參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A2023級高一上學期期末校際聯合考試數學試題2024.02考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2.若命題：“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，3.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.4.若命題“，”是真命題，則實數取值范圍是（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.7.中國夢蘊含航天夢，航天夢助力中國夢.2023年10月25日，神舟十七號載人飛船在酒泉衛星發射中心成功點火發射．在太空站內有甲，乙，丙三名航天員依次出倉進行同一試驗，每次只派一人，每人最多出倉一次．若前一人試驗不成功，返倉后派下一人重復進行該試驗；若試驗成功，終止試驗．已知甲，乙，丙各自出倉試驗成功的概率分別為，，，每人出倉試驗能否成功相互獨立，則該項試驗最終成功的概率為（）A. B. C. D.8.已知函數，若函數所有零點的乘積為1，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中既是奇函數，又是增函數的是（）A. B.C. D.10.若實數，，滿足且，，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.11.一個袋子中有標號分別為1，2，3，4的4個小球，除標號外無差異．不放回地取兩次，每次取出一個．事件“兩次取出球的標號為1和4”，事件“第二次取出球的標號為4”，事件“兩次取出球的標號之和為5”，則（）A. B.C.事件與不互斥 D.事件與相互獨立12.對，表示不超過的最大整數，如，，，通常把，叫做取整函數，也稱之為高斯（Gaussian）函數．下列說法正確的是（）A.，B.，C，若，則D.，使成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，，…，的平均數是10，則，，，的平均數是______．14.已知函數，若，則實數的值為______．15.如圖所示，直線與對數函數的圖象交于，兩點，經過的線段垂直于軸，垂足為．若四邊形是平行四邊形，且周長為16，則實數的值為______．16.設表示函數在閉區間上的最大值．若正實數滿足，則正實數的取值范圍為______．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求的取值范圍．18.已知冪函數為偶函數．（1）求的解析式；（2）若在上是單調函數，求實數的取值范圍．19.1981年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上，確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年9月第二個星期日舉行“全國高中數學聯合競賽”，競賽分為一試（滿分120分）和二試（滿分180分），在這項競賽中取得優異成績的學生有資格參加由中國數學會奧林匹克委員會主辦的“中國數學奧林匹克暨全國中學生數學冬令營”，已知2023年某地區有50名學生參加全國高中數學聯賽，其取得的一試成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求實數值并估計這50名學生一試成績的70%分位數；（2）若一試成績在100分及以上試卷需要主委會抽樣進行二次審閱，評審員甲在這50名學生一試成績中按照分層抽樣的原則從和內抽取3份試卷進行審閱，已知同學的成績是105分，同學的成績是111分，求這兩位同學的試卷同時被抽到的概率．20.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍．21.2023年10月29日，日照馬拉松鳴槍開跑，全國各地20000多名跑友相聚日照最美賽道．從森林跑向大海，用腳步丈量山與海的距離，共同為夢想而奔跑．為了進一步宣傳日照馬拉松，某贊助商開發了一款紀念產品，通過對這款產品的銷售情況調查發現：該產品在過去的一個月內（以30天計）的日銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數關系近似滿足，該商品的日銷售量（單位：個）與時間部分數據如下表所示：（天）51015202530（個）205210215220215210（1）給出以下三種函數模型：①，②，③，請你根據上表中的數據，從中選擇最合理的一種函數模型來描述該商品的日銷售量與時間的關系，并求出該函數的解析式；（2）求該商品的日銷售總收入（單位：元）的最小值（注：日銷售總收入＝日銷售價格×日銷售量）．22.已知函數，．（1）若，求最小值；（2）令，，若對于定義域內任意的，，當時，都有，求實數的取值范圍．參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A2023級高一上學期期末校際聯合考試數學試題2024.02考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束，將試題卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由交集的概念即可求解.【詳解】由題意集合，，則.故選：B.2.若命題：“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題求解即可.【詳解】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，若命題：“，”，則為“，”，故選：C.3.