[1]利用微分中值定理證明一些題時要構造輔助函數,構造的函數要滿足微分中值定理的條件才能證明所需要的結論,而構造合適的輔助函數往往比較困難.在本文中,我通過結論的變形、利用微分方程求通解、利用不定積分等方法構造出輔助函數.羅爾中值定理的應用羅爾中值定理是微分中值定理中是最基礎的定理,其他的微分中值定理都與它有著千絲萬縷的關系.因此羅爾中值定理在微積分學中是一個重點,同時也是學習中需要突破的一個難點和重點.可以通過研究定理中的條件、結論和幾何意義,從而來解決我們需要解決的問題.證明含有導數方程根的存在性及根的個數羅爾中值定理的出現可以更好的證明方程根的存在性.在證明的過程中,要注意函數是否滿足羅爾中值定理的條件.例1若在內有二階導數,并且,其中證明:在內至少有一點,使得.證明由于在與上都滿足Rolle定理的條件,所以,,得,.由題意可得,在上連續,在內可導,所以對在上應用Rolle定理得,,使得．例2設在上連續,在內二階可導,且,.證明:,使.證明由,得,且.又因為,所以有,使,即.在上應用Rolle定理,,使.又在上對應用Rolle定理,知,使.例3證明在區間上不可能有兩個零點.證明反證法設在上有兩個零點為和,不妨設,且為初等函數在R上連續,從而在上必連續,在內可導,且.由Rolle定理知,,使得,即,即,而,從而矛盾,即原命題成立.證明含有導數的等式成立例4設在上連續,在內可導,且有,證明:存在一點,使成立.證明要證明,即證,從而令,則.由題意可知,在上連續,在內可導,并且,應用Rolle定理可知,至少存在一點,使得即.例5設在上連續,在內可導,且有,.求證:,使.證明將等式中的換成,得,將等式變形得,將其兩邊同時積分得,即.因此令,則在上連續,在內可導,并且.由Rolle中值定理知,,使得,即.例6設在上連續,在內可導,且有.求證:在內至少存在一點,使.證明將題中的改為,得,所以對微分方程求通解得:,即.因此令,并且在上連續,在內可導,且有.由Rolle定理知,,使,即.羅爾定理在高中數學里的應用高中數學題中有關導數的題有時通過高中課本中的知識是無法解決,所以會應用到數學分析中的知識點,比如洛必達法則、微分中值定理等知識,將圍繞羅爾中值定理來解決一些高中數學題.例7已知函數,求證:函數只有一個零點.證明先證明方程根的存在性,因為和所以由根的存在性定理得:至少存在一個實數,使得.然后證明解的唯一性:假設f(x)有兩個零點為則,由Rolle定理得:至少存在一個,使得即,與相矛盾,故假設不成立.故函數只有一個零點.例8已知函數.求:（1）如果函數在上是單調函數,試求實數的取值范圍;（2）已知函數,且,如果在上恰有3個零點,求實數的取值范圍.解（1）,當在上是單調遞增時,則,因此得當在上單調遞減時,,因此得綜上得,實數的取值范圍是（2）由題得,由于可知在內恰好有一個零點,設該零點為,由Rolle中值定理可知,從而在上有不同的兩個解,即在上有兩個不同的零點.由（1）可知:當時,在區間上單調,與在內至多有一個零點相矛盾,所以的取值范圍為.令,得,因此在上是單調遞減,在區間上是單調遞增,記的兩個零點分別為和,且,,則有又因為,得,故又因,所以綜上得,實數的取值范圍為拉格朗日中值的應用在微分中值定理中,最突出的是拉格朗日中值定理,因為它對函數的要求低,所以它的應用相對羅爾中值定理而言更為廣泛,它在證明命題時與羅爾中值定理證明的方法差不多,只是變化更豐富而已.證明雙邊不等式在證明雙邊不等式時,可以考慮拉格朗日中值定理來證明,在證明的過程中,對不等式要進行適當的變形來構造合適的輔助函數,然后尋找拉格朗日中值定理所需要的區間,最后利用區間上的一點,對該點處函數的一階導數進行應用.例9證明不等式證明當時,有.當時,不妨設,令在閉區間上連續,在開區間內可導,所以Lagrange中值定理可得,,使得,化簡的故.例10證明數值不等式證明由題可知,令,且在上連續,在內可導,由Lagrange中值定理可知,,使得,即,從而得,得.例11證明當時,.證明設,則是基本初等函數,從而在時連續,在必連續且可導,并且.從而由Lagrange中值定理得,至少使得,即.也即.而,從而又因為從而即證明恒等式通過,得從而使導數時,(C為某個常數),通過此原理來證明恒等式成立.例12在區間有意義,證明:證明問題等價于要證明函數事實上而故.因此但由可知,所以即成立.求函數極限利用洛必達法則求有難度的極限,其過程復雜并且容易出錯，所以微分中值定理就可以解決這一問題，并且提供了簡單而有效的方法.其方法是將極限的某些部分構造成輔助函數,然后使用拉格朗日中值定理,最后求出極限.例13求,其中.