第八章

DIBAZHANG

解析幾何

第一節(jié)直線的方程及應(yīng)用

考綱解讀考情分析核心素養(yǎng)

1.理解直線的幀斜角和斜率的概念?拿搽過(guò)兩點(diǎn)的立線斜率的

計(jì)算公式.考查角度:

2.掌握確定H線的幾何要案.主要考查直線方程的求法?直

3.掌握H線方慳的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)?了線的斜率、幀斜角及利用兩宜

1.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算：

解斜截不。一次函數(shù)的關(guān)系.線的平行、垂宜、交點(diǎn)跟離求

2.發(fā)屣邏輯推理.

4.能根據(jù)兩條汽線的斜率判斷這兩條立線平行或垂I'L.在線方程.

5,他川解h建組的方法求網(wǎng)相交在線的文點(diǎn)坐標(biāo).考查形式：選擇、填空題為fc.

6.學(xué)握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式?會(huì)求兩平行雉度:中檔.

直線間的距離.

教材?知識(shí)?四基基固可以載物

教材細(xì)梳理

知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率

(1)定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/包上方向之間所成

的角叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與X軸巧或重僉時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

(2)范圍：直線/的傾斜角的范圍是10,無(wú)).

(3)直線的斜率

條件公式

直線的傾斜角少且0H90°^=tan_0

,V2~Vl

直線過(guò)點(diǎn)A(xi，yi),8(X2，聞且見(jiàn)大為k=L'

42—X1

(4)直線傾斜角和斜率的關(guān)系

①直線都有傾斜角，但不一定都有斜率.

②不是傾斜角越大，斜率k就越大，因?yàn)榕?tana,當(dāng)0,時(shí)，。越大，斜率左

就越大，同樣仔，。時(shí)也是如此，但當(dāng)問(wèn)0,")且a君"時(shí)就不是了.

(5)“截距”的實(shí)質(zhì)

“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，并不一定是“距

離”.

知識(shí)點(diǎn)2直線方程的幾種形式

直線方程的五種形式

名稱方程形式適用條件

點(diǎn)斜式

不能表示斜率不存在的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b

y—y\_x-x\

兩點(diǎn)式不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線

Y2~ytX2-X\

不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)

截距式a+b=i

原點(diǎn)的直線

AX+BY+C=0（A,8不同時(shí)

??般式可以表示所有類型的直線

為零）

知識(shí)點(diǎn)3兩條直線平行與垂直的判定

條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系

平行

兩條不重合的直線h，12,心與心都不存在

斜率分別為左，依>/=—1

垂直

ki與攵2一個(gè)為零、另一個(gè)不存在

知識(shí)點(diǎn)4兩條直線的交點(diǎn)

（1）交點(diǎn)：直線/i：Aix+8i），+G=0和/2：AM+&），+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組

Aix+Biy+G=0,

的解一一對(duì)應(yīng).

A求+&y+G=0

（2）相交O方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解.

（3）平行O方程組無(wú)解.

（4）重合臺(tái)方程組有無(wú)數(shù)組解.

知識(shí)點(diǎn)5三種距離

三種距離條件公式

兩點(diǎn)間的距離A3，ji）,8（必J2）H用=q（為一處）？+（力―V2）2

P（xo1州）到直線Ai+隗y（）土碗）土』

點(diǎn)到直線的距離布2+尸

By+C=0的距離為d

直線ALB），+G=0

.1CI-G1

兩平行線間的距離到直線Ar+B.y+C2=「樂(lè)奇

0的距離為d

思考1：直線/|〃/2是其斜率處=42的什么條件？

提示：既不充分又不必要條件.

思考2：直線八，/2是其斜率晶?幻=-1的什么條件？

提示：必要不充分條件.