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析給定函數的單調性，再利用零點存在性定理判斷即得.【詳解】函數在R上單調遞增，而，所以函數的零點所在的區間為.故選：A4.若命題“，”是真命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據全稱命題為真命題可得，即可求得實數m的取值范圍.【詳解】由“，”是真命題可知，不等式，恒成立，因此只需，，易知函數在上的最小值為1，所以.即實數m的取值范圍是.故選：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】對化簡，結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】不等式可化為，即，即，解得，因為“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6.若，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由可得，，，由，得，，在同一個平面直角坐標系作出，和的圖象，結合圖象可得結果.【詳解】因為，而當時，，當時，，所以，因為，而當時，，所以，因為，而當時，，所以，由，得，，所以為和圖象交點的橫坐標，為和圖象交點的橫坐標，在同一個平面直角坐標系作出，和的圖象，如圖所示，由圖可得綜上，故選：A7.中國夢蘊含航天夢，航天夢助力中國夢.2023年10月25日，神舟十七號載人飛船在酒泉衛星發射中心成功點火發射．在太空站內有甲，乙，丙三名航天員依次出倉進行同一試驗，每次只派一人，每人最多出倉一次．若前一人試驗不成功，返倉后派下一人重復進行該試驗；若試驗成功，終止試驗．已知甲，乙，丙各自出倉試驗成功的概率分別為，，，每人出倉試驗能否成功相互獨立，則該項試驗最終成功的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對立事件的概率結合獨立事件概率乘法求解.【詳解】設試驗任務不成功的的概率是，所以成功的概率為，故選：D.8.已知函數，若函數所有零點的乘積為1，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數的圖象，利用換元，令，將原問題轉化為的所有解的乘積為1，結合函數圖象，分類討論，即可求得答案.【詳解】由題意，作出函數的圖象如圖：令，則函數，即，即，即，由題意函數所有零點的乘積為1，可知的所有解的乘積為1，而的解可看作函數的圖象與直線的交點的橫坐標；結合的圖象可知，當時，函數的圖象與直線有2個交點，不妨設交點橫坐標為，則，且，即，符合題意；當時，函數的圖象與直線有3個交點，其中最左側交點的橫坐標小于等于0，則的所有解的乘積小于等于0，不合題意；當時，函數的圖象與直線有2個交點，不妨設交點橫坐標為，則，且，即，符合題意；綜合以上可知實數的取值范圍為，故選：B【點睛】方法點睛：（1）轉化法：利用換元法，令，將函數所有零點的乘積為1，轉化為的所有解的乘積為1；（2）數形結合法：作出函數的圖象，數形結合，分類討論，解決問題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數中既是奇函數，又是增函數的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由冪函數、指數函數、對數函數的奇偶性與單調性直接判斷即可.【詳解】對于A，，既是奇函數，又是增函數，符合題意；對于B，，為增函數，不是奇函數，不符合題意；對于C，定義域為，非奇非偶函數，是增函數，不符合題意；對于D，，為冪函數，既是奇函數，又是增函數，符合題意；故選：AD10.若實數，，滿足且，，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于AD，舉例判斷，對于B，利用不等式的性質分析判斷，對于C，利用作差法分析判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，因為，所以，因為，所以，所以B正確，對于C，因為，，，所以，，所以，所以，所以C正確，對于D，若，則，所以D錯誤，故選：BC11.一個袋子中有標號分別為1，2，3，4的4個小球，除標號外無差異．不放回地取兩次，每次取出一個．事件“兩次取出球的標號為1和4”，事件“第二次取出球的標號為4”，事件“兩次取出球的標號之和為5”，則（）A. B.C.事件與不互斥 D.事件與相互獨立【答案】BCD【解析】【分析】先利用古典概率公式分別計算，，，，，再利用互斥事件的定義和相互獨立事件的概率公式逐一判斷四個選項即可得正確選項.【詳解】設采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次取出一個球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個，事件發生包含的基本事件有：，有個，事件發生包含的基本事件有：，，有3個，所以，故A錯誤；事件發生包含的基本事件：，，，有4個，，事件發生包含的基本事件：有個，，故B正確；事件發生包含的基本事件：，有2個，故事件與不互斥，故C正確；事件發生包含的基本事件：有個，，因為，所以與相互獨立，故選項D正確；故選：BCD.12.對，表示不超過的最大整數，如，，，通常把，叫做取整函數，也稱之為高斯（Gaussian）函數．下列說法正確的是（）A.，B.，C.，若，則D，使成立【答案】BCD【解析】【分析】舉出反例可判斷A，舉例可判斷B，設，則，，求出的范圍可判斷C；根據取值特征可判斷D.【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，設，則，故B正確；對于C，設，則，，則，所以，故C正確；對于D，時，，當時，，當時，，當時，，當時，，由，可得時，成立，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是對新定義的理解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，，…，的平均數是10，則，，，的平均數是______．