關注公眾號《品數學》加入高中數學資料群（QQ群號734924357），獲取更多精品資料浦東新區高二（上）期末考試數學試卷一、填空題1.三點不在同一直線上，則經過這三個點的平面有______個.【答案】1【解析】【分析】根據確定平面的方法即可.【解析】不在同一條直線上的三點確定一個平面.故答案為：1.2.現行國際比賽標準的乒乓球直徑是40毫米，在忽略材料厚度和制造誤差的情況下，則乒乓球的表面積大約為______平方毫米．（數值近似到0.01）【答案】【解析】【分析】利用球的表面積公式計算即可．【解析】由題意知．故答案為：．3.以下論述描述正確的是______.（請填寫對應序號）①隨機現象是不可重復的；②隨機現象出現某一結果的可能性大小都是不可測的；③概率就是描述隨機現象中某些結果出現的可能性大小.【答案】③【解析】【分析】根據隨機現象的性質即可逐一求解.【解析】對于①，隨機現象是可以重復的，比如拋一枚硬幣多次，可以重復出現正面朝上，故錯誤，對于②,比如拋一枚骰子，出現1點朝上的可能性顯然小于偶數點朝上的可能性，故錯誤，對于③,概率就是描述隨機現象中某些結果出現的可能性大小，正確，故答案為：③4.甲和乙下中國象棋，若甲獲勝的概率為0.4，甲不輸的概率為0.9，則甲、乙和棋的概率為______.【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接進行求解【解析】甲和乙下中國象棋，甲獲勝的概率為，甲不輸的概率為，甲乙和棋概率為：故答案為：.5.從裝有標號為1，2，3的三個球的袋子中依次取兩個球（第一次取出的球不再放回），觀察記錄兩個球標號（依次）的情況，則上述隨機試驗的樣本空間中的基本事件數量是______.【答案】6【解析】【分析】利用列舉法即可直接得出結果.【解析】設第一次取出的球標號為，第二次取出的球標號為，記基本事件為，，則所有的基本事件為，共6個.所以上述隨機試驗的樣本空間中的基本事件數量是6.故答案為：66.已知正方體，點為線段上的點，則滿足平面的點的個數為______.【答案】1【解析】【分析】根據面面垂直的性質定理及在一個平面內過一點作已知直線的垂線的唯一性可得結果.【解析】在正方體中，面，所以平面面，且平面面，連接，交于P，則有,即，由面面垂直的性質定理有平面，又在平面內過點作直線的垂線有且僅有一條，故垂足點P有且僅有一個，故答案為：1.7.若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為______.【答案】##【解析】【分析】利用球的截面小圓性質，求出求半徑及體積.【解析】依題意，球的半徑，所以球的體積.故答案為：8.中國17歲射擊運動員黃雨婷在2023年杭州亞運會上以頑強作風和精湛技藝為中國代表團摘得三枚金牌，展現了奮發向上、勇攀高峰的精神面貌.以下是她在女子10米氣步槍個人項目決賽最后淘汰賽階段14次射擊取得的成績（單位：環）123456789101112131410.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6則該組數據的方差是______.（近似到0.001）【答案】【解析】【分析】由題意中表格中的數據求出平均數，結合方差公式計算即可求解.【解析】由題意知，平均數為，則方差為.故答案為：0.0329.在正方體八個頂點中任取兩點，則這兩個點所確定的直線與正方體的每個面都相交的概率是______.【答案】【解析】【分析】結合概率公式與組合數的計算即可得.【解析】只有體對角線和每個面都相交，體對角線共有條，正方體八個頂點中任取兩點共有種取法，則其概率為.故答案為：.10.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張.設A：出現偶數，B：出現3的倍數.若“A，B兩個事件至少有一個發生”的對立事件是C，則事件C對應的子集是______.【答案】【解析】【分析】根據事件的關系即可求解，結合子集的定義求解.【解析】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有包含的基本事件有,事件包含的基本事件有則事件C對應的子集是.故答案為：.11.兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6，兩人各投一次，假設事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是______.【答案】【解析】【分析】正難則反，先求其對立事件的概率，即兩人都未命中的概率即可.【解析】記事件“甲和乙至少一人命中”，則其對立事件為“甲和乙兩人都未命中”，由相互獨立事件同時發生概率乘法公式得，，所以.故答案為：.12.如圖，在正四棱柱中，分別是棱的中點，直線過點．①存在唯一的直線與直線和直線都相交；②存在唯一的直線與直線和直線所成的角都是；③存在唯一的直線與直線和直線都垂直；以上三個命題中，所有真命題的序號是______.【答案】①③【解析】【分析】根據異面直線的性質以及夾角即可結合選項求解.【解析】對于①，若直線與直線相交，則直線在平面內，若直線與直線相交，則直線在平面內，因此直線為平面與平面的交線，因此只有一條；對于②，直線和直線所成角為，其補角為，，故應該是三條直線；對于③，異面直線的公垂線有且只有一條，過點作與公垂線平行的直線即可；故答案為：①③.二、單選題13.某校有學生1800人，為了解學生的作業負擔，學校向學生家長隨機抽取了1000人進行調查，其中70%的家長回答他們孩子每天睡眠時間大致在6-7小時，28%的家長回答他們孩子回家做作業的時間一般在3-4小時，下列說明正確的是（）.A.總體是1000 B.個體是每一名學生C.樣本是1000名學生 D.樣本容量是1000【答案】D【解析】【分析】根據總體、個體、樣本和樣本容量的概念依次判斷選項即可.【解析】A：總體是1800學生每天睡眠時間和作業時間，故A錯誤；B：個體是每一名學生每天睡眠時間和作業時間，故B錯誤；C：樣本是1000名學生每天睡眠時間和作業時間，故C錯誤；D：樣本容量是1000，故D正確.故選：D.14.下列命題中，為假命題的是（）A.