四基精演練

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“或“X”）

（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（xo，泗）的直線都可以用方程y—）\）=k（x—M）表示.（）

（2）經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)PI（XI,yi）,Pi[x2,”）的直線都可以用方程（y-丁1）（及一為）=（不

—k）。2—yi）表示.（）

（3）已知直線/】：Aa+By+G=O,h：A?+B2），+02=0（4,8,G,A?,B?,C2為常數(shù)），

若直線l山2,則4A2+5歸2=0.（）

（4）/i：y=klx+blf/2：y=殳r+岳，當(dāng)&#依時(shí)，/i與6相交.（）

（5）過(guò)K：A述+Sy+G=0，/2"2x+32y+C2=0的交點(diǎn)的直線方程為Aix+Biy+G+"A>

+B2y+C2）=0（zeR）.（）

（6）點(diǎn)P（M，沖）到直線y=Ax+b的距離為隼。音.（）

71+公

答案：（1）X（2）7（3）V（4）V（5）X（6）X

2.（知識(shí)點(diǎn)1）直線Z：xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是（）仁|源自必修二P100T3

A坐B(niǎo).小

C.一/D.一乎

答案：A

3.（知識(shí)點(diǎn)5）點(diǎn)（1,—1）到直線x—），+1=0的距離是（）1源自必修二PK）8練習(xí)T2

A.^B.

C當(dāng)D.手

答案：D

4.（知識(shí)點(diǎn)2）過(guò)點(diǎn)（一1,2）且與直線2x—3y+4=0垂直的直線方程為（)

仁源自必修二Pio9A組Ts

A.3x+2y-l=0B.3x+2），+7=0

C.2r-3y+5=0D.2x—3y+8=0

答案：A

5.（知識(shí)點(diǎn)3）已知P（—2,M，6（m,4),且直線PQ垂直于直線4+)，+l=0,則m=

.7|源自必修二PioiA組Tio

答案：1

考點(diǎn)?考法?探究法熟可以生巧

考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率【基礎(chǔ)練通]

基礎(chǔ)題組強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.[一題多解]已知直線/：rb?os9+3=0(J￡R),則直線/的傾斜角a的取值范圍是

)

A.[0,n)B.傳，yj

弗暇D.信9G，等)

解析：選C.解法一：當(dāng)cos8=0時(shí)，a=-y,

當(dāng)cos8豐0時(shí)，斜率4=——

cosU

Vcos叫一1,0)U(0,1],

"￡(一8,-1]U[1,+oo).

Aoe[f-T)u(f-4n]-

綜上仔，1n],

解法二：選C.當(dāng)cos8=0時(shí)，直線方程為x+3=0,此時(shí)直線的傾斜角為―，排除B,

D.因?yàn)閤的系數(shù)為1,所以斜率&于0,故傾斜角aWO,排除A.故選C.

2.直線3x+小y+〃?=0(m為實(shí)常數(shù))的傾斜角的大小是.

解析:設(shè)直線的傾斜角為仇直線的斜率2=一小，即lan8=一小，所以傾斜角為120°.

答案：案0°

3.已知直線”+(。2+1?+1=0,則直線的傾斜角的取值范圍是()

c.&n）D.[f,y）ugn,”

解析：設(shè)直線的傾斜角為仇由題意得tan3一東，

/.0＞tan82—1,：?8邑n）.

答案：B

I方法技巧I

求直線斜率的幾種方法

1.求斜率可用女=tan其中a為傾斜角，斜率2是一個(gè)實(shí)數(shù)，每條直線都

存在唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率.傾斜角為方的直愛(ài)斜率不存在.

如圖，當(dāng)QG[O,今）時(shí)，隨a增大k單調(diào)遞增且220；當(dāng)侍，兀）時(shí)，隨。增大2

單調(diào)遞增且4V0.

2.求斜率可用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，女=咤々M#必）即力?的幾何意義表示兩點(diǎn)（》,y\）

X\—X2M—X2

與（%2,”）連線的斜率.

ACA

3.求斜率可用直線方程小?+By+C=0,當(dāng)BW0時(shí)，y=一百一后,故斜率女=一斤

4.擺動(dòng)直線的斜率范圍

如圖1,設(shè)直線d；2,/的斜率分別為卜，&2,&，且k〈b當(dāng)直線/在陰影區(qū)域擺動(dòng)時(shí),

k＜k\或k＞k2：當(dāng)直線/在非陰影區(qū)域擺動(dòng)時(shí)，MV&V心，這叫取邊關(guān)中法則.

