湖北省宜昌市2025屆高三第三次模擬考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了加強“精準扶貧”，實現偉大復興的“中國夢”，某大學派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加三個貧困縣的調研工作，每個縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．642．函數在上的圖象大致為()A． B．C． D．3．過拋物線（）的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.，且在第一象限，則（）A． B． C． D．4．已知函數的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．5．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a6．若各項均為正數的等比數列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．8．定義在R上的函數滿足，為的導函數，已知的圖象如圖所示，若兩個正數滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或10．正項等比數列中的、是函數的極值點，則（）A． B．1 C． D．211．已知奇函數是上的減函數，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．412．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數，滿足約束條件，則的最小值為______.14．已知，則_____。15．如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.16．二項式的展開式的各項系數之和為_____，含項的系數為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（其中是自然對數的底數）（1）若在R上單調遞增，求正數a的取值范圍；（2）若f（x）在處導數相等，證明：；（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側）.18．（12分）已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數列為等差數列；（2）設，求的前100項和．19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：20．（12分）已知函數.（1）若是函數的極值點，求的單調區間；（2）當時，證明：21．（12分）已知各項均為正數的數列的前項和為，且，（，且）（1）求數列的通項公式；（2）證明：當時，22．（10分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據題意，有兩種分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【詳解】當按照進行分配時，則有種不同的方案；當按照進行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點睛】本題考查排列組合、數學文化，還考查數學建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.2、A【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數為偶函數，圖象關于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點睛】本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.3、C【解析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【詳解】由題意，，準線：，作，；，設，故，，.故選：C【點睛】本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.4、A【解析】

根據圖象可知，函數為奇函數，以及函數在上單調遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出．【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，為偶函數，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數進行判斷,在上無零點,不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進行單調性判斷,在上單調遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數性質的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．5、C【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復數的概念，屬于基礎題.6、C【解析】

由正項等比數列滿足，即，又，即，運算即可得解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，又，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等比數列基本量的求法，屬基礎題.7、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據圓與雙曲線的右支沒有公共點，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、C【解析】

先從函數單調性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數在區間單調遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查了函數單調性和不等式的基礎知識，屬于中檔題.9、D【解析】

根據正弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.10、B【解析】

根據可導函數在極值點處的導數值為，得出，再由等比數列的性質可得.【詳解】解：依題意、是函數的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數列下標和性質以應用，屬于中檔題.11、B【解析】

根據函數的奇偶性和單調性得到可行域，畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數是上的減函數，則，且，畫出可行域和目標函數，，即，表示直線與軸截距的相反數，根據平移得到：當直線過點，即時，有最小值為.故選：.【點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性，線性規劃問題，意在考查學生的綜合應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.12、D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標函數視為可行解與點的斜率，觀察圖形斜率最小在點B處，聯立，解得點B坐標，即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，該目標函數視為可行解與點的斜率，故由題可知，聯立得,聯立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數的線性規劃問題，屬于簡單題.14、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數基本關系式與和角的正切公式。15、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數之和，寫出二項展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得出項的系數.【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據的單調性，構造新函數，并令，根據的單調性即可得證；（3）將問題轉化為證明有唯一實數解，對求導，判斷其單調性，結合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數解；當時，；當時，；即對于任意實數，一定有解；；當時，有兩個極值點；函數在，，上單調遞增，在上單調遞減；又；只需，在時恒成立；只需；令，其中一個正解是；，；單調遞增，，（1）；；；綜上得證．【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數證明不等式，考查了轉化思想、不等式的放縮，屬難題．18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當時，，當時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數列；（2）根據（1）中，求出數列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當時，由①式可得；又時，有，代入①式得，整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數列．（2）由（1）可得，∵是各項都為正數，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項和．【點睛】本題考查數列遞推關系的應用，通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查分析解題能力和計算能力.19、（1）（2）見解析【解析】

（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉化為2ab≥1，再構造函數利用導數判斷單調性求出最小值可證．【詳解】（1）∵，∴.∴當時，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，當且僅當時等號成立，∴.令，.則在上單調遞減.∴.∴當時，.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題．本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中解答中根據絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉化恒成立問題是解答本題的關鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及轉化思想的應用.20、（1）遞減區間為（-1，0），遞增區間為（2）見解析【解析】

（1）根據函數解析式，先求得導函數，由是函數的極值點可求得參數.求得函數定義域，并根據導函數的符號即可判斷單調區間.（2）當時，.代入函數解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構造函數，并求得，由函數單調性及零點存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數的最小值，由對數式變形化簡可證明，即成立，原不等式得證.【詳解】（1）函數可求得，則解得所以，定義域為，在單調遞增，而，∴當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，此時是函數的極小值點，的遞減區間為，遞增區間為（2）證明：當時，，因此要證當時，，只需證明，即令，則，在是單調遞增，而，∴存在唯一的，使得，當，單調遞減，當，單調遞增