專題46直線與圓、圓與圓的位置關系（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】直線與圓的位置關系................................................4

【考點2】圓的切線、弦長問題................................................5

【考點3】圓與圓的位置關系...................................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優篇】.................................................................10

考試要求：

1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

?知識梳理

L直線與圓的位置關系

設圓C：(%—〃)2+(、一力2=戶，直線/：Ax-\-By+C=O,圓心C(Q,6)到直線/的距離為d,由

(x-6z)2+(y—b)2=戶，

41nl「八消去y(或X),得到關于％(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

[Ax+B_y+C=O

位置關系相離相切相交

圖形

方程觀點J<0/三0J>0

量化

幾何觀點d>rd三rd<r

2.圓與圓的位置關系

已知兩圓Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

則圓心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

則兩圓Ci,Q有以下位置關系：

位置關系外離內含相交內切外切

圓心距

In-2|<d〈ri

與半徑d>ri+nd<|ri1]2|。=|門一二|d=ri+r2

+廠2

的關系

?€)o0?

圖示電

公切線條數40213

常用結論

1.圓的切線方程常用結論

(1)過圓x2+y2=r2上一點P(xo,yo)的圓的切線方程為xox+yoy=r2.

(2)過圓(X—Q)2+(y—力2=/上一點P(xo,yo)的圓的切線方程為(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=戶.

(3)過圓外一點M(xo,yo)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為xox+yoy=r2.

2.直線被圓截得的弦長的求法

⑴幾何法：運用弦心距4半徑廠和弦長的一半構成的直角三角形，計算弦長履3|=2后彳.

2

（2）代數法：設直線y=履+用與圓/+'2+m+切+/=0相交于點M,N,將直線方程代入圓

的方程中，消去y,得關于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,則\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真題自測

一、單選題

L（2024?全國,高考真題）已知直線分+辦一。+26=0與圓C：尤?+y?+4y-l=0交于兩點，則的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?全國高考真題）已知》是。,。的等差中項，直線6+勿+。=0與圓/+丁+4丫-1=0交于4,3兩點，

則|4B|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023?全國?高考真題）已知實數尤,V滿足爐+》2一4》-2》-4=0,則"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023?全國?高考真題）過點（0,-2）與圓/+/-以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝hina=（）

A.1B.—C.巫D.諉

444

二、多選題

5.（2024?全國?高考真題）拋物線C：：/=?的準線為/,P為C上的動點，過尸作OA:d+（y-4『=1的

一條切線，。為切點，過尸作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與：A相切

B.當尸，A,2三點共線時，|尸Q|=JB

C.當|P8|=2時，PA±AB

D.滿足I如月產切的點尸有且僅有2個

三、填空題

6.（2023?全國?高考真題）己知直線/：x-沖+1=0與（C:（x-l）2+y2=43C^A,8兩點，寫出滿足"VABC

面積為|"的根的一個值____.

7.（2022?全國?高考真題）若雙曲線V一工=1（m>0）的漸近線與圓/+/-4〉+3=0相切，貝1]?1=.

m

8.（2022?全國,高考真題）寫出與圓爐+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一條直線的方

程.

3

考點突破

【考點1】直線與圓的位置關系

一、單選題

1.(2024?安徽?模擬預測)已知直線/:x+(l+a)y=2—a,圓C:Y+/_6x+4y+12=0,則該動直線與圓

的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

2.（2024,湖北?模擬預測）已知點尸是直線無-y-機=。上的動點，由點P向圓O:Y+y2=l引切線，切點分

別為M,N且/MPN=90,若滿足以上條件的點尸有且只有一個，則根=（）

A.揚B.±72C.2D.±2

二、多選題

3.（2024?河北衡水?模擬預測）已知電,0）,［（）,白，動點P（x,y）滿足|%=的即，則下列結論正確

的是（）

A.點P的軌跡圍成的圖形面積為兀

B.|P目的最小值為1一孝

C.4巴是尸的任意兩個位置點，貝UN6A鳥v1

D.過點的直線與點P的軌跡交于點M,N,則MN的最小值為近

4.（23-24高三上,河北廊坊?期中）如圖,有一組圓^（左€此）都內切于點汽-2,0）,圓。1：（%+3）2+”-1）2=2,

設直線無+y+2=0與圓G,在第二象限的交點為4,若則下列結論正確的是（）

A.圓C上的圓心都在直線x+y+2=0上

B.圓C99的方程為（尤+52>+（y-50）2=5000

c.若圓c*與y軸有交點，則處8

D.設直線x=-2與圓C#在第二象限的交點為線，則圍以」=1

4

三、填空題

5.（2022,全國?模擬預測）在平面直角坐標系無。》中，過點4。,-3）的直線/與圓C:-+（,-2）2=9相交于M,

N兩點，若以40'=1500”,則直線/的斜率為.

