陜西省商洛市2021-2022學年高二上學期理數期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．命題“所有正數的立方都是正數”的否定是（）A．所有正數的立方都不是正數B．存在一個正數，它的立方不是正數C．存在一個非正數，它的立方不是正數D．不存在一個正數，它的立方是正數2．若1aA．a>0>b B．a>b>0C．0>b>a D．無法判斷a，3．已知數列1，A．?18 B．?116 C．4．“x?1x≤0”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．某學習小組研究一種衛星接收天線（如圖①所示），發現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m6．在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點P在A．34 B．1 C．54 7．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，問塔的頂層燈的盞數為（）A．1 B．2 C．3 D．48．橢圓x28+y2A．6 B．10 C．6或18 D．10或189．在△ABC中，|CA|=|CB|=2，|AB|=3，D為A．224 B．114 C．22210．若數列{an}滿足(n?1)anA．28 B．29 C．30 D．3111．3D打印是快速成型技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數據均以外壁即塔筒外側表面計算）的上底直徑為4cm，下底直徑為6cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為（）A．928cm B．423cm C．92二、多選題12．如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD=2，A．直線AD與直線BC所成角的大小為9B．直線AB與直線CD所成角的余弦值為3C．直線AD與平面BCD所成角的大小為4D．三棱錐A?BCD的體積為3三、填空題13．若變量x，y滿足約束條件2x?y+1?0，x+y?1?0，14．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一.現有一道和書中內容類似的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且較多的三份面包個數之和的13是較少的兩份面包個數之和，則最少的一份面包個數為15．若滿足B=π3，AC=6，BC=m16．拋物線y2=?24x上有一動點P，其焦點為F，A(?9，四、解答題17．已知橢圓C的中心在坐標原點，且C過點(3（1）求橢圓C的標準方程；（2）拋物線M的頂點在坐標原點，以橢圓C的上頂點作為拋物線M的焦點，求拋物線M的標準方程.18．已知命題p：對任意x∈(0，+∞)，x+a（1）如果p是真命題，求a的取值范圍；（2）如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍.19．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，（1）求{a（2）求數列{1anan+120．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為（1）求角B；（2）若△ABC的面積為1534，周長為15，求21．如圖，在棱長為4的正方體OABC?O'A（1）證明：A'（2）當三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時，求平面22．已知F1，F2分別是橢圓C：x2（1）求橢圓C的短軸長；（2）過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點P是橢圓C上的一點，若△PAB為等邊三角形，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】命題“所有正數的立方都是正數”可以改寫為：任意一個正數，它的立方是正數，則否定為：存在一個正數，它的立方不是正數，故答案為：B.

【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為1a所以，1a所以，ab<0，a>b所以a>0>b.故答案為：A

【分析】由題意可得1a?1b=3．【答案】B【解析】【解答】由已知條件得∵數列1=120，?1=?221∴an則a故答案為：B.

【分析】依據前五項的規律寫出數列的項項公式，由通項公式求出數列第8項即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式x(x?1)≤0得0≤x≤1，x?1x≤0等價于x(x?1)≤0x≠0因為{x|0<x≤1}是{x|0≤x≤1}的真子集，所以{x|0<x≤1}是{x|0≤x≤1}的充分不必要條件，所以，“x?1x≤0”是“故答案為：A

【分析】解不等式x(x?1)≤0得0≤x≤1，解不等式x?1x≤0得5．【答案】A【解析】【解答】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上．設拋物線的標準方程為y2由已知條件可得，點A(0.所以1.2p=1.因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故答案為：A.

【分析】根據題意由拋物線的簡單性質結合拋物線的定義，把數值代入計算出P的取值，結合已知條件即可得出答案。6．【答案】C【解析】【解答】如圖，

AP==3所以x=3所以x+y+z=5故答案為：C.

【分析】根據空間向量的加法、減法、數乘運算即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：設頂層的燈數是a1，則每一層燈數形成以2為公比的等比數列{所以，由題可得S7=a所以，塔的頂層的燈數是3.故答案為：C.

【分析】由題意可知每一層燈數形成以2為公比的等比數列{an}8．【答案】C【解析】【解答】解：當橢圓x28+y2則8?(m?2)8=(當橢圓x28+y2則(m?2)?8m?2=(故答案為：C

【分析】對橢圓的焦點位置分兩種情況討論，解方程即可求出m的值.9．【答案】C【解析】【解答】在△ABC中，由余弦定理得cosA=在△ABD中，由余弦定理得BD所以BD=22故答案為：C.

【分析】利用余弦定理求解即可得答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：由(n?1)an=(n+1)所以a因為an<870，所以n2故答案為：A

【分析】由題意利用累乘法可得an=n11．【答案】D【解析】【解答】該塔筒的軸截面如圖所示，以C為喉部對應點，設A與B分別為上、下底面對應點，以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在軸為x軸建立如圖所示的坐標系.由題意可知xA=2，xB設A(2，m)，則設雙曲線的方程為x2∵雙曲線的離心率為10=1+(b方程可化簡為9x將A和B的坐標代入(*)式可得36?m2=9則喉部的直徑2a=8故答案為：D