總結(jié)成口訣：界線斜率先計(jì)算，九十度線是關(guān)維；包含此線取兩達(dá)，不含此線夾中間.

圖1

5.擺動(dòng)直線傾斜角的大小關(guān)系如圖2,若&2＞怎＞0＞匕＞依（斜率為尢，42,攵3,公的直

線分別對(duì)應(yīng)的傾斜角為內(nèi)，。2,。3,。4）,則冗＞四＞。3＞3＞。2＞。1＞0.

圖2

考點(diǎn)二求直線方程［探究變通］

［例I］求適合下列條件的直線方程：

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)4一小，3）,且傾斜角為直線小x+y+l=O的傾斜角的一半的直線方程為

解析：由于x+），+1=0得此直線的斜率為一小，所以傾斜角為120°,從而所求直線的

傾斜角為60°,

所以所求直線的斜率為小.

又直線過(guò)點(diǎn)A（一小，3）,

所以所求直線方程為），一3=小（%+小），

即小x—y+6=0.

答案：小工一），+6=0

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-5,2）,且在X軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程為

解析：①當(dāng)橫極距、縱微距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為），=",將（一5,2）代入y=

2

區(qū)中，得k=一予

2

此時(shí)直線方程為y=—~r,即2x+5y=O：

②當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，

設(shè)所求直線方程為1+2=1,將（一5,2）代入所設(shè)方程，

解得〃=一看此時(shí)直線方程為K+2Y+I=0.

綜上所述，所求直線方程為x+2），+l=0或2r+5y=0.

答案：x+2y+l=0或2x+5y=0

［母題變式］

1.若本例（1）變?yōu)椋阂粭l直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,一小），并且它的傾斜角等于直線的

傾斜角的2倍，則這條直線的一般式方程是.

解析：??,直線產(chǎn)右x的傾斜角a=30°,

所以所求直線的傾斜角為60°,

斜率&=tan60°=小.

又該直線過(guò)點(diǎn)A(2,一?

故所求直線方程為y—(一，5)=5(3—2),

即讓Ly_3小=0.

答案：y[3x-y—3yf3=0

2.若本例(2)變?yōu)椋哼^(guò)點(diǎn)4一5,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距和為0的直線方程為.

解析：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和為0,即斜率k=l或過(guò)原點(diǎn)，

若A=1,則直線方程為了一2=X+5,即x-y+7=0,

2-2

若過(guò)原點(diǎn)，則上=—予其方程為^=一開(kāi)，

即2x+5)，=0.

答案：x-y+7=0或2x+5y=0

3.若本例(2)變?yōu)椋呵筮^(guò)點(diǎn)4一5,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

解：①當(dāng)所求直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率人一宗

2

方程為y=一即2x+5y=0,

②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為"5=1,

有-機(jī)+[=1,，。=-3.

???所以所求直線方程為％+y+3=0.

綜上所述，所求首線的方程為2x+S)，=0或r+y+2=0.

I方法技巧I

求直線方程的兩種方法

1.直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程，選擇時(shí)，應(yīng)

注意各種形式的方程的適用范圍，必要時(shí)要分類討論.

2.待定系數(shù)法，具體步驟為：

(1)設(shè)所求直線方程的某種形式；

(2)由條件建立所求參數(shù)方程(組)；

(3)解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；

(4)把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程.

考點(diǎn)三直線的位置關(guān)系及應(yīng)用[創(chuàng)新貫通]

命題點(diǎn)1利用兩直線平行或垂直求參數(shù)

［例2］(1)已知直線爾m+2M+(l—a)y—3=0與直線根(。-1)1+(2〃+3?+2=0,則

%=1”是“I山2”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：1_1_，2的充要條件是(。+2)(。-1)+(1—a)?(2a+3)=0,即屋-1=0,故有(a—l)(a

+1)=0,

解得〃=±1.顯然“0=1”是％=±1”的充分不必要條件，故"4=1”是“1山2”的充

分不必要條件.故選A.

