浙江省余姚市2023-2024學年高二上學期期末考試數學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經過A?1,2A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知圓C1：x2+y2A．內切 B．相交 C．外切 D．外離3．在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，A．?1,12,1 B．1,12,14．雙曲線x2A．2 B．2 C．6 D．25．已知函數f(x)=cosx+sinA．-3 B．0 C．-2 D．26．把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E為AB的中點，F為CD的中點，O是原正方形ABCD的中心，則折紙后∠EOF的余弦值大小為（）A．?66 B．?32 C．7．數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列1，1，2，3，5，8?其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即a1=aA．a101=aC．a101=a8．設橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F?c,0，點A3c,0在橢圓外，PA．?12 B．?34 C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列說法中正確的是（）A．直線x+y+1=0在y軸上的截距是1B．直線mx+y+m+2=0m∈R恒過定點C．點0,0關于直線x?y?1=0對稱的點為1,?1D．過點1,2且在x軸?y軸上的截距相等的直線方程為x+y?3=010．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關于整除的問題.現將1到500這500個數中能被2除余1且被3除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列an，其前n項和為SA．a10=55 C．S10=280 D．數列11．已知拋物線C：y=?18x2的焦點為F，點PxA．拋物線C的準線方程為y=2B．PA+C．當x0=4時，則拋物線C在點PD．過AF的直線交拋物線C于M,N兩點，則弦MN的長度為1612．已知x2A．lnx+y+1<0 C．x+y>?sinx?siny D．cosx?cosy>三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知a=1,1,1,b14．已知正項等比數列an，a1=1，且a2，a4，15．若直線l與單位圓和曲線x24?y216．已知函數fx=e2x+四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數fx=13x3?2ax2（1）求a的值；（2）求函數fx18．已知△ABC的三個頂點A?3,2，B2,1，（1）求BC邊上中線AD所在直線的方程；（2）已知點Px,y滿足S△PBC=4，且點P在線段AC19．已知數列an的首項a1=1（1）證明：數列1a（2）若1a1+20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是邊長為2的正三角形，BC=1，AD=3，PE=λ（1）若CE∥平面PAB，求λ的值；（2）若λ=14，求平面ABE與平面21．已知函數f(x)=（1）討論fx（2）當a<0，證明：f(x)≤?322．已知橢圓E：x2a2（1）求橢圓E的方程；（2）過點?3,2的直線l與橢圓E交于B,C兩點，直線AB,AC分別與x軸交于M,N兩點，求證：MN中點為定點．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：設直線的傾斜角為α，因為直線經過A?1,2所以經過A,B兩點的直線的斜率為k=3?23又因為0°≤α<180故答案為：D.【分析】由題意，根據兩點斜率公式，結合傾斜角與斜率的關系求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：易知圓C1的圓心，半徑分別為C圓C2的圓心，半徑分別為C21,1因為r1故答案為：B.【分析】根據已知條件，先求兩圓的圓心和半徑，再計算圓心距，結合圓心距與半徑和、差的大小關系判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意，作出平行六面體ABCD-A則BE→即x,y,z=故答案為：A.【分析】由題意，作出圖形，由空間向量的線性運算求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：雙曲線x22-y2不妨取焦點6,0，漸近線2x-y=0，則焦點到漸近線的距離為故答案為：B.【分析】根據雙曲線方程求出焦點坐標和漸近線方程，再根據點到直線的距離公式求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：函數f(x)=cosx+sin2x，求導可得故答案為：A.【分析】先求導，再代值求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：連接DO，則DO⊥AC，過點F作FH⊥AC，垂足為H，連接FH,EH，如圖所示：因平面DAC⊥平面ABC，且平面DAC∩平面ABC=AC，FH?平面DAC，

所以FH⊥平面ABC，又EH?平面ABC，則FH⊥EH.設正方形ABCD的邊長為4，

則AC=42,DO=2在△AEH中，由余弦定理可得：EH在Rt△EFH中，EF=EH2設∠EOF=θ，在△EOF中，由余弦定理：cosθ=故答案為：C.【分析】連接DO，則DO⊥AC，過點F作FH⊥AC，垂足為H，連接FH,EH，構造Rt△EFH，分別求FH,EH，易得FH，利用余弦定理求EH即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、a101B、a=2=2aC、a=?=aD、a=2=2=?=2a故答案為：D.

