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文檔簡介

計算機算法設計與分析第6章回溯法6.3.2

n皇后問題在一個n×n個方格的棋盤中，需要放置n個皇后，根據國際象棋的規則，任意兩個皇后不能處在同一行、同一列或同一斜線上，否則兩個皇后會彼此攻擊。下圖所示為n=4個皇后的一個合理擺放方案，試給出滿足條件的所有擺放方案。解空間向量--n皇后問題用一個n元組x[1],x[2],...x[n]表示n后問題的解，其中x[i]表示皇后i放置在棋盤的第i行的第x[i]列上。子集樹—n皇后問題GDC3×

2×

1×

2×

1×

4...3...3×

2×

1×

4×

1×

3×

2×

4×

3×

4×

3×

2×

1×

4×

2×

1×

解ABEFHI約束條件—n皇后問題①x[i]≠x[j],i≠j②x[i]-i≠x[j]-j(斜率-1)

i-j≠x[i]-x[j]③x[i]+i≠x[j]+j(斜率+1)

i-j≠x[j]-x[i]將②和③合并為一個條件：|i-j|≠|x[i]-x[j]|剪枝判斷函數代碼實現//判斷第k行的皇后是否與前面已放置的皇后發生沖突？intjudge(intk){inti=1;while(i<k){//與1~k-1之前的皇后進行判斷if(x[i]==x[k]||abs(x[i]-x[k])==abs(i-k))//列或對角線沖突return0;i++;}return1;}n皇后遞歸回溯代碼voidrecursion_queen(intt,intn){ if(t>n){ for(inti=1;i<=n;i++) printf("(%d,%d)",i,x[i]); count++; printf("-------這是其中第%d個解",count); printf("\n"); }else for(inti=1;i<=n;i++){ x[t]=i; if(judge(t)) recursion_queen(t+1,n); }}n個皇后位置都搜索完畢，輸出結果，記錄成功次數對皇后t去嘗試第t行的每一個列位置若滿足約束條件，則遞歸考慮下一個皇后時間復雜度分析n皇后問題實際上就是在解向量x1,x2,...,xn的全排列中找到符合條件的解，當整個解空間向量被全部搜索時，需要時間為O(n!)。另外，由judge函數可以看出每選擇一個位置，需要對沿列方向主副對角線方向進行判斷，隨著層次增加而增加，判斷次數為：1+2+3+...+n=(n+1)×n/2，因此，n皇

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