答案：A

(2)已知兩條直線/i：(a-l)x+2y+l=0,/2：x+ay+3=0平行，則4=()

A.-1B.2

C.0或一2D.—1或2

解析：若。=0,兩直線方程為一x+2y+l=0和x=—3,此時(shí)兩直線相交，不平行，所

以aWO.當(dāng)aWO時(shí)，若兩直線平行，則有'廿=尹=解得〃=—1或〃=2.

答案：D

［母題變式］

若本例(1)中直線自與/2的方程不變,則“6_L/2”是“。=一1”的什么條件？

解：由兩直線方程知。=一1今/|，/2,但/J/2/?=-i,故n”是“。=一1”的

必要不充分條件.

I方法技巧I

兩直線平行，垂直的判定或求參數(shù)的方法

1.已知兩直線的斜率存在

(1)兩直線平行0兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；

(2)兩直線垂直㈡兩直線的斜率之積等于一1.

2.已知兩直線的一般方程

可利用直線方程求出斜率，然后判斷平行或垂直，或利用以下方法求解：

/i：A5iy4-G=0(AHB?0)

直線方程

，2：A2x+&y+C2=0(A升型WO)

/1與垂直

A1A2+B1B2=O

的充要條件

6與6平行余唱岑如汨2c2.0)

的充分條件八2t>2C2

/1與b相交於嚕(一2工0)

的充分條件

/|與，2重合%%孰&C2/0)

的充分條件

命題點(diǎn)2根據(jù)直線的位置關(guān)系求直線方程

［例3］(1)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x—2y—2=0平行的直線方程是()

A.x-2y-i=0B.x-2y+l=0

C.Zt+y-2=0D.x+2j-l=0

解析：設(shè)所求直線方程為x—2y+加=0,由l+m=0得m=-1,所以直線方程為x—2y

-1=0.

答案：A

(2)［一題多解］經(jīng)過(guò)兩直線人：工-2>+4=0和，2：%+丁一2=0的交點(diǎn)尸，且與直線上3x

—4y+5=0垂直的直線/的方程為.

x-2y+4=0

解析：解法一：由方程組，得x=0,y=2,即P(0,2).因?yàn)長(zhǎng)L/3,所以直

lr+y—2=0

44

線/的斜率％=—1,所以直線/的方程為y—2=—^xt即4x+3y—6=0.

解法二：因?yàn)橹本€/過(guò)直線人和b的交點(diǎn)，所以可設(shè)直線/的方程為x-2)，+4+“x+y

-2)=0,即(1+AM+q—2))，+4—22=0.因?yàn)長(zhǎng)L/3,所以3(1+幻+(—4)(；1-2)=0,所以2=

11,所以直線/的方程為12r+9y-18=0,即4x+3y—6=0.

答案：4x+3y—6=0

(3)已知A(l,2),B(3,1)兩點(diǎn)到直線/的距離分別是啦，小一，L則滿足條件的直線,

共有()

A.I條B.2條

C.3條D.4條

解析：當(dāng)A,8兩點(diǎn)位于直線/的同一側(cè)時(shí)，一定存在這樣的直線/,且有兩條.又H8|

=、(3-1)2+(1-2)2=小,而點(diǎn)A到直線/與點(diǎn)3到直線，的距離之和為也+小一也

=小，所以當(dāng)A,B兩點(diǎn)位于直線/的兩側(cè)時(shí)，存在一條滿足條件的直線.綜上可知滿足條

件的直線共有3條.

答案：C

［母題變式］

若本例（2）改為過(guò)點(diǎn)（1,0）與直線x-2y-2=0垂直的直線方程為.

解析：,?h—2廠2=0的斜率為3，

???所求直線的斜率為一2,

???直線方程為），=-2（%—1）,即2r+y—2=0.

