(x)>|x+1|的解集為xx(2)依題意,|2xm|≥x1在區間[1,2]上恒成立.如圖,作出函數y=f(x)=|2xm|的圖象與直線y=x1,函數y=f(x)=|2xm|與x軸交于點m2,0,直線y=x1與x由圖可知,要使|2xm|≥x1在區間[1,2]上恒成立,只需m2≤1或m2≥2,|2.解:(1)當a=1時,由f(x)≥6可得|x1|+|x+3|≥6.當x≤3時,不等式可化為1xx3≥6,解得x≤4;當3<x<1時,不等式可化為1x+x+3≥6,解得x∈?;當x≥1時,不等式可化為x1+x+3≥6,解得x≥2.綜上,原不等式的解集為(∞,4]∪[2,+∞).(2)若f(x)>a,則f(x)min>a.因為f(x)=|xa|+|x+3|≥|(xa)(x+3)|=|a+3|(當且僅當(xa)(x+3)≤0時,等號成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>a,即a+3<a或a+3>a,解得a∈-3故a的取值范圍為-33.解:(1)f(x)+2g(x)=|2xa|+|2x+4|≥|2xa2x4|=|a+4|,所以|a+4|=2,解得a=2或a=6.(2)由f(x)+g(x)<6得|2xa|+|x+2|<6.當x∈[1,2]時,|2xa|+|x+2|=|2xa|+x+2<6,即|2xa|<4x,所以2x-a<4-由[1,2]?A,得a+43>2即a的取值范圍為(2,5).4.證明:(1)∵a>0,b>0,c>0,∴a32+b32+c32≥3a1(2)∵a>0,b>0,c>0,∴b+c≥2bc,a+c≥2ac,a+b≥2ab,∴ab當且僅當a=b=c時,等號成立.∴ab5.解:(1)當a=1時,f(x)=|x+1||x1|,即f(x)=-故不等式f(x)>1的解集為xx(2)當x∈(0,1)時|x+1||ax1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax1|<1成立.若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax1|≥1;若a>0,|ax1|<1的解集為0<x<2a,所以2a≥1,故0<a綜上,a的取值范圍為(0,2].思維提升訓練6.(1)證明:f(x)=|x+a|+|x+b|≥|x+a(x+b)|=|ab|.因為a=b2+3b+2,所以|ab|=|b2+2b+2|=(b+1)2+1≥1,當b=1時,|ab|取得最小值1.故?x∈R,b∈R,f(x)≥1.(2)解:依題意可得f(6)=f(1)=7,即|a6|+|b6|=|1+a|+|1+b|=7,不妨取a=0,b=5.下面證明|x|+|x+5|≤7的解集為[6,1].證明:當x≤5時,2x5≤7,則x≥6,又x≤5,所以6≤x≤5.當5<x<0時,5≤7顯然成立,所以5<x<0.當x≥0時,2x+5≤7,則x≤1,又x≥0,所以0≤x≤1.所以|x|+|x+5|≤7的解集為[6,1],故a,b的一組值為0,5.7.(1)解:當x≤1時,f(x)=x1+x2=3,當1<x<2時,f(x)=x+1+x2=2x1,當x≥2時,f(x)=x+1x+2=3,所以f(x)=3f(x)的圖象如圖所示.當g(x)=x+m的圖象過點(2,3)時,m=32=1;當g(x)=x+m的圖象過點(1,3)時,m=3(1)=2.作出g(x)=x+m的圖象(圖略)并平移,可知當g(x)與f(x)的圖象有三個交點時,實數m的取值范圍為(2,1).(2)證明:由(1)知函數f(x)的最大值為3,即n=3,則1a+c因為a,b,c均為正實數,所以由柯西不等式得a+2b+3c=131a+c+2b+c[(a+c當且僅當a+c=b+c,即a=b,a+c=1時,等號成立.故a+2b+3c≥3.8.證明:(1)由題意得,c=0時,a+b=1.因為a+1a所以a+1a2+因為a>0,b>0,a+b=1,所以1a+1b=1a+1b(a+b)所以1a+1當且僅當a即a=b=12時等號成立(2)假設a+b≤1