6.（19-20高一下?江蘇無錫?階段練習）在平面直角坐標系尤S中，已知直角AABC中，直角頂點A在直線

x-y+4=0上，頂點B,C在圓/+丁=io上，則點A橫坐標的取值范圍是.

反思提升：

判斷直線與圓的位置關系的常見方法

（1）幾何法：利用d與廠的關系.

（2）代數法：聯立方程之后利用/判斷.

（3）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.

【考點2】圓的切線、弦長問題

一、單選題

1.（23-24高二下?廣東茂名?階段練習）已知圓C:（尤—3y+（y—4）2=9,直線/:（m+3）x—（m+2）y+?7=0.

則直線/被圓C截得的弦長的最小值為（）

A.2幣B.回C.2A/2D.娓

2.（2024?遼寧?模擬預測）過點尸（。⑼作圓短+）2=2的切線,A為切點，|PA|=1,則2a-2的最大值是（）

A.715B.V13C.4D.3

二、多選題

3.（2022?福建泉州?模擬預測）已知點M在直線/：y-4=Mx-3）上，點N在圓O:尤?+產=9上，則下列說

法正確的是（）

A.點N至I"的最大距離為8

4

B.若/被圓。所截得的弦長最大，則左=：

C.若/為圓。的切線，則上的取值范圍為，0,（1

D.若點M也在圓。上，則。至I"的距離的最大值為3

4.（23-24高二上?湖南常德?期末）已知圓M:（x+1）2+V=2,直線/：x-y-3=0,點P在直線/上運動，直

線巴4,PB分別與圓加切于點A,8.則下列說法正確的是（）

A.|尸山最短為布

B.|上4|最短時，弦A3所在直線方程為丫=%

C.存在點尸，使得PA.P5=0

5

D.直線A3過定點為[-5,-5）

三、填空題

5.（2022?四川成都?模擬預測）在平面直角坐標系xQy中，已知直線辦->+2=。與圓C：/+y2-2x-3=0交

于A,B兩點,若鈍角VA3C的面積為百，則實數a的值是.

6.（2024?全國?模擬預測）在平面直角坐標系中，尸的坐標滿足（tJ+2）,/eR,已知圓C:（x-3）2+/=1,

過P作圓C的兩條切線，切點分別為A3,當上47歸最大時，圓C關于點P對稱的圓的方程為.

反思提升：

弦長的兩種求法

（1）代數方法：將直線和圓的方程聯立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式/>0的

前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長.

（2）幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長/=2披二示.

求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程.若點在圓上（即為

切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時注意斜率不存

在的切線.

【考點3】圓與圓的位置關系

一、單選題

1.（2024?陜西銅川?模擬預測）己知A（—2,0）,5（2,0）,若圓（尤-a-l）?+（y-3a+2了=4上存在點P滿足

PAPB=5>則。的取值范圍是（）

A.[—1,2]B.[—2,1]C.[—2,3]D.[—3,2]

2.（23-24高二上?安徽馬鞍山,階段練習）兩圓Y+y2=i與尤2+y+2》_2k1=0的公共弦長為（）

A.—B.J2C.-D.1

2v2

二、多選題

3.（22-23高二上?浙江紹興?階段練習）以下四個命題表述正確的是（）

22_

A.橢圓上+匕=1上的點到直線x+2y-應=0的最大距離為加

164

B.已知圓C：/+尸=4,點p為直線3+5=1上一動點，過點尸向圓C引兩條切線以、PB,AB為切

42

點，直線A8經過定點（1,2）

C.曲線G：/+/+2x=0與曲線C2：x?+丁-4x-8y+租=0恰有三條公切線，則機=4

D.圓/+V=4上存在4個點到直線/：x-y+及=0的距離者B等于1

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知圓G：（x-3）2+y2=i，G：x2+（y_a）2=i6,則下列結論正確的有（）

6

A.若圓J和圓C2外離,則a>4

若圓G和圓&外切，貝Ua=±4

當。=。時，圓C1和圓G有且僅有一條公切線

當。=-2時，圓G和圓a相交

5.（2024?浙江麗水?二模）已知圓+（2/〃-l）y2-2ax-a-2=0,若對于任意的aeR,存在一條直線

被圓C所截得的弦長為定值”，則m+n=.