答案：2x+y—2=0

I方法技巧I

根據(jù)平行或垂直求直線方程的方法

1.根據(jù)直線平行或垂直關(guān)系求出斜率

2.設(shè)出直線方程再待定

⑴與At+8），+C=0平行的直線可設(shè)為Ar+By+C=0（C^C）;

⑵與Ar+8），+C=0垂直的直線可設(shè)為Br—出+C=0.

突破練強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

1.（2018.河南鄭州一模）如果直線公+2y+3a=0與直線版+3—l）y=a—7平行，則。

解析：:直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a—l）y=a^7平行,

即直線級(jí)+2y+3a=0與直線3x+（〃-l）y—（。-7）=0平行，

?生力二RT'解得〃=3?

答案：3

★2.（2018?新疆烏魯木齊模擬）直線01+加丫=2和。酒+b2y=2交于點(diǎn)P（3,2）,則過(guò)點(diǎn)

A（ai，"）、Bg，岳）的直線方程是（）

A.2i+3y-2=0B.3x+2y-2=0

C.3x+2y+2=0D.2r+3y+2=0

解析：選B「??直線4/+如，=2和。＞+岳），=2,交于點(diǎn)P（3,2）,所以3ai+2也=2,3a2

+2歷=2,

???過(guò)點(diǎn)A（m,b。、B（a2f岳）的直線方程為3x+2y=2,即3x+2y—2=0,故選B.

3.（2018?淮南模擬）直線/過(guò)點(diǎn)（3,I）且與直線2x-y-2=0平行，則直線I的方程為（）

A.2x-y-5=0B.2x-y+l=0

C.x+2y-7=0D.%+2y—5=0

答案：A

考點(diǎn)四距離與對(duì)稱問(wèn)題［探究變通］

命題點(diǎn)1距離公式的應(yīng)用

［例4］(2018?廈門模擬)若兩平行直線3x—2)，-1=0,6x+緲+c=0之間的距離為喟,

則實(shí)數(shù)c的值是.

解析：依題意知，庠=■^于解得〃=—4,c=t=—2,即直線6x+ay+c=0可化為3x

￡+1

—2y+^=0,又兩平行線之間的距離為今乎，所以小冷(―？)2=今早，解得。=2或一6.

答案：2或一6

［注意］用兩平行線間距離公式時(shí)，應(yīng)使兩平行直線方程中x,y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等.

［母題變式I

若本例變?yōu)?設(shè)點(diǎn)P到直線3x-2y-\=0的距離為喈,則P點(diǎn)的軌跡方程是.

解析：僅P(x,y),則.32；22.13，

/.|3x-2y-l|=2,即3x-2j-3=0或3入-2>+1=0.

答案：3.1—2》一3=0或3%—2y+l=0

命題點(diǎn)2對(duì)稱問(wèn)題

［例5］(1)A(-1,-2)關(guān)于直線/：2r-3y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)為

fl±2x2=_

L+13b

解析：設(shè)A'(x,y),由已知，

jx~1y—2,

I2X—3X^-1-1=0

33

工=一丘

4

(尸石

”(一警’飄

答案:(-13'B］

(2)［一題多解］求/：2r—3y+l=0關(guān)于A(-1,一2)的對(duì)稱直線「的方程.

解：解法一：在/上取點(diǎn)尸(1,1)關(guān)于4—1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P，(—3,-5),

設(shè)/關(guān)于A的對(duì)稱直線「為2x—3y+b=0,Pf在/'上，

???2X(-3)-3X(-5)+b=0,.=〃=一9,

：.r的方程為2x-3)，-9=0

解法二：設(shè)P(x,)，)為「上任一點(diǎn)，則P(x,y)關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)P(-2-x,—4一>)在/上

.\2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y~9=0

(3)直線小y=2r+3關(guān)于直線/：y=x+l對(duì)稱的直線6的方程為.

>'=2r+3,

解析：由,解得直線人與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為

尸x+1

(-2,-1),

:.可設(shè)直線b的方程為y+1=總+2),即

依一y+2A-l=0.