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行B.垂直于同一個平面的兩條直線平行C.是空間兩條直線，若且，則D.若直線垂直于平面內的兩條相交直線，則直線垂直于平面【答案】C【解析】【分析】根據空間中的點線面的關系即可求解.【解析】對于A，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，正確；對于B，垂直于同一個平面的兩條直線平行，正確；對于C，是空間兩條直線，若且，則或者異面，故C錯誤；對于D，根據線面垂直的判定定理即可知D正確.故選：C15.某同學將觀察學校柚子樹生長習性作為自主研究課題，他觀察了校園內6株柚子樹成熟結果個數（兩位數）并用莖葉圖（如圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結果個數的中位數為（）A.21 B.21.5 C.22 D.22.5【答案】B【解析】【分析】利用中位數的定義，結合莖葉圖列式計算即得.【解析】由莖葉圖知，這6株柚子樹成熟結果個數的中位數為.故選：B16.如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內水面的高為1厘米，若將圓錐容器倒置，水面高為，下列選項描述正確的是（）A.的值等于1 B.C.的值等于2 D.【答案】D【解析】【分析】設圓錐形容器的底面積為S，由相似的性質可得未倒置前液面的面積為，根據圓錐的體積公式求出水的體積；再次利用相似的性質表示出倒置后液面面積，由水的體積建立關于的方程，解之即可求解.【解析】設圓錐形容器的底面積為S，未倒置前液面的面積為，則，所以，則水的體積為；設倒置后液面面積為，則，則水的體積為，解得.故選：D.三、解答題17.如圖，已知圓柱底面半徑為2，母線長為3，（1）求該圓柱的體積和表面積（2）直角三角形繞旋轉一周，求所得圓錐的側面積【答案】（1）體積為，表面積為；（2）【解析】【分析】（1）由圓柱體積公式可得體積，由側面積公式先求側面積，表面積為側面積加上兩個底面積可得；（2）先求圓錐母線長，再由側面積公式可得.【小問1解析】圓柱的底面半徑，母線長，即高，體積，表面積.【小問2解析】由題意，圓錐母線，所得圓錐的側面積為.18.（1）骰子是每一面上分別標注數字圓點1，2，3，4，5，6且質地均勻小正方體，常被用來做等可能性試驗，習慣上總是觀察朝上的面和點數，請寫出下列隨機試驗的樣本空間；①單次擲一顆骰子，觀察點數；②先后擲兩顆骰子，觀察點數之和為7且第二次點數大于第一次點數的可能結果；（2）擲一顆骰子，用分別表示事件“結果是偶數”與事件“結果不小于3”.請驗證這兩個隨機事件是否獨立，并請說明理由.【答案】（1）；②；（2）相互獨立，理由見解析【解析】【分析】（1）列舉法即可求解，（2）根據乘法公式驗證即可判定是否獨立.【解析】（1）①；②.（2），，則事件是相互獨立的.19.如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）在線段上是否存在一點，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，1【解析】【分析】（1）根據線線平行可得異面直線所成的角，根據三角形的邊角關系即可求解，（2）根據幾何法求解線面角，利用三角形的邊角關系即可求解.【小問1解析】因為正方形，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，因為三角形是等邊三角形，則平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．【小問2解析】作交于點，連接，平面，平面，則與平面所成的角為，設，則，則.20.如圖，在長方體中，.（1）求二面角的正切值；（2）設三棱錐的體積為，是否存在體積為（為正整數），且十二條棱長均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長和為24，若存在，求出該直四棱柱底面菱形的內角的大小；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，答案見解析【解析】【分析】（1）過作，根據題意，證得，得到為二面角的平面角，在直角中，即可求解；（2）求得三棱錐的體積為，結合題意，得到每條棱的長度為2，設底面菱形的一個角為，得到直四棱柱的體積為，進而求得，從而得解.【小問1解析】過作交于，連接，因為為長方體，可得平面，又因為在底面的投影為且，所以，所以即為二面角的平面角，在直角中，可得，在直角中，可得，所以二面角的正切值為.【小問2解析】三棱錐的體積為，因為十二條棱長均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長和為24，則每條棱的長度為2，設直四棱柱的底面菱形的一個角為，則底面積為，則直四棱柱的體積為，可得，當時，，可得；當時，，可得；當時，，可得；當時，此時，無解，綜上可得，當時，；當時，；當時，；當時，不存在.21.年月日至月日在國家會展中心舉辦中國國際進口博覽會期間，為保障展會的順利進行，有、兩家外賣公司負責為部分工作者送餐.兩公司某天各自隨機抽取名送餐員工，統計公司送餐員工送餐數，得到如圖頻率分布直方圖；統計兩公司樣本送餐數，得到如圖送餐數分布莖葉圖，已知兩公司樣本送餐數平均值相同.（1）求的值（2）求、的值（3）為宣傳道路交通安全法，并遵循按勞分配原則，公司決定員工送餐份后，每多送份餐對其進行一次獎勵，并制定了兩種不同獎勵方案：方案一：獎勵現金紅包元.方案二：答兩道交通安全題，答對題獎勵元，答對題獎勵元，答對題獎勵元.員工每一道題答題相互獨立且每題答對概率為與該員工交通安全重視程度相關）.求下表中的值（用表示）；從員工收益角度出發，如何選擇方案較優？并說明理由.附：方案二綜合收益滿足公式，為該員工被獎勵次數.方案二獎勵元元元概率【答案】（1）（2），（3），答案見解析【解析】【分析】（1）根據兩公司樣本送餐數平均值相同，可得出關于的等式，解之即可；（2）在公司中，送餐數在區間和送參數在區間的員工人數之比為，結合頻