PAGEPAGE1第三節隨機事務與概率考試要求：1．了解隨機事務發生的不確定性和頻率的穩定性．2．了解概率的意義及頻率與概率的區分．3．了解兩個互斥事務的概率加法公式．一、教材概念·結論·性質重現1．確定試驗的樣本空間(1)樣本點和樣本空間我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．(2)有限樣本空間假如一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．事務類型的推斷(1)隨機事務我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事務，簡稱事務，并把只包含一個樣本點的事務稱為基本領件．隨機事務一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事務A發生．(2)必定事務Ω作為自身的子集，包含了全部的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必定事務．(3)不行能事務空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱?為不行能事務．3．事務的關系(1)互斥(互不相容)定義一般地，假如事務A與事務B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不行能事務，即A∩B＝?，則稱事務A與事務B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發生符號表示A∩B＝?圖形表示(2)互為對立定義一般地，假如事務A與事務B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事務A與事務B互為對立．事務A的對立事務記為eq\x\to(A)含義A與B有且僅有一個發生符號表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示4．事務的運算(1)包含關系定義一般地，若事務A發生，則事務B肯定發生，我們就稱事務B包含事務A(或事務A包含于事務B)含義A發生導致B發生符號表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形假如事務B包含事務A，事務A也包含事務B，即B?A且A?B，則稱事務A與事務B相等，記作A＝B(2)并事務(和事務)定義一般地，事務A與事務B至少有一個發生，這樣的一個事務中的樣本點或者在事務A中，或者在事務B中，我們稱這個事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)含義A與B至少一個發生符號表示A∪B(或A＋B)圖形表示(3)交事務(積事務)定義一般地，事務A與事務B同時發生，這樣的一個事務中的樣本點既在事務A中，也在事務B中，我們稱這樣的一個事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)含義A與B同時發生符號表示A∩B(或AB)圖形表示互斥事務與對立事務都是指兩個事務的關系，互斥事務是不行能同時發生的兩個事務，而對立事務除要求這兩個事務不同時發生外，還要求必需有一個發生．5．概率的基本性質性質1：對隨意的事務A，都有P(A)≥0．性質2：必定事務的概率為1，不行能事務的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質3：假如事務A與事務B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質4：假如事務A與事務B互為對立事務，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質5：假如A?B，那么P(A)≤P(B)．性質6：設A，B是一個隨機試驗中的兩個事務，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．隨機事務A，B互斥與對立的區分與聯系當隨機事務A，B互斥時，不肯定對立；當隨機事務A，B對立時，肯定互斥．2．從集合的角度理解互斥事務和對立事務(1)幾個事務彼此互斥，是指由各個事務所含的結果組成的集合的交集為空集．(2)事務A的對立事務eq\x\to(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集．二、基本技能·思想·活動閱歷1．推斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)事務發生的頻率與概率是相同的． (×)(2)隨機事務和隨機試驗是一回事． (×)(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩定值． (√)(4)兩個事務的和事務發生是指這兩個事務至少有一個發生． (√)(5)若A，B為互斥事務，則P(A)＋P(B)＝1． (×)(6)對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務． (√)2．(2024·莆田期末)一個不透亮的袋子中裝有8個紅球，2個白球，除顏色外，球的大小、質地完全相同，采納不放回的方式從中摸出3個球．下列事務為不行能事務的是()A．3個都是白球B．3個都是紅球C．至少1個紅球D．至多2個白球A解析：由于袋子中白球的個數為2個，摸出的3個球都是白球是不行能事情，故A選項正確．摸出的3個球都是紅球是隨機事務，故B選項錯誤．摸出的球至少一個紅球是必定事務，故C選項錯誤．摸出的球至多2個白球是必定事務，故D選項錯誤．故選A．3．(2024·煙臺期末)拋擲一枚質地勻稱的正六面體骰子，其六個面分別標有數字1,2,3,4,5,6，視察朝上一面的點數，設事務A＝“點數為奇數”，B＝“點數為4”，則A與B的關系為()A．互斥 B．相等C．互為對立 D．相互獨立A解析：事務A與B不行能同時發生，但能同時不發生，故A與B是互斥事務．4．(多選題)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形態相同的小球，從中取出2球，事務M＝“取出的兩球同色”，N＝“取出的兩球中至少有一個黃球”，S＝“取出的兩球至少有一個白球”，T＝“取出的兩球不同色”，H＝“取出的兩球中至多有一個白球”則()A．M與T互為對立 B．N與S互斥C．S與H互斥 D．N與H不互斥AD解析：對于選項A，事務M＝“取出的兩球同色”，T＝“取出的兩球不同色”，明顯不行能同時發生，且也不行能都不發生，所以M和T是對立事務．故選項A正確．對于選項B，假如“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則N和S同時發生，所以N和S不是互斥事務，故B選項錯誤．對于選項C，假如“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則S和H同時發生，所以S和H不是互斥事務，故C選項錯誤．對于選項D，假如“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則N和H同時發生，所以N和H不是互斥事務，故D選項正確．5．容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數234542則樣本數據落在區間[10,40)的頻率為_________．0．45解析：落在[10,40)的頻率為eq\f(2＋3＋4,20)＝0.45．6．一個口袋內裝有2個白球和3個黑球，則在先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質上就是其次次摸到白球的概率．因為袋內裝有2個白球和3個黑球，因此所求概率為eq\f(2,5)．考點1隨機事務的關系——基礎性(1)(多選題)(2024·棗莊期末)一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出一個球．設事務R1＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，則()A．R1?R B．R∩G＝?C．R∪G＝M D．M＝eq\x\to(N)BCD解析：由題意知，R＝“兩次都摸到紅球”，R1＝“第一次摸到紅球”，所以R?R1，故選項A錯誤．因為R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，兩個事務沒有公共的基本領件，所以R∩G＝?，故選項B正確．因為R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，故R或G表示摸的兩個球的顏色相同，所以R∪G＝M，故選項C正確．因為M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，由對立事務的定義可知，M＝eq\x\to(N)，故選項D正確．(2)把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”的關系是()A．既不互斥也不對立B．既互斥又對立C．互斥但不對立D．對立C解析：把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”不能同時發生，但能同時不發生，所以事務“甲分得紅牌”與事務“乙分得紅牌”的關系是互斥但不對立．故選C．