第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 12【考點(diǎn)一】基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 12【考點(diǎn)二】函數(shù)的零點(diǎn) 16【考點(diǎn)三】函數(shù)模型及其應(yīng)用 22【專題精練】 26考情分析：1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不等式是常見題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是常考題型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點(diǎn)，通常考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．24．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題8．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題9．（2024·全國(guó)·高考真題）已知且，則．10．（2022·全國(guó)·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．11．（2024·全國(guó)·高考真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．12．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.參考答案：題號(hào)12345678答案DDDAACCACD1．D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知hx為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知hx的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)閤∈-1,1，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于hx因?yàn)椋瑒thx根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知hx的零點(diǎn)只能為0即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即hx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.4．A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．5．A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)椋裕从啥魏瘮?shù)性質(zhì)知，因?yàn)椋矗裕C上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.6．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故7．C【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋诸愑懻撆c的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋罱獾茫涣罱獾茫蝗簦?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)椋罱獾茫涣罱獾茫粍t當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.8．ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗傻茫矗蔆正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.9．64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來(lái)表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.10．；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性若，則的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻茫矗诙x域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．11．【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榍€與在0,+∞上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.故答案為：12．【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心梳理：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩種函數(shù)圖象的異同．一、單選題1．（2024·山東·一模）函數(shù)，則y=fx的部分圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．2．（2024·江西南昌·三模）若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上具有單調(diào)性4．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為1 B．，C． D．三、填空題5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則.6．（2023·河南·二模）已知，，則．參考答案：題號(hào)1234答案ABACACD1．A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，通過排除法得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋春瘮?shù)為偶函數(shù)，排除BD；當(dāng)時(shí)，，排除C.故選：A.2．B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，即，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B3．AC【分析】根據(jù)題意，令即可判斷A，令，，即可判斷B，令結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C，令即可判斷D【詳解】對(duì)A：令，則有，即，故A正確；對(duì)B：，，則有，即，由，，故，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，即，即，又函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，即，即有，則當(dāng)時(shí)，有，即，故在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.故選：AC4．ACD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解AB，由二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解CD.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值1，A正確．因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為1，所以，所以，B錯(cuò)誤．因?yàn)椋裕郑以谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C正確．因?yàn)椋裕裕珼正確．故選：ACD5．【分析】由冪函數(shù)在上遞減得，又由冪函數(shù)為奇函數(shù)，驗(yàn)證即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上遞減，所以，又冪函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：6．/0.1【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化可得，結(jié)合求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，則且，所以，即，故.故答案為：規(guī)律方法：(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的取值范圍．(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化．【考點(diǎn)二】函數(shù)的零點(diǎn)核心梳理：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．一、單選題1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在開區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·山東濰坊·一模）函數(shù)（）的圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若（）在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)其中，且，則（

）A． B．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C． D．三、填空題5．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是．6．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：題號(hào)1234答案DBACDACD1．D【分析】法一：由，令求解；法二：由，令求解.【詳解】解：法一：，，令，則或，即：或或，如圖所示：由圖像可知，函數(shù)共8個(gè)零點(diǎn).法二：因?yàn)椋桑茫颍裕颍矗颍驗(yàn)椋裕蚬矀€(gè)零點(diǎn).故選：D2．B【分析】先判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋以趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.3．ACD【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合給定圖象求出，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】依題意，，由，得，解得，而，解得，，的最小正周期為，A正確；是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，令，則，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；，，當(dāng)時(shí)，，依題意，，解得，D正確.故選：ACD4．ACD【分析】先作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判定即可.【詳解】解：，故A正確；作出函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故y=fx，有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由對(duì)稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數(shù)且在0,4上單調(diào)遞增，故，故D正確，故選：ACD.5．【分析】即導(dǎo)函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).【詳解】由題意知，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有零點(diǎn)，又，即為的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以解得，即m的取值范圍是．故答案為：6．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合題意將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有三個(gè)解，而無(wú)解，故.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，當(dāng)時(shí)，與必有1個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，即，即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，

當(dāng)時(shí)，必有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．規(guī)律方法：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法【考點(diǎn)三】函數(shù)模型及其應(yīng)用核心梳理：解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(1)審題：縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)反饋：將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義．一、單選題1．（2024·湖北·一模）某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（單位：年，）滿足，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（