【分析】根據“斐波那契數列”的定義以及數列求和逐項判斷即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：記橢圓的右焦點為E，連接PE，QF，如圖所示：由題意可知，點F?c,0為橢圓Γ因為點A3c,0、Ec,0，易知點E為線段AF的中點，又因為P為AQ的中點，所以取線段PQ的中點M，連接OM，則APPM所以OM//PE，則OM//QF，所以kOM設點Px1,y1所以x12a2+所以kOM因為橢圓Γ的離心率為e=ca=所以kOMkPQ故答案為：B.【分析】記線段PQ的中點M，連接OM，取右焦點E，連接PE，推導出OM//QF，可得出kOMkPQ=k9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、直線x+y+1=0，令x=0，求得y=?1，則直線x+y+1=0在y軸上的截距是-1，故A錯誤；B、由mx+y+m+2=0，可得m(x+1)+y+2=0，因為m∈R，所以x+1=0y+2=0，

解得x=-1y=-2，故直線mx+y+m+2=0m∈RC、設A(0,0),B(1,?1)，易知kAB=-1-01-0=-1，直線l:x?y?1=0的斜率為1，則AB⊥l，又因為A,B的中點12，-12D、過點1,2且在x軸?y軸上的截距相等的直線為y=2x或x+y?3=0，故D錯誤.故答案為：BC.【分析】由題意，令x=0，解y，即可判斷A；把直線方程化成關于參數m的方程，依題得到x+1=0y+2=010．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：1到500這500個數中能被2除余1的數有：1，3，5，7……499，1到500這500個數中能被3除余1的數有：1，4，7……499，由題意現將1到500這500個數中能被2除余1且被3除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成首項為1，末項為499，公差為6的等差數列，所以an所以a10=55，a8?a故答案為：ACD.

【分析】由題意得現將1到500這500個數中能被2除余1且被3除余1的數按從小到大的順序排成一列，則它們構成首項為1，末項為499，公差為6的等差數列，由此即可逐一判斷每一個選項.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、易知拋物線標準方程為C：x2=?8y，則準線方程為B、過點P向準線作垂線，設垂足為點B，過點A向準線作垂線，設垂足為點C，如圖所示：則PA+PF=PA+PB≥AC=5C、切點為4,?2，且切線斜率存在，所以設切線方程為y+2=kx?4聯立拋物線方程得x2+8kx?32k?16=0，所以Δ=64所以當x0=4時，則拋物線C在點P處的切線方程為D、由題意A1,?3,F0,?2所以直線AF:y+2=?x，即AF:x+y+2=0，聯立拋物線方程得x2由韋達定理可得xM+x故答案為：ABD.【分析】化拋物線方程為標準方程即可判斷A；由拋物線定義結合三角形三邊關系即可判斷B；設出切線方程（斜率為參數），聯立拋物線方程由判別式為0即可驗算判斷C；聯立AF方程和拋物線方程，結合韋達定理、焦點弦公式即可判斷D.12．【答案】B,C【解析】【解答】解：因為x2?y2<ex?e?y，即x2?ex<?y2?e?y．令fx=x2?ex，則有fx<f?y，

則f'x=2x?ex，令gx=2x?ex，則g'x=2?ex，

令g'x=2?ex=0，可得x=ln2，

當x∈?∞，ln2時，g'x>0，函數gx單調遞增，

當x∈ln2，+∞時，g'x<0，函數gx單調遞減，

故gxmax=gln2=2ln2?2<0，

所以總有f'x<0，故fx單調遞減；所以x>?y，即x+y>0；

A、lnx+y+1>ln1=0，故A錯誤；

B、設hx=ex?x2?1x>0，則h'x=ex?2x=?f'x>0，

故hx在0，故答案為：BC.【分析】由題意，構造函數fx13．【答案】3,0,1【解析】【解答】解：因為a=1,1,1,故答案為：3,0,1.【分析】由題意，根據空間向量線性運算的坐標表示計算即可.14．【答案】1【解析】【解答】解：設正項等比數列an的公比為q因為a2，a4，-a3成等差數，所以2a所以數列an的通項公式為an=故答案為：12【分析】設正項等比數列an的公比為qq>0，由a2，a4，-a3成等差數列可得2a15．【答案】y=±2【解析】【解答】解：由題意，可知直線的斜率存在，設直線方程為：y=kx+b，聯立y=kx+bx2+因為直線與單位圓相切，所以Δ1=4k聯立y=kx+bx24因為直線與曲線相切，所以Δ2=64k由b2=1+k2b2=4k2?3，解得b2=73,k2=16．【答案】1,+∞【解析】【解答】解：函數fx=e2x+1?2ae當a≤0時，f'(x)>0，fx在R當a>0時，由f'x<0，解得：x<lna，由f'x>0，解得：x>ln所以當x=lna時，fx令ha=1?a?lna，a∈0,+∞，則h'又h1=0，所以要使fxmin<0又因為f?1所以fx在?又f令gx=x?1?lnx，x∈3,+∞，則g'因為a>1，所以3a>3，所以g3a=3a?1?ln所以fx在ln綜上所述，a的取值范圍是1,+∞．