在直線/上任取一點(diǎn)(1,2),由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線八，，2的距離相等，由點(diǎn)到直線的

距離公式得

1^-2+2^~1||2-2+3|,解得攵=3伏=2舍去),

+112?+1

???直線h的方程為x-2y=0.

答案：x—2y=O

［母題變式］

1.若本例(1)變?yōu)辄c(diǎn)4-1,一2)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)Ai為,關(guān)于y=x+l的對(duì)

稱點(diǎn)A2為.

解析：點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，即工與1y相互交換，故4(—2,—1).

關(guān)于y=x+l對(duì)稱，即縱坐標(biāo)y=x+l=—1+1=0,橫坐標(biāo)為x=y—I=—2—1=一

3.??洛2(—3,0).

答案：(-2,—1)；(—3,0)

2.若本例(2)變?yōu)椋褐本€/：2甘一3卜+1=0關(guān)于(0,0)的對(duì)稱直線的方程為.

解析：所求直線上P(x,y)關(guān)于(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(一4,一y)在/上，

/.-2x+3y+1=0,即2x-3y-1=0.

答案：2x~3y—1=0

3.若本例(3)變?yōu)椋呵笾本€hy=2x+3關(guān)于y=r+l對(duì)稱的直線方程為.

解析：將)=一％+1,x=—y+l代入)，=2r+3中得一%+1=—2)+2+3,即工一2丁+4

=0.

答案：A—2y+4=0

I方法技巧I

1.中心對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類型及求解方法

(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：

x=2a-xit

2進(jìn)而求解.

{y=2b—y\,

(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由

兩點(diǎn)式求出直線方程；

②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程；

③軌跡法，設(shè)對(duì)稱直線上任一點(diǎn)M(x,y),其關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在已知直線上.

2.軸對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類型及求解方法

(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：

若兩點(diǎn)6)與尸2(x2,”)關(guān)于直線/：Ar+砂+。=0對(duì)稱，

AX中+腔與+C=。，

由方程組I/八”可得到點(diǎn)Pl關(guān)于/對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)。2,

□<(-舒一，

力)(其中BWO,

(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱：

一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直段與對(duì)稱軸相交；二是

已知直線與對(duì)稱軸平行.

突破練強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能

4.如果直線八：ov+(l—b)y+5=0和直線/2：(1+。比一y—6=0都平行于直線八：x—

2y+3=0,則八，6之間的距離為.

解析：因?yàn)榘恕ㄍ咚砸?7一(1一份=0,同理-2(1+。)+1=0,解得。=一,匕=0,

因此/工x~2y—10=0,72：X—2y=0,d=2\［5.

答案：2小

5.［一題多解］光線沿直線64—2)，+5=0射入，遇直線/：3x—2y+7=0后反射，求反

射光線所在的直線方程.

fx-2y+5=0,[x=—

解：解法一:由,得

[3]-2），+7=0,b=2.

???反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一1,2）.

又取直線工一2），+5=0上一點(diǎn)P（—5,0）,設(shè)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)P（xo,yo）,由PPJJ

._2yo

,或=一十沏+￡

而PP的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（27，，T）,

Q點(diǎn)在/上，.*.3?&25_2號(hào)+7=0.

（4=—zr_iz

J的+5—3，尸r。=一⑶

力3得32

|^2（的—5）—jo+7=O.［優(yōu)=一百?

根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29%—2），+33=0.

解法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn)P（xo,州）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為P\x,y）,則匕口

的—X

_2

=一?

又尸產(chǎn)的中點(diǎn)游黑，空）在/上，

???3X窘-2X守+7=0,

.vo-y__2

xo—x3'

3XA+AO（y+w）+7=0.

可1得尸點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為

-5x+12y-4212x+5y+28

入°=1T，優(yōu)=,

代人方程x-2），+5=0中，化簡(jiǎn)得29x-2y+33=0,

???所求反射光線所在的直線方程為29x-2y+33=0.

