馬爾可夫預測方法

對事件的全面預測，不僅要能夠指出事件發生的各種可能結果，而且還必須給出每一種結果出現的概率。馬爾可夫（Markov）預測法，就是一種預測事件發生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據事件的目前狀況預測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是對地理事件進行預測的基本方法，它是地理預測中常用的重要方法之一。

狀態：指某一事件在某個時刻（或時期）出現的某種結果。狀態轉移過程。事件的發展，從一種狀態轉變為另一種狀態，稱為狀態轉移。馬爾可夫過程。在事件的發展過程中，若每次狀態的轉移都僅與前一時刻的狀態有關，而與過去的狀態無關，或者說狀態轉移過程是無后效性的，則這樣的狀態轉移過程就稱為馬爾可夫過程。幾個基本概念

狀態轉移概率。在事件的發展變化過程中，從某一種狀態出發，下一時刻轉移到其它狀態的可能性，稱為狀態轉移概率。由狀態Ei轉為狀態Ej的狀態轉移概率是（3.7.1）

狀態轉移概率矩陣。假定某一個事件的發展過程有n個可能的狀態，即E1，E2，…，En。記為從狀態Ei轉變為狀態Ej的狀態轉移概率，則矩陣幾個基本概念

稱為狀態轉移概率矩陣。概率矩陣。一般地，將滿足條件（3.7.3）的任何矩陣都稱為隨機矩陣，或概率矩陣。

（3.7.2）

（3.7.3）

幾個基本概念

不難證明，如果P為概率矩陣，則對于任何整數m>0，矩陣都是概率矩陣。

標準概率矩陣、平衡向量。如果P為概率矩陣，而且存在整數m>0，使得概率矩陣中諸元素皆非零，則稱P為標準概率矩陣。可以證明，如果P為標準概率矩陣，則存在非零向量，而且滿足，

使得：

（3.7.4）這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。這就是說，標準概率矩陣一定存在平衡向量。幾個基本概念

狀態轉移概率矩陣的計算。計算狀態轉移概率矩陣P，就是求從每個狀態轉移到其它任何一個狀態的狀態轉移概率。為了求出每一個，一般采用頻率近似概率的思想進行計算。

例題1：考慮某地區農業收成變化的三個狀態，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態，E2為“平收”狀態，E3為“欠收”狀態。表3.7.1給出了該地區1960～1999年期間農業收成的狀態變化情況。試計算該地區農業收成變化的狀態轉移概率矩陣。

幾個基本概念

表3.7.1某地區農業收成變化的狀態轉移情況

年份1960196119621963196419651966196719681969序號狀態年份序號狀態年份序號狀態年份序號狀態1E1197011E3198021E3199031E12E1197112E1198122E3199132E33E2197213E2198223E2199233E24E3197314E3198324E1199334E15E2197415E1198425E1199435E16E1197516E2198526E3199536E27E3197617E1198627E2199637E28E2197718E3198728E2199738E39E1197819E3198829E1199839E110E2197920E1198930E2199940E2從表3.7.1中可以知道，在15個從E1出發（轉移出去）的狀態中，有3個是從E1轉移到E1的（即1→2，24→25，34→35）有7個是從E1轉移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，

29→30，35→36，39→40）有5個是從E1轉移到E3的（即6→7，17→18，20→21，

25→26，31→32）

所以①計算：同理可得：②結論：該地區農業收成變化的狀態轉移概率矩陣為（3.6.5）

狀

態

概

率

及

其

計

算狀態概率：表示事件在初始（k＝0）狀態為已知的條件下，經過k次狀態轉移后，在第k個時刻（時期）處于狀態的概率。且：根據馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有

記行向量，則由（3.7.7）式可以得到逐次計算狀態概率的遞推公式：（3.7.6）

（3.7.7）

（3.6.8）

式中，為初始狀態概率向量。

第k個時刻（時期）的狀態概率預測

如果某一事件在第0個時刻（或時期）的初始狀態已知，即已知，則利用遞推公式(3.7.8)式，就可以求得它經過k次狀態轉移后，在第k個時刻（時期）處于各種可能的狀態的概率，即，從而就得到該事件在第k個時刻（時期）的狀態概率預測。例題2：將例題1中1999年的農業收成狀態記為=[0,1,0]

，將狀態轉移概率矩陣（3.7.5）式及代入遞推公式（3.7.8）式，可求得2000～2010年可能出現的各種狀態的概率（見表3.7.2）。

馬爾可夫預測法表3.7.2某地區1990～2000年農業收成狀態概率預測值

年份200020012002

2003狀態概率E10.5385E20.1528E30.3077E10.3024E20.414E30.2837E10.3867E20.3334E30.2799E10.3587E20.3589E30.2779年份2004200520062007狀態概率

E10.3677E20.3509E30.2799E10.3647E20.3532E30.2799E10.3656E20.3524E30.2799E10.3653E20.3526E30.2799年份20082009

2010狀態概率E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799終極狀態概率預測

①定義：經過無窮多次狀態轉移后所得到的狀態概率稱為終極狀態概率，即：②終極狀態概率應滿足的條件：

③例題：在例1中，設終極狀態的狀態概率為

則

馬爾可夫預測法

即：求解該方程組得：＝0.3653，＝0.3525，＝0.2799。這說明，該地區農業收成的變化過程，在無窮多次狀態轉移后，“豐收”和“平收”狀態出現的概率都將大于“欠收”狀態出現的概率。在地理事件的預測中，被預測對象所經歷的過程中各個階段（或時點）的狀態和狀態之間的轉移概率是最為關鍵的。馬爾可夫預測的基本方法就是利用狀態之間的轉移概率矩陣預測事件發生的狀態及其發展變化趨勢。馬爾可夫預測法的基本要求是狀態轉移概率矩陣必須具有一定的穩定性。因此，必須具有足夠的統計數據，才能保證預測的精度與準確性。換句話說，馬爾可夫預測模型必須建立在大量的統計數據的基礎之上。這一點也是運用馬爾可夫預測方法預測地理事件的一個最為基本的條件。在地理事件的預測中，被預測對象所經歷的過