；方法技巧專題3空間幾何體外接球和內切球解析版一、空間幾何外接球和內切球知識框架二、求外接球半徑常用方法【一】高過外心空間幾何體（以空間幾何體（以為例）的高過底面的外心（即頂點的投影在底面外心上）：先求底面的外接圓半徑，確定底面外接圓圓心位置;把垂直上移到點，使得點到頂點的距離等于到的距離相等，此時點是幾何體外接球球心；連接，那么, 由勾股定理得：.1.例題【例1】已知正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵正四棱錐P﹣ABCD的所有頂點都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴連結AC，BD，交于點O，連結PO，則PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半徑r，∴球O的表面積為S＝4πr2＝8π．故選：C．2.鞏固提升綜合練習【練習1】在三棱錐中..，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圓的半徑，因為，所以P在底面上的射影為的外心D，且，設其外接球的半徑為，則有，解得，所以其表面積為，故選B.【二】高不過外心高不過心—頂點的投影不在底面外心上，以側棱垂直于底面為例：高不過心—頂點的投影不在底面外心上，以側棱垂直于底面為例：題設：已知四棱錐，（1）先求底面的外接圓半徑，確定底面外接圓圓心位置;（2）把垂直上移到點，使得，此時點是幾何體外接球球心；（3）連接，那么, 由勾股定理得：.1.例題【例1】（1）長方體ABCD?A1B1C1D1（2）已知正三棱柱的底面邊長為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（）A. B. C. D.（3）已知，，，，是球的球面上的五個點，四邊形為梯形，，，，面，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】（1）8π（2）D（3）A【解析】（1）因為長方體ABCD?A所以球的直徑等于長方體的對角線長，設球的半徑為R，因為AB=2，AD=3，A所以4R2=22（2）正三棱柱的底面邊長為3,故底面的外接圓的半徑為：外接球表面積為外接球的球心在上下兩個底面的外心MN的連線的中點上，記為O點，如圖所示在三角形中，解得故棱柱的體積為：故答案為：D.（3）取中點，連接且四邊形為平行四邊形，又為四邊形的外接圓圓心設為外接球的球心，由球的性質可知平面作，垂足為四邊形為矩形，設，則，解得：球的體積：本題正確選項：2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知三棱柱的側棱與底面垂直，，則三棱柱外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，球的球心為，因為三棱柱的側棱與底面垂直，所以球的球心為的中點，且直線與上、下底面垂直，且，，所以在中，，即球的半徑為，所以球的體積為，故選D。【練習2】四棱錐的底面為正方形，底面，，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則的長為（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】連接AC、BD交于點E，取PC的中點O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點的距離相等，即O為球心，設球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【練習3】四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，底面為梯形，，且，則此球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由已知可得，底面四邊形為等腰梯形，設底面外接圓的圓心為，連接，則，，又，設四棱錐外接球的球心為，則，即四棱錐外接球的半徑為．此球的表面積等于．故選：C．三、常見空間幾何體外接球【一】長（正）方體外接球1、長方體或正方體的外接球的球心：體對角線的中點；1、長方體或正方體的外接球的球心：體對角線的中點；2、正方體的外接球半徑：（為正方體棱長）；3、長方體的同一頂點的三條棱長分別為，外接球的半徑：1.例題【例1】若一個長、寬、高分別為4，3，2的長方體的每個頂點都在球的表面上，則此球的表面積為________【解析】長方體外接球半徑：，所以外接球面積：【例2】已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_______【解析】設正方體棱長為，則，∴.設球的半徑為，則由題意知.故球的體積.2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是________.【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱，如圖所示：其中，三角形是腰長為的直角三角形，側面是邊長為4的正方形，則該幾何體的外接球的半徑為.∴該幾何體的外接球的表面積為.故答案為.【練習2】棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（） B． C． D．【解析】平面截面所得圓面的半徑為，直線被球截得的線段為球的截面圓的直徑，為【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—漢堡模型直棱柱外接球的求法—漢堡模型補型：補成長方體，若各個頂點在長方體的頂點上，則外接球與長方體相同作圖：構造直角三角形，利用勾股定理第一步：求底面外接圓的半徑：（為角的對邊）；第二步：由勾股定理得外接球半徑：（為直棱柱側棱高度）1.例題【例1】直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥BC，【解析】AB⊥BC，AB=3，BC=4，所以底面外接圓的半徑：，是直三棱柱，，所以幾何體外接球半徑；故該球的表面積為:【例2】直三棱柱的所有棱長均為23，則此三棱柱的外接球的表面積為（）A．12π B．16π C．28π【解析】由直三棱柱的底面邊長為23，得底面外接圓的半徑：，又由直三棱柱的側棱長為23，則，所以外接球半徑，∴外接球的表面積．