創(chuàng)新?應(yīng)用?提能見(jiàn)多可以識(shí)廣

巧用對(duì)稱性求直線方程

關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱問(wèn)題，可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)轉(zhuǎn)化兩對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)出十必

或丁1+丁2)的關(guān)系.

關(guān)于線的軸對(duì)稱問(wèn)題，既有兩對(duì)稱點(diǎn)間的中點(diǎn)關(guān)系，也有兩對(duì)稱點(diǎn)連線與對(duì)稱軸的垂直

關(guān)系，利用好這些關(guān)系，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

J

［例6］過(guò)點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩條直線/i：x-3y+10=0,/2：2x+y—8=0所截

得的線段恰好被M所平分，則此直線方程為.

解析：設(shè)所求直線與交于4(X1,V)與L交于8(及，”)且箝+及=0,，X2=—XI.

一+”=2,y2=2—yi,

xi-3ji+10=0［xi=-4,

,解得即A(-4,2).

〔一切+2-川一8=0'bi=2.

故過(guò)M和A的方程為x+4y—4=0.

答案：x+4y—4=0

r

巧用對(duì)稱性求距離最值問(wèn)題

對(duì)稱性體現(xiàn)了對(duì)稱，平分的特點(diǎn)，結(jié)合平面幾何知識(shí)利用對(duì)稱的方法求有關(guān)最值.

J

［例7］已知宜線/：y=x,圓G：。-3)2+尸=2.若圓。2與圓G關(guān)于宜線/對(duì)稱，點(diǎn)A，

5分別為圓C，C2上任意一點(diǎn)，則以用的最小值為

|3-0|3^2

解析：因?yàn)閳AG的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為也，所以Ci到直線/的距離d=F=2

為手心坐

所以圓G上的點(diǎn)到直線/的最短距離

因?yàn)閳AC2與圓G關(guān)于直線/對(duì)稱,

所以H陰min=2X乎=6.

答案:V2

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練（限時(shí)練?夯基練?提能練）

A級(jí)基礎(chǔ)夯實(shí)練

1.已知直線/的斜率為由，在y軸上的截距為另一條直線“—2》-4=0的斜率的倒數(shù)，

則直線/的方程為（）

A.y=y[3x+2B.y=y{3x—2

C.D.y=-5x+2

解析：選A.因?yàn)橹本€x—2y—4=0的斜率為所以直線/在），軸上的截距為2,

所以直線/的方程為y=V3x+2.

2.已知過(guò)點(diǎn)A（—2,M和點(diǎn)B（m,4）的直線為/）,直線2x+y—1=0為￡直線x+〃y

+1=0為b.若八〃/2,皿3,則實(shí)數(shù)加+〃的值為（）

A.-10B.-2

C.0D.8

4—/ft

解析：選A.因?yàn)樗早?=￡短=一2.

解得/zz=-8.

又因?yàn)?2JJ3,所以一：X（—2）=-1,

解得〃=一2,所以m+〃=-10.

3.直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,2）,在x軸上的截距的取值范圍是（一3,3）,則其斜率的取值范圍

是（）

A.B.k>l或kV：

C.嗎或&VID.或上〈一1

解析：選D.設(shè)直線的斜率為A,則直線方程為），一2=奴工-1）,

2

令y=0,得直線/在x軸上的橫距為1—

21

則一3<1—％K,<N3,解得&>5或左〈一1?

4.已知直線6y=2x+3,直線為與人關(guān)于直線曠=一工對(duì)稱，則直線6的斜率為（）

AB.—

C.2D.-2

解析：選A.直線y=2r+3與y=-x的交點(diǎn)為A(—1,1),而直線y=2r+3上的點(diǎn)(0,

1—01

3)關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為3(—3,0),而A,B兩點(diǎn)，都在k上,所以她=_1_(.3)=/

5.已知函數(shù)及)=爐3>0且4片1),當(dāng)x<0時(shí)方程y=ar+茨示的直線是()

解析：選C.因?yàn)閤VO時(shí)，ar>l,所以O(shè)VqVl.