故答案為：【分析】先求函數的定義域，再求導，對導函數中的參數a進行分類討論，在a>0時，通過判斷函數fx的單調性求得其最小值，依題需使fxmin<0推得a>1；接著分段說明函數fx17．【答案】（1）解：函數fx=13x3?2ax2+3x定義域為R，f'x=x2（2）解：由（1）可得f'x=x2?4x+3=x?1x?3，

令f'x>0，解得x>3或x<1，令fx?11,333,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗故x=1時函數取極大值，極大值為f1=43，【解析】【分析】（1）求導，由題意可得f'（2）由（1）可得f'（1）f'∵在點A?1,f?1處的切線平行于直線∴f'?1=4a+4=8，（2）由（1）可得f'令f'x>0得x>3x?11,333,+f+0?0+f↗極大值↘極小值↗∴極大值為f1=418．【答案】（1）解：由題意BC中點D0,?1所以AD所在直線的斜率k=2?所以AD所在直線的方程為y+1=?x，即BC邊中線AD所在直線的方程x+y+1=0；（2）解：因為B2,1，C?2,?3，所以kBC=?3?1?2?2=1，所以直線BC設點P到直線BC的距離d，則由題意S△PBC所以點P到直線BC的距離d=x?y?1則點P所在直線方程為x?y+1=0或x?y?3=0，因為A?3,2，C所以kAC=?3?2?2??3所以線段AC的中垂線為y+12=所以聯立x?y+1=0y=15所以點P的坐標為：?54,?【解析】【分析】（1）先求B，C的中點坐標，根據兩點斜率公式求AD所在直線的斜率，結合點斜式化簡求解即可；（2）由兩點間距離公式求BC=42，直線BC的方程為x?y?1=0，結合S△PBC=4以及點到直線的距離公式得點P所在直線方程為x?y+1=0或（1）由題意BC中點D0,?1所以AD所在直線的斜率k=2?所以AD所在直線的方程為y+1=?x，即BC邊中線AD所在直線的方程x+y+1=0；（2）因為B2,1，C?2,?3，所以kBC=?3?1?2?2=1，所以直線BC設點P到直線BC的距離d，則由題意S△PBC所以點P到直線BC的距離d=x?y?1則點P所在直線方程為x?y+1=0或x?y?3=0，因為A?3,2，C所以kAC=?3?2?2??3所以線段AC的中垂線為y+12=所以聯立x?y+1=0y=15所以點P的坐標為：?54,?19．【答案】（1）證明：易知an各項均為正，對an+1=因為1a1?12=1（2）解：由（1）知1a所以fn顯然fn且f(4046)=2024?1所以n的最大值為4046.【解析】【分析】（1）對an+1（2）由分組求和以及等比數列求和公式得前n項和，結合其單調性求解即可.（1）易知an各項均為正，對a即1a因為1a所以數列1an?12（2）由（1）知1a所以fn顯然fn且f(4046)=2024?1所以n的最大值為4046.20．【答案】（1）解：分別取AB,CD中點O,F，連接PO,OF，

由已知底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，PA=PB，

易得OF⊥AB,PO⊥AB，

因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，

又因為OF?平面ABCD，所以PO⊥OF，

以O為中心，以OB,OF,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則P0,0,3,A?1,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D?1,3,0,F0,2,0，

因為PE=λPD0<λ<1，

所以CE=CP+（2）解：若λ=14，則由（1）CE=CP+所以AB=設m=a,b,c,n=所以m→·AB令c=?1,x=1，解得a=0,b=3則m=設平面ABE與平面PCD的夾角為α，故cosα=即平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值為1020【解析】【分析】（1）以O為中心，以OB,OF,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由向量的線性運算得CE=CP+PE=?1?λ,3λ?1,3（2）由（1）的結論，求出兩平面的法向量，利用空間向量，利用夾角余弦公式求解即可.（1）分別取AB,CD中點O,F，連接PO,OF，由已知底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，PA=PB，易得OF⊥AB,PO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?面PAB，∴PO⊥平面ABCD，又因為OF?平面ABCD，所以PO⊥OF，以O為中心，以OB,OF,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則P0,0,∵PE=λ∴CE=顯然OF=0,2,0是平面若CE∥平面PAB，則CE?OF=2（2）若λ=14，則由（1）CE=所以E?所以AB=設m=a,b,c,n=所以2a=034a+令c=?1,x=1，解得a=0,b=3則m=設平面ABE與平面PCD的夾角為α，故cosα=即平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值為102021．【答案】（1）解：函數f(x)=lnx+a求導可得f'①當a≥0時，f'x>0，f②當a<0時，當x∈0,?1a時，f'x當x∈?1a,+