）A． B． C． D．2．（2021·四川·二模）單位時(shí)間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時(shí)通過的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取時(shí)，該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為（

）A．135 B．149C．165 D．195二、多選題3．（23-24高三上·貴州貴陽(yáng)·期中）聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：），不同聲的聲強(qiáng)級(jí)如下，則（

）（）正常人能忍受最高聲強(qiáng)正常人能忍受最低聲強(qiáng)正常人平時(shí)談話聲強(qiáng)某人談話聲強(qiáng)（）120080A． B． C． D．4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則三、填空題5．（2024·北京海淀·三模）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為．（參考數(shù)據(jù)：（）6．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車空駛率；依據(jù)以上數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）參考答案：題號(hào)1234答案BBBCCD1．B【分析】由已知可得，當(dāng)和時(shí)分別求得最大值，即可求解.【詳解】由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間.故選：.2．B【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為149.故選：B3．BC【分析】根據(jù)表格的前2個(gè)數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式，判斷選項(xiàng).【詳解】由表格可知，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，故A錯(cuò)誤；，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，即，得，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC4．CD【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時(shí)取對(duì)數(shù)得，故得，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，，得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的，故C正確，由題意得，化簡(jiǎn)得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD5．74【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．故答案為：74.6．【分析】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗(yàn)甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.【詳解】依題意，因?yàn)槌鲎廛囆旭偟目偫锍虨椋鲎廛囉休d客時(shí)行駛的里程為，所以出租車空駛率，對(duì)于甲，，滿足題意；對(duì)于乙，，滿足題意；所以上述模型滿足要求，則丙的空駛率為，即.故答案為：.規(guī)律方法：構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的失分點(diǎn)(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型．(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤．(3)忽視函數(shù)模型中變量的實(shí)際意義．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）要測(cè)定古物的年代，可以用放射性碳法：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來(lái)的會(huì)自動(dòng)衰變．經(jīng)過5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測(cè)得某古物中含量占原來(lái)的，推算該古物約是年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則實(shí)數(shù)的值為（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240343．（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·北京·期中）近年來(lái)純電動(dòng)汽車越來(lái)越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為Peukert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取，則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為（

）A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．25．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．156．（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．7．（2024·四川達(dá)州·二模）定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B． C． D．8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)方程有兩個(gè)不同的根，分別是則（

）A． B．3 C．6 D．9二、多選題9．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在四個(gè)不同的值，使得，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定義，則下列命題正確的是（

）A．若，則與的全部元素之和等于3874B．若表示實(shí)數(shù)集，表示正實(shí)數(shù)集，則C．若表示實(shí)數(shù)集，則D．若表示正實(shí)數(shù)集，函數(shù)，則2049屬于函數(shù)的值域11．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則(

)A． B．C． D．三、填空題12．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．13．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗(yàn)，把一塊試驗(yàn)田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長(zhǎng)的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下：

根據(jù)上表所提供信息，第號(hào)區(qū)域的總產(chǎn)量最大．14．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，，則.參考答案：題號(hào)12345678910答案CBCBDDCBABDBD題號(hào)11答案ACD1．C【分析】設(shè)，利用時(shí)，和可求得的解析式.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C2．B【分析】設(shè)每年的衰變率為，古物中原的含量為，然后根據(jù)半衰期，建立方程，將已知條件帶入取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)每年的衰變率為，古物中原的含量為，由半衰期，得．所以，即．由題意，知，即．于是．所以．故選：B．3．C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)、、的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù),所以，解得，又，即，所以，解得，解得，所以，，由與在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，則不等式，即，等價(jià)于，所以，解得，即不等式的解集為.故選：C4．B【分析】由已知可得出，可得出，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化、換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得的近似值.【詳解】由題意可得，所以，所以，所以.故選：B.5．D【分析】由題意，根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得，由，解不等式即可求解.【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．故選：D6．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷小于1，大于1，再由數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的圖象，如圖，

由圖象可知，，所以.故選：D7．C【分析】由定義在上奇函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性得出周期，進(jìn)而求得，結(jié)合列出方程求解即可．【詳