則直線y=or+/的斜率為OVqVl,

在>'軸上的截距：,1.故選C.

6.(2018?江西南昌二中月考)設(shè)點(diǎn)4(-2,3),5(3,2),若直線dx+y+2=0與線段

沒(méi)有交點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

54

解析：選B.易知直線ar+y+2=0過(guò)定點(diǎn)P(0,-2),姑=—g,如?=§,設(shè)直線ar+y

+2=0的斜率為鼠若直線or+y+2=0與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)，根據(jù)圖象(圖略)可知一|〈kV

45445

-----

32332

7.設(shè)點(diǎn)4(-1,0),B(l,0),直線2x+y-b=0與線段AB相交，則力的y

取值范圍是?球中

r=-2x

解析：b為直線y=-2x+h在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線)，=一女+人過(guò)

點(diǎn)4(一1,0)和點(diǎn)8(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值.所以b的取值范圍是[-2,2].

答案：[—2,2]

8.已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),并且與點(diǎn)Q,3)和(0,—5)的距離相等，則此直線的方程為

解析：若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為:

y—2=k(x-1),即履一y—%+2=0,

12k—3—k+2||0+5-2+2|

由題設(shè)有5+4―

即|2-1|=|&一7|,解得&=4.

此時(shí)直線方程為4x-y-2=0.

若所求直線的斜率不存在，方程為x=l,

滿足題設(shè)條件.

故所求直線的方程為4x—y—2=0或x=l.

答案：4x-y-2=0或％=1

9.(2018?山西四校聯(lián)考)若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,

3)與點(diǎn)(相，〃)重合，則機(jī)+〃=.

解析：由題可知紙的折痕垂直平分點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)的連線，可得折痕所在直線為y=

“3,又折痕也垂直平分點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)抽〃)的連線，于是金二1

〔機(jī)一7-21

(3

'"=5，

解得《所以〃?+〃=第

31。

〔"=不

答案於

3

10.點(diǎn)尸為直線y=不上任一點(diǎn)，F(xiàn)i(-5,0),B(5,0),則||尸川一IPBII的取值范圍為

解析:由題意，P在原點(diǎn)時(shí)，||PF1|-|PF2||=O,

匕3

X-=-

a-547

3+-=254

尸2(5,0)關(guān)于直線y=不對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為F(ab),則635V

t--X〃2

2-4

所以||PQI一尸尸前的最大值為

優(yōu)+5了+管”8,

所以||PFi|一伊產(chǎn)川的取值范圍為[0,8].

答案：[0,8]

B級(jí)能力提升練

11.在△ABC中，4(1,1),B(mt洞(1V-V4),C(4,2),則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),

m=()

39

--

A.2B.4

CD.

24

解析：選B.由兩點(diǎn)間距離公式可得HQ=＜而,

直線AC的方程為x-3y+2=o,

所以點(diǎn)B到直線AC的距離]=也二曜L±21,

y10

從而△ABC的面積

S=/C|d=*m-3礪+2|=來(lái)而一|)

又1V〃?V4,所以1〈訴〈2,所以當(dāng)?shù)Z=|,

9

即加=4時(shí)，s取得最大值.

12.(2018,湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y=2x是△ABC中/C的平分線所在的直線，若

點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是(-4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(-2,4)B.(-2,-4)

C.(2,4)D.(2,-4)

(y—2

K2=—1,

解析：選C.設(shè)4—4,2)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為(x,)，)，則?解得

y+2—4+x

x=4,

產(chǎn)一2,

—2—1

所以8C所在直線方程為y-l=4—3。-3),即3x+y-10=0.同理可得點(diǎn)8(3,1)關(guān)于

直線)，=2x的對(duì)稱點(diǎn)為(一1,3),所以4c所在直線方程為＞-2=_]_(_胃?(％+4),即

[3x+y-10=0,[x=2,

k3y+10=0.聯(lián)立得上_3y+so,解得U=4,則CQ,4).故選C.

13.已知直線/過(guò)圓/+。-3)2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則/的方程是()