故選：C2.鞏固提升綜合練習【練習1】設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，且球的表面積是，，，則此直三棱柱的高是________.【解析】設邊長為，則外接圓半徑為，因為所以即直三棱柱的高是.【三】棱錐的外接圖2圖1類型一：正棱錐型圖2圖1類型一：正棱錐型（如下圖1，以正三棱錐為例，頂點的投影落在的外心上）求底面外接圓半徑：（為角的對邊）；求出，求出棱錐高度;由勾股定理得外接球半徑:.類型二：側棱垂直底面型類型二：側棱垂直底面型（如上圖2）1）求底面外接圓半徑：（為角的對邊）；2）棱錐高度;3）由勾股定理得外接球半徑:.類型三：側面垂直于底面---切瓜模型類型四：棱長即為直徑（類型四：棱長即為直徑（兩個直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑）題設：,且則外接球半徑：類型五：折疊模型1.例題【例1】已知正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為（）A.B.C.D.【解析】如圖所示，設底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為底面正方形的邊長為正四棱錐的體積為，解得在中，由勾股定理可得：即，解得故選【例2】在三棱錐中，，，面，且在三角形中，有，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】設該三棱錐外接球的半徑為.在三角形中，∴∴根據正弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圓的半徑為.∵面∴∴∴該三棱錐外接球的表面積為故選A.【例3】已知如圖所示的三棱錐的四個頂點均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，則球的表面積為．．． ．【解析】，，，，，和所在平面相互垂直，，球的表面積為．故選：．【例4】三棱錐的底面是等腰三角形，，側面是等邊三角形且與底面垂直，，則該三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．【解析】如圖，在等腰三角形中，由，得，又，設為三角形外接圓的圓心，則，．再設交于，可得，，則．在等邊三角形中，設其外心為，則．過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線相交于，則為該三棱錐的外接球的球心，則半徑．該三棱錐的外接球的表面積為．故選：．【例5】在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【例6】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑．若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為A． B． C． D．【解析】如下圖所示，設球的半徑為，由于是球的直徑，則和都是直角，由于，，所以，和是兩個公共斜邊的等腰直角三角形，且的面積為，，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，所以，三棱錐的體積為，因此，球的體積為，故選：．【例7】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如圖，取BD中點H，連接AH，CH因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知正四棱錐的各條棱長均為2，則其外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】設點P在底面ABCD的投影點為,則平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圓的半徑,故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑R=,故外接球的表面積為故選C.【練習2】如圖，正三棱錐的四個頂點均在球的球面上，底面正三角形的邊長為3，側棱長為，則球的表面積是A． B． C． D．【解析】如圖，設，，，，又，，在中，，得：，，，故選：．【練習3】已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】根據幾何體的三視圖可知，該幾何體為三棱錐A?BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面ABC，∠BDC=120°根據余弦定理可知：BC可知BC=27根據正弦定理可知?BCD外接圓直徑∴r=2213，如圖，設三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，過球心O向AD作垂線，則垂足H為DH=1，在Rt?ODH中，R∴外接球的表面積S=4πR3=4π×【練習4】已知三棱錐中，平面，且，.則該三棱錐的外接球的體積為()A.B.C.D.【解析】∵，∴是以為斜邊的直角三角形其外接圓半徑，則三棱錐外接球即為以C為底面，以為高的三棱柱的外接球∴三棱錐外接球的半徑滿足故三棱錐外接球的體積故選D.【練習5】已知四棱錐P?ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P?ABCD外接球的表面積是（）A.20πB.101π5C.25πD.【解析】由三視圖得，幾何體是一個四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側面ABE⊥底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD的中心為M,球心為O,F為BE中點，OG⊥AF.設OM=x,由題得ME=5,在直角△OME中，x2【練習6】《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研究，如下圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的四棱錐P?ABCD，其中ABCD是邊長為4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．