推斷互斥事務、對立事務的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務、對立事務一般用定義推斷，不行能同時發生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發生，則這兩個事務為對立事務，對立事務肯定是互斥事務．(2)集合法：①由各個事務所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事務互斥．②事務A的對立事務所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集．1．同時投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對立的兩個事務是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時發生，且“至少有1枚正面朝上”不發生時，“2枚都是反面朝上”肯定發生，故A中的兩個事務是對立事務．在B中，當2枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時發生，故B中的兩個事務不是互斥事務．在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時發生，且其中一個不發生時，另一個有可能發生也有可能不發生，故C中的兩個事務是互斥而不對立事務．在D中，當2枚硬幣同時反面朝上時，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時發生，故D中的兩個事務不是互斥事務．故選C．2．口袋里裝有6個形態相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黃球3個．從中取出兩個球，事務A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列推斷中正確的序號為________．①A與D為對立事務；②B與C是互斥事務；③C與E是對立事務；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明顯A與D是對立事務，①正確；當取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發生，②不正確；當取出的兩個球中恰有一個白球時，事務C與E都發生，③不正確；C∪E為必定事務，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點2隨機事務的頻率與概率——基礎性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44．(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5．因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應選擇L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9．因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應選擇L2．1．概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事務出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事務發生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事務概率的估計值．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值．2．隨機事務概率的求法利用概率的統計定義求事務的概率，即通過大量的重復試驗，事務發生的頻率會漸漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．提示：概率的定義是求一個事務概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗中，共投擲了100次，正面朝上的頻數為51次，則正面朝上的頻率為()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由題意，依據事務發生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51．2．某學校共有教職工120人，對他們進行年齡結構和受教化程度的調查，其結果如下表：本科探討生合計35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現從該校教職工中任取1人，則下列結論正確的是()A．該校教職工具有本科學歷的概率低于60%B．該校教職工具有探討生學歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學歷的概率超過10%D解析：對于選項A，該校教職工具有本科學歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯誤．對于選項B，該校教職工具有探討生學歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯誤．對于選項C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯誤．對于選項D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D．考點3互斥事務與對立事務的概率——綜合性考向1互斥事務的和事務某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，支配一名員工隨機收集了在該超市購物的100名顧客的相關數據，如表所示．一次購物量(件)1～45～89～1213～1617及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．(1)求x，y的值．(2)求顧客一次購物的結算時間超過2分鐘的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．(2)記A：一位顧客一次購物的結算時間超過2分鐘；A1：該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘；A2：該顧客一次購物的結算時間為3分鐘．將頻率視為概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3．考向2“至多”“至少”型問題的概率經統計，在某儲蓄所一個營業窗口排隊的人數相應的概率如下：排隊人數012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解：記“無人排隊等候”為事務A，“1人排隊等候”為事務B，“2人排隊等候”為事務C，“3人排隊等候”為事務D，“4人排隊等候”為事務E，“5人及5人以上排隊等候”為事務F，則事務A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事務G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事務H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．(方法二)記“至少3人排隊等候”為事務H，則其對立事務為事務G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．求困難互斥事務概率的兩種方法(1)干脆法：將所求事務分解為一些彼此互斥事務的和，運用互斥事務概率的加法公式計算．(2)間接法：先求此事務的對立事務，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接法就會較簡便．提示：應用互斥事務概率的加法公式，肯定要留意首先確定各個事務是否彼此互斥，然后求出各事務發生的概率，再求和(或差)．間接法體現了“正難則反”的思想方法．考向3與其他學問的綜合某中學的學生主動參與體育熬煉，其中有96%的學生喜愛足球或游泳，60%的學生喜愛足球，82%的學生喜愛游泳，則該中學既喜愛足球又喜愛游泳的學生數占該校學生總數的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C解析：記“該中學學生喜愛足球”為事務A，“該中學學生喜愛游泳”為事務B，則“該中學學生喜愛足球或游泳”為事務A＋B，“該中學學生既喜愛足球又喜愛游泳”為事務AB，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以該中學既喜愛足球又喜愛游泳的學生數占該校學生總數的比例為46%．故選C．概率綜合問題求解須要明確概率類型，從而選擇相應概型公式求解．特殊留意“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義，可利用對立事務的概率快速解決．1．拋擲一個質地勻稱的骰子的試驗，事務A表示“小于5的偶數點出現”，事務B表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事務A＋eq\x\to(B)發生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C解析：拋擲一個骰子的試驗有6種等可能結果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,