【分析】作該塔筒的軸截面圖像并以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在軸為x軸建立坐標系，根據雙曲線的性質求出實軸長即可得答案.12．【答案】B,C【解析】【解答】如下圖所示，過點B在平面BCD內作BE⊥BC交CD于點E，過點B在平面ABC內作BF⊥BC交AC于點F，因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，BF⊥BC，BF?平面ABC，所以BF⊥平面BCD，因為BE，BC?平面所以BF⊥BE，所以，BE，所以，以點B為坐標原點，BE、BC、BF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為AB=BC=BD=2，所以，A(0，?1，3)、B(0對于A選項，AD=(3，0，?3故直線AD與直線BC所成角的大小為90對于B選項，AB=(0，1cos<所以，直線AB與直線CD所成角的余弦值為34對于C選項，AD=(3，0，cos<所以，直線AD與平面BCD所成角的大小為45對于D選項，由題知點A到平面BCD的距離為3，S△BCD=12BC?BD?故答案為：BC

【分析】過點B在平面BCD內作BE⊥BC交CD于點E，過點B在平面ABC內作BF⊥BC交AC于點F，證明出BE，BC，BF兩兩垂直，進而以點B為坐標原點，BE、BC、BF所在直線分別為x、13．【答案】-7【解析】【解答】畫出可行域及y=?34x，可得到當z=3x+4y聯立x?2y?1=02x?y+1=0，得到A(?1故zmin故答案為：-7

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案.14．【答案】10【解析】【解答】設每人所得的面包個數從小到大依次為a?2d，a?d，a，a+d，a+2d，則a?2d+a?d+a+a+d+a+2d=5a=100，所以a=20.因為a?2d+a?d=13(a+a+d+a+2d)，所以40?3d=所以最少的一份面包個數為a?2d=10.故答案為：10

【分析】設每人所得的面包個數從小到大依次為a?2d，a?d，a，a+d，a+2d，然后結合題意可建立關于a，d的方程，求出a，d，即可求解出答案.15．【答案】(【解析】【解答】設AB=c，在△ABC中，由余弦定理得AC即6=c整理為關于c的一元二次方程c2根據題意，該一元二次方程有兩個不相等的正實數根，所以Δ=m2?4故答案為：(6

【分析】設AB=c，利用余弦定理可得6=c2+m2?mc，可得關于16．【答案】15【解析】【解答】由題可知，拋物線焦點為F(?6，0)過P作準線的垂線為PC交準線為點C，根據拋物線的定義可知|PF|=|PC|，所以|PF|+|PA|=|PC|+|PA|，因為P為拋物線上的動點，所以當P為點P'|PF|+|PA|=|PC|+|PA|取到最小值為AB=6?(故答案為：15.

【分析】根據拋物線的定義得到|PF|+|PA|=|PC|+|PA|，進而結合幾何圖形可得|PF|+|PA|的最小值.17．【答案】（1）解：設橢圓方程為mx因為橢圓過點過點(3所以3m=194m+n=1所以橢圓方程為：y2（2）解：由（1）知橢圓的上頂點為(0所以拋物線的焦點為(0所以p2=2，【解析】【分析】（1）設橢圓方程為mx2+ny2=1(18．【答案】（1）解：因為命題p：對任意x∈(0，所以，對任意x∈(0，所以，對任意x∈(0，所以，當x>0時，a>[?所以，如果p是真命題，a的取值范圍(4（2）解：命題q：方程x所以，a(a?6)<0，解得0<a<6，因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以，p，當p真q假時，a∈(4，當p假q真時，a∈(?∞，所以，a的取值范圍是(0，【解析】【分析】（1）由題意可知對任意x∈(0，+∞)，x2?4x+a>0恒成立，分離參數進行求解即可得a的取值范圍；

（2）當命題q為真時，0<a<6，再根據題意分p真q假和19．【答案】（1）解：由題意知a因為d≠0，所以d=6所以an（2）解：因為1所以T【解析】【分析】（1）根據等比數列的性質結合等差數列的通項公式列出方程組，求解出首項和公差，進而得{an}的通項公式；

（2）由（1）得1anan+120．【答案】（1）解：根據正弦定理可得b=2RsinB因為asin2B+bsinA=0，所以2Rsin因為sinA>0，所以2cosB+1=0又A∈(0，所以B=（2）解：因為△ABC的面積為153所以S△ABC=1因為B=2π所以，由余弦定理得b因為△ABC的面積的周長為15，即a+b+c=15，所以，a+c=15?b所以，b2=(15?b)2?15所以b的值為7【解析】【分析】（1）根據正弦定理邊角互化得cosB=?12，進而得角B的值；

（2）由三角形面積得ac=15，進而根據余弦定理得b2=21．【答案】（1）證明：以O為原點，OA，OC，OO'的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設AE=BF=m(0≤m≤4)，則E(4，m，0)，C'所以A'F=(?m因為A'所以A'F⊥（2）解：由（1）知VB當且僅當m=2時，等號成立，此時E(4，2，因為B'(4，4，設平面B'EF的法向量為則m令x=2，得m=(2取平面BEF的一個法向量n=(0設平面B'EF與平面BEF的夾角為則cosθ=|即平面B'EF與平面BEF夾角的余弦值為【解析】【分析】(1)以O為原點，OA，OC，OO'的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O?xyz，求得兩條直線的方向向量，結合方向向量即可證得A'F⊥C'E22．【答案】（1）解：因為∠F1M又因為|MF1|+|MS△所以b=1，則橢圓C的短軸長為2.（2）解：若△PAB為等邊三角形，應有|OP|=32|AB|當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方