設F為AB的中點，E為正方形ABCD的中心，O為四棱錐外接球的球心，O1為ΔPAB外接圓的圓心，則球心O為過點E且與平面ABCD垂直的直線與過O1且與平面由于ΔPAB為鈍角三角形，故O1在ΔPAB的外部，從而球心O與點P在平面ABCD由題意得PF=1,OE=O設球半徑為R，則R2即OE2+∴R2∴S球表【練習7】已知底面邊長為2，各側面均為直角三角形的正三棱錐P?ABC的四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3πB.2πC.43π【解析】由題意得正三棱錐側棱長為1，將三棱錐補成一個正方體（棱長為1），則正方體外接球為正三棱錐外接球，所以球的直徑為1+1+1=3，故其表面積為【練習8】（2020·南昌市八一中學）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取線段BC的中點D，連結AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由題意得BC⊥平面ADS，分別取AD，SD的三等分點E，F，在平面ADS內，過點E，F分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點即球心O，連結OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD，AD，DE，AE，連結OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面積為S＝4πR2．故選：A．【練習9】四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點O，因為,且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.故答案選：C【四】墻角型題設：墻角型（三條線兩兩垂直）題設：墻角型（三條線兩兩垂直）方法：找到3條兩兩互相垂直的線段途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構造正方體．途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體．墻角型外接球半徑：（分別是長方體同一頂點出發的三條棱的長度）1.例題【例1】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（）A．B．C．D．【解析】根據幾何體的三視圖，該幾何體是由一個正方體切去一個正方體的一角得到的．故：該幾何體的外接球為正方體的外接球，所以：球的半徑，則：.故選：B．【例2】已知四面體ABCD的四個面都為直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，若該四面體的四個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．3π B．23π C．43【解析】∵BD=CD=2且ΔBCD為直角三角形∴BD⊥CD又AB⊥平面BCD，CD?平面BCD∴CD⊥AB∴CD⊥平面ABD由此可將四面體ABCD放入邊長為2的正方體中，如下圖所示：∴正方體的外接球即為該四面體的外接球O正方體外接球半徑為體對角線的一半，即R=∴球O的表面積：S=4πR22.鞏固提升綜合練習【練習1】已知一個棱長為2的正方體被兩個平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是B．C．D．【解析】該幾何體是把正方體截去兩個四面體與，其外接球即為正方體的外接球，由．外接球的半徑．該幾何體外接球的表面積是．故選：．【練習2】在三棱錐一中，，、、兩兩垂直，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】在三棱錐一中，，、、兩兩垂直，以、、為棱構造棱長為1的正方體，則這個正方體的外接球就是三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積為：．故選：．四、空間幾何內切球1.例題【例1】正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．【答案】，．∴得：，∴．∴．【例2】若三棱錐中，，其余各棱長均為5，則三棱錐內切球的表面積為．【答案】【解析】由題意可知三棱錐的四個面全等，且每一個面的面積均為．設三棱錐的內切球的半徑為，則三棱錐的體積，取的中點，連接，，則平面，，，，，解得．內切球的表面積為．故答案為：．2.鞏固提升綜合練習【練習1】一個幾何體的三視圖如圖所示，三視圖都為腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球半徑與內切球半徑之比為A． B． C． D．【解析】由題意可知幾何體是三棱錐，是正方體的一部分，如圖：正方體的棱長為2，內切球的半徑為，可得：，解得，幾何體的外接球的半徑為：，該幾何體的外接球半徑與內切球半徑之比為：．故選：．【練習2】球內切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是A． B． C． D．【解析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，．此圓柱的全面積與球表面積之比是：．故選：．五、球與幾何體各棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解1.例題【例1】已知一個全面積為24的正方體，有一個與每條棱都相切的球，此球的半徑為