6.（2023?全國?模擬預測）圓G：/+/+4x+6y-23=0與圓C?:（X-2）2+（y-l）2=4的公切線長為.

反思提升：

1.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一

般不采用代數法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,V項得到.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）若直線皿+"y=l與圓元2+y2=i有交點，則（）

A.m2+M2..1B.m2+n2?1

C.nr+M2>1D.7Z72+z?2<1

2.（2024?全國,模擬預測）已知P為直線/：x-y+l=0上一點，過點尸作圓C：（尤-ly+y'l的一條切線，

切點為A，貝||尸山的最小值為（）

A.1B.72C.gD.2

3.（2024?貴州六盤水?三模）已知直線依-y+2=0與圓（彳_1），；/=4相交于A,B兩點,若|AB|=2石，

則。=（）

43

A.—B.1C.----D.-2

34

4.（2021?江西?模擬預測）已知圓C:x2+y2-6x=0,過點尸（6,4）向這個圓作兩條切線，則兩切線的夾角的余

弦值為（）

724724

A.—B.—C.-----D.-----

25252525

、多選題

7

5.（2024?遼寧沈陽三模）設橢圓C:工+亡=1的左、右焦點分別為耳％P是。上的動點，則下列說法正確

2516

的是（）

A.「可|的最大值為8

4

B.橢圓C的離心率e=二

C.2片工面積的最大值等于12

D.以線段久居為直徑的圓與圓（x-4）2+。-3）2=4相切

6.（2023?浙江紹興?模擬預測）已知圓G：（x-iy+y2=i和圓。2：尤2+y2-4x-4y+4=0,則（）

A.圓C?的半徑為4

B.'軸為圓G與G的公切線

C.圓。1與g公共弦所在的直線方程為x+2y-l=0

D.圓G與c?上共有6個點到直線2元-y-2=0的距離為1

7.（2023?河北?三模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O:尤2+/=戶“>0）與圓加：（無一6）2+在=4,P,Q

分別為圓。和圓M上的動點，下列說法正確的是（）

A.過點44,2）作圓M的切線有且只有一條

B.若圓。和圓〃恰有3條公切線，則廠=4

C.若|PQ|的最小值為1,貝什=3

D.若/>=2,則直線PQ的斜率的最大值為城

5

三、填空題

8.（2024?天津?二模）設直線=6）（左片0）和圓。：/+丁-6工-4〉+5=0相交于加戶兩點.若

CM-CN=Q，貝!1實數左=.

9.（2023?天津武清?模擬預測）已知點41,0）,8（2,0）,經過點3作圓（彳-貨+（y-2）2=5的切線與V軸交于

點尸，貝"AP|=.

10.（23-24高三下?天津南開?階段練習）已知直線x+y-5=0與圓C：d+y2-4x+2y-根=0相交于4,8兩

點，且|ABk4,則實數〃?=

四、解答題

11.（2020?云南保山?模擬預測）已知圓C經過A（T5）,5（5,5）,。（6,-2）三點.

8

（I）求圓c的標準方程;

（2）求經過點￡（-3,2）且和圓C相切的直線/的方程.

12.（22-23高二上?天津和平?期中）已知圓心為C的圓經過點4（-1,1）和3（-2,-2）,且圓心在直線

I:x+y—1=0Ji,求：

⑴求圓心為。的圓的標準方程；

（2）設點P在圓C上，點。在直線尤->+5=0上，求|PQ|的最小值；

⑶若過點（。，5）的直線被圓C所截得弦長為8,求該直線的方程.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?山東聊城?二模）若圓6：爐+丁=1與圓C2：（x-a>+（y-b）2=4恰有一條公切線，則下列直線一

定不經過點（。力）的是（）

A.2x+y-^2=QB.2x-y+2=0

C.x+y—s/2=0D.x—y+2—0

二、多選題

2.（2024?山東青島三模）已知動點N分別在圓￡:（x-iy+（y-2）2=l和C?:（x-3）2+（y-4）2=3上,

動點尸在x軸上，則（）

A.圓C2的半徑為3

B.圓G和圓&