【答案】21【解析】【分析】根據平均數的性質求解即可【詳解】因為，，…，的平均數是10，所以，所以數據的平均數，故答案為：21.14.已知函數，若，則實數的值為______．【答案】3【解析】【分析】根據分段函數的定義，分別在和范圍內求出使時實數的值即可.【詳解】當時，，解得（舍）；當時，，解得或（舍），所以實數的值為3，故答案為：3.15.如圖所示，直線與對數函數的圖象交于，兩點，經過的線段垂直于軸，垂足為．若四邊形是平行四邊形，且周長為16，則實數的值為______．【答案】【解析】【分析】先利用平行四邊形以及平行關系，得到E和B點的坐標，再利用四邊形周長，求出a即可.【詳解】設，，由題意，軸，從而，而OABC是平行四邊形，從而，故，又E為AC中點，從而有，而EBO三點共線，即，即解得，即，所以，，從而，，

從而四邊形周長，故故答案為：.16.設表示函數在閉區間上的最大值．若正實數滿足，則正實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】首先畫出函數的圖象，由圖象分析，可知，即可計算的值；因為，可知，首先求出的的實數根，根據圖象判斷，列式求的取值范圍.【詳解】函數的圖如下：的對稱軸為，；當時，，分類討論如下：①當時，，,依題意，，而函數在時是增函數，此時，，故不可能；②當時，，依題意，，即，令，解得：，則有：并且，解得：；或者并且，無解；綜上：故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數新定義，以及數形結合分析問題的能力，本題的關鍵是根據圖象，判斷，并結合條件判斷，再根據數形結合列式，即可解決.四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”充分條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）解不等式得到，再根據并集概念求出答案；（2）根據題意得到是的子集，從而得到不等關系，求出答案.【小問1詳解】不等式的解集是，所以．當時，，故；【小問2詳解】因為“”是“”的充分條件，所以是的子集，故，解得，即18.已知冪函數為偶函數．（1）求的解析式；（2）若在上是單調函數，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據函數為冪函數且為偶函數得且為偶數，從而可求出，進而可求出的解析式；（2）求出的對稱軸，然后由在上是單調函數，得或，從而可求出實數的取值范圍.【小問1詳解】由題意，解得或3，若是偶函數，代入檢驗可得，故；【小問2詳解】，對稱軸是，若在上是單調函數，則或，解得或．所以實數的取值范圍為或．19.1981年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上，確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年9月第二個星期日舉行“全國高中數學聯合競賽”，競賽分為一試（滿分120分）和二試（滿分180分），在這項競賽中取得優異成績的學生有資格參加由中國數學會奧林匹克委員會主辦的“中國數學奧林匹克暨全國中學生數學冬令營”，已知2023年某地區有50名學生參加全國高中數學聯賽，其取得的一試成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求實數的值并估計這50名學生一試成績的70%分位數；（2）若一試成績在100分及以上的試卷需要主委會抽樣進行二次審閱，評審員甲在這50名學生一試成績中按照分層抽樣的原則從和內抽取3份試卷進行審閱，已知同學的成績是105分，同學的成績是111分，求這兩位同學的試卷同時被抽到的概率．【答案】19.，70%分位數為91；20..【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，即可求得m的值；根據由頻率分布直方圖估計百分位數的方法即可求得這50名學生一試成績的70%分位數；（2）根據直方圖確定和內的人數，由分層抽樣原則可得各組抽取人數，列舉出所有的可能的事件，根據古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問1詳解】由上表可知，，解得，設這50名學生一試成績的70%分位數為，由于前三個矩形面積，前四個矩形面積，故得，，解得，即這50名學生一試成績的70%分位數約為91．【小問2詳解】由圖知，成績在有人，成績在有人，根據分層抽樣的原則，成績在抽2份，成績在抽1份，設，，，四位同學的成績在，，兩位同學的成績在，根據分層抽樣的原則有，，，，，，，，，，，共12個樣本，符合條件的，，共3個樣本，所以符合條件的概率為，即，兩位同學的試卷都被抽到的概率為．20.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，從而求出的解集；（2）換元后得到對于能成立，利用函數單調性求出，得到答案.【小問1詳解】，令，則原不等式可化為，解得，即所以，不等式的解集．【小問2詳解】當時，令，可得，原不等式可化為對于能成立，即可得對于能成立，由對勾函數性質可知在上單調遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是．21.2023年10月29日，日照馬拉松鳴槍開跑，全國各地20000多名跑友相聚日照最美賽道．從森林跑向大海，用腳步丈量山與海的距離，共同為夢想而奔跑．為了進一步宣傳日照馬拉松，某贊助商開發了一款紀念產品，通過對這款產品的銷售情況調查發現：該產品在過去的一個月內（以30天