【解析】對于球與正方體的各棱相切，則球的直徑為正方體的面對角線長，即,2.鞏固提升綜合練習【練習1】把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】六、課后自我檢測1．已知三棱錐的各頂點都在一個球面上，球心在上，底面，球的體積與三棱錐體積之比是，，則該球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且平面，所以，設球的半徑為，根據題目所給體積比有，解得，故球的表面積為.2．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據三視圖可知，幾何體是底面為矩形，高為的四棱錐，且側面PAB垂直底面ABCD，如圖所示：還原長方體的長是2，寬為1，高為設四棱錐的外接球的球心為O，則過O作OM垂直平面PAB，M為三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，則N為矩形ABCD的對角線交點，所以外接球的半徑所以外接球的體積故選A3．《九章算術》中將底面為長方形，且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”現有一陽馬，其正視圖和側視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽馬的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A．6π B．6π C．9π【答案】B【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐P?ABCD．底面ABCD為矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．則該陽馬的外接球的直徑為PB=1+1+4∴該陽馬的外接球的表面積為：4π×(624．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是AB、BC的中點，將ΔADE，ΔBEF，ΔCDF分別沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三點重合于點A'，若四面體AA．5π B．6π C．8π D．11π【答案】B【解析】由題意可知△A'EF是等腰直角三角形，且A'D⊥平面A'EF．三棱錐的底面A'EF擴展為邊長為1的正方形，然后擴展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：1+1+4=∴球的半徑為62，∴球的表面積為4π·(65．某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積是：（）A．8π B．123π C．12π 【答案】C【解析】由三視圖還原幾何體如圖，可知該幾何體為直三棱柱，底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，側棱長為2．把該三棱柱補形為正方體，則正方體對角線長為22∴該三棱柱外接球的半徑為：3．則球O的表面積是：4π×(3)26．已知三棱錐O?ABC的底面ΔABC的頂點都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱錐O?ABC的體積為43A．32π3 B．64π3 C．128π3【答案】D【解析】由O為球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影為△ABC的外心，AB＝6，BC=23，AC=43，可得△ABC為O在底面ABC的射影為斜邊AC的中點M，可得13?OM?12AB?BC=16OM?123=R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的體積為43πR3=43π?64=7．我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱.現有一如圖所示的塹堵，，若，則塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在直三棱柱中，因為，所以為直角三角形，且該三角形的外接圓的直徑，又由，所以直三棱柱的外接球的直徑，所以，所以外接球的體積為，故選C.8．一個各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2，則該四面體外接球的表面積為（）A．6π B．12π C．32π D．48π【答案】B【解析】由題得幾何體原圖如圖所示，其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,設SC中點為O,則在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,所以點O是四面體的外接球球心，且球的半徑為.所以四面體外接球的表面積為.故選：B9．已知在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據題意,，是直角三角形又平面平面，所以，三棱錐外接球半徑等于的外接圓半徑,,球的表面積為故選D。10．已知三棱錐的體積為6，在中，，，，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，則球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理得是直角三角形設三棱錐的高為則三棱錐體積，解得取邊的中點為，則為外接圓圓心連接，則平面，如下圖所示：則則球的表面積本題正確選項：11．已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原題如下圖所示：由，得：則設外接圓圓心為，則由正弦定理可知，外接圓半徑：設到面距離為由為球直徑可知：則球的半徑球的表面積本題正確選項：12．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐的外接球體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】平面平面，平面平面，，平面，平面，，所以，是邊長為的等邊三角形，由正弦定理得的外接圓的直徑為，所以，該球的直徑為，則，因此，三棱錐的外接球體積為．故選：．13．已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓錐底面圓半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該該等邊三角形的內切圓，所以r=R，=，所以球與圓錐的表面積之比為故選：B．14．體積為eq\f(4π,3)的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.【答案】6eq\r(3)【解析】設球的半徑為R，由eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4