解設,應用Lagrange中值定理,,有.則例14求極限.解令,由題可知,在區間上滿足Lagrange中值定理的條件,所以,使得,令,并且在滿足Lagrange中值定理的條件,所以,.故研究函數在區間上的性質例15證明:區間是有限或無窮的,若在內的是有界的,則于中一致連續.證明由題可知,使得,,則當且時,在上連續,在內可導,根據Lagrange中值定理可得,,則在內一致連續.例16設在上二階可導,且當時,有.證明:方程在內至有一個實根.證明由可知,單調遞減,即當時,因此函數單調遞減,從而可知內至多有一個實根.又因為均為定值,所以且為定值,在上應用Lagrange中值定理可得:于是.因為,故在內,至少有一個實根.綜上所述,方程在內至有一個實根.例17設在內可微,在內有界,證明:在內也有界.證明因為在內有界,所以,使得又由在內可微,所以在內連續,則當取時,為定值.不妨設,則是定值.且,則在上滿足Lagrange中值定理的條件,恒有,.所以即所以在內也有界.例18討論函數的在區間上的單調性.解因為,兩邊求導,得.通過Lagrange中值定理得：使得所以有,得又所以即在內單調遞增.在高中數學里的應用例19已知函數.設,證明:.證明由題意可得,,由Lagrange中值定理得,使得例20已知函數,有導函數,對任意兩個不相等的正數.求證:（1）當時,;（2）當時,.證明（1）不妨設,即證.由拉格朗日中值定理可知,存在,則且,,又.當時,,所以是一個單調遞減函數,故,因此成立.（2）由題可得,令,則由Lagrange中值定理可得:,使得.下面只要證明:當時,,都有,即,即時,有.也就是證明的最小值大于4.由于當且僅當時,取的最小值.又,故時,.由Lagrange中值定理得:,使得.即.柯西中值定理的應用柯西中值定理可以說是拉格朗日中值定理的推廣形式,它比其它定理更具有一般性.在各種教材中對它的應用提及較少,而柯西中值定理的應用也十分廣泛.利用柯西中值定理證明命題時,需要借助兩個輔助函數進行證明.證明不等式例21證明不等式.證明令則題中的不等式可以轉化為,因為,對在區間有Cauchy中值定理可得從而轉化成因為,而當時,.所以,得,相當于,即.證明等式在利用柯西中值定理證明等式,題目通常以存在某點使等式成立的形式出現,在于對結果進行整理與變形,找出符合柯西中值定理的兩個輔助函數.例22設函數在上可微分,且.證明,其中證明設,由于,故在閉區間之外,從而和均在閉區間上可微,且有及.和滿足Cauchy中值定理的條件,故,得,即化簡整理,即得.例23設在上連續,在內可導,且,證明:,使證明將題目中的等式轉化成分式結構設在上對函數應用Cauchy中值定理,得即.例24設在上連續,內可導證明:存在,使得證明將兩邊同時乘以可得,設應用Cauchy中值定理,得:使得即計算不定式的極限例25若函數在內可導,且,證明:證明由,從而,.顯然,.由,知,,當時,有.對,在上應用Cauchy中值定理,得,使得,即.由于,所以時,有和于是,使即.例26設,函數在上可導.證明(1)存在使得.(2)設在處二階可導,證明:.證明（1）設在上滿足Lagrange中值定理條件,故,得.（2）由題可知函數在點二階可導,在點的某領域內連續并有一階導數,任取,令,,則滿足Cauchy中值定理條件,故使而時,,且在處二階可導,故證明函數有界例27設函數在內可微,,證明:在內,.證明引入輔助函數,在上應用Cauchy中值定理,得.因為且,所以,從而.證明函數的一致連續性例28設函數在區間內連續且可導,有,證明:在內一致連續.證明由函數極限的局部有界性可知,,設,當時那么對于,且由Cauchy中值定理,得,有,即.故,當,且時,由上面兩式得到所以在上一致連續.又因為在內連續且可導,所以在上連續,從而在上一致連續,故在上一致連續.總結與展望由于時間緊迫,本文只涉及到了關于微分中值定理的一些易常用的應用,在應用時需注意驗證定理的條件.本文探究了微分中值定理求極限、證明不等式、證明等式和證明根的存在性等,在高中數學里的應用,還需要進一步的研究.如何輕松的理解和掌握這一數學思想,期待在以后教育教學時間中加以探索，也希望本論文能夠對大家學習微分中值定理有所幫助.本文對于積分中值定理及其應用還沒有涉及到,其在應用的過程中,它可以直接得出結果,也可以簡化較為復雜的被積函數.積分中值定理的應用也非常廣泛，比如進行估值運算、抽象函數中出現的求極限、求函數在區間上的平均值、證明積分不等式等.希望在以后的學習中能夠對其進行深層次的研究.

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