專題11平面向量小題全歸類【目錄】 ④三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個三角形面積相等．2、奔馳定理：若，則；3、垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點故點O是的垂心，則一定有．，即，以此類推即可證明．4、外心向量定理：（1），；；（2），，；（3），，5、內心定理①角平分線的交點，到三條邊的距離相等；②；③例34．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內的一點，，，的面積分別為、、，則有，設O是銳角內的一點，，，分別是的三個內角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【解析】對于A，設的中點為D，則，即三點共線，則，設為的中點，同理可得，故O為的重心，A正確；對于B，若，結合，可知，B正確；對于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設延長后交與G，則,同理，則，即，同理，故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯誤，故選：ABC例35．（多選題）（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）點，分別是的外心?垂心，則下列選項正確的是（

）A．若且，則B．若，且，則C．若，，則的取值范圍為D．若，則【答案】BCD【解析】A.由，可知，點共線，又可知，點在的角平分線上，所以為的角平分線，與不一定相等，故A錯誤；B.若，則點是的中點，點又是的外心，所以，，故B正確；C.因為，所以，如圖，建立平面直角坐標系，設，，，因為，所以，得，，，，，，則，故C正確；D.因為，所以，即，則，同理，，所以，設，因為，所以，即，則，，即，則，，，故D正確.故選：BCD例36．（多選題）（2023·福建漳州·高一統考期末）已知的重心為，外心為，內心為，垂心為，則下列說法正確的是（

）A．若是中點，則B．若，則C．與不共線D．若，則【答案】ABD【解析】對于A，連接交于點，則點是的中點，是中點，連接，所以，所以，可得，故A正確；對于B，取的中點，連接、，因為點為外心，所以，所以，若，則，所以，故B正確；對于C，因為點為垂心，所以，因為，所以，而，所以與共線，故C錯誤；對于D，分別做、交、于、點，連接延長交于點，可得，設內切圓半徑為，則，所以，，所以，即①，，所以，即②，由①②可得，在中由余弦定理可得，因為，可得，所以，故D正確.故選：ABD.例37．（多選題）（2023·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯考階段練習）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則點的軌跡不可能經過的外心B．若，則點的軌跡不可能經過的垂心C．若，則點的軌跡不可能經過的重心D．若，，則點的軌跡一定過的外心【答案】ABD【解析】若，根據向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點為三角形外心，故有可能為外心，A錯；中或，則或為三角形垂心，故有可能為垂心，B錯；若為的重心，必有，此時，C對；若，，結合，則點在一個以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內（含邊界），為銳角三角形，其外心在內，則必過外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點，則必過外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側，如下圖示，點在平行四邊形內（含邊界），此時，當外心在內（含邊界），則必過外心；當外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；所以，，，的軌跡不一定過的外心，D錯.故選：ABD例38．（多選題）（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學校考期末）已知為所在的平面內一點，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經過的重心D．若，則點的軌跡經過的內心【答案】ABC【解析】對于A選項，因為，，又因為為的垂心，所以，所以，故正確；對于B選項，因為且，所以，整理得：，即，設為中點，則，所以三點共線，又因為，所以垂直平分，故，正確；對于C選項，由正弦定理得，所以，設中點為，則，所以，所以三點共線，即點在邊的中線上，故點的軌跡經過的重心，正確；對于D選項，因為，設中點為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點的軌跡經過的外心，錯誤.故選：ABC考點十一：阿波羅尼斯圓問題在平面上給定兩點A，B，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓（時點的軌跡是線段AB的中垂線）．例39．（2023·江西·高三校聯考階段練習）已知向量，滿足，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】因為，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以當與反向時，取得最大值，且最大值為.故選：D.例40．（2023·貴州貴陽·高二校聯考階段練習）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A、B間的距離為2，動點P與A、B距離之比為，當面積最大時，（

）A． B． C．8 D．16【答案】B【解析】由題意，以的中點為原點，以所在直線為軸，以過垂直于直線的直線為軸，建立坐標系，則，設，故，則，整理可得：，即的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，如下圖：由共線，則當時，的面積最大，不妨設在第一象限，此時，可得，，.故選：B.例41．（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學校考開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點A，B間的距離為3，動點滿足，則的范圍為.【答案】【解析】以中點為原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，因為，所以，.設，因為，所以，整理得，即..又，則，則.故答案為：考點十二：平行四邊形大法1、中線長定理2、為空間中任意一點，由中線長定理得：兩式相減：例42．如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】以點O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設點，，則，，則，其中，所以的最大值為：，則當時，取得最大值，最小值為，則當時，取得最小值，綜上，的取值范圍為.故答案為：.例43．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）半徑為的兩圓和圓外切于點，點是圓上一點，點是圓上一點，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】設點關于點的對稱點為，則點在圓上，所以，，因為，所以，，因為，當且僅當、同向且、反向時，，當時，則，所以，，所以，，所以，，因為，則，故當且四邊形為菱形時，，因此，.故答案為：.例44．如圖，圓是半徑為1的圓，，設，為圓上的任意2個點，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】連接，，設是線段的中點，連接，則有.設為和的夾角.則，，（當即時取等）因為，所以當時，有最小值.，（當即時取等）當時，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：考點十三：向量對角線定理例45．已知平行四邊形，，，，與交于點，若記，，，則（）B．C．D．【答案】C【解析】由對角線向量定理得，所以，而，所以，選擇C．例46．如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（） B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，由對角向量定理得所以選D．例47．如圖，在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（）A．