2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題21立體幾何大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1空間中的平行關系（第一問）（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全國卷2017·全國卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·山東卷、2016·全國卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷空間中的平行關系和垂直關系依然是立體幾何大題第一問的命題熱點，要熟練掌握空間中的距離及表面積、體積的計算同樣是命題熱點，異面直線所成角、線面角、二面角、及其最值范圍等內容也是高頻考點，同時也需掌握方程思想的應用考點2空間中的垂直關系（第一問）（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·浙江卷2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·北京卷2019·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2018·浙江卷、2018·全國卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·天津卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷、2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷2016·北京卷、2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·廣東卷、2015·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·全國卷、2015全國卷、2015·天津卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷2015·北京卷考點3求空間中的線段長度、點面距的值及最值或范圍（10年6考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2019·全國卷、2018·全國卷考點4求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍（10年10考）2024·上海卷、2023·全國乙卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷2017·上海卷、2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·全國卷2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷2015·福建卷、2015·北京卷考點5異面直線所成角及最值或范圍（10年4考）2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·廣東卷、2015·全國卷、2015·上海卷、2015·山東卷考點6求線面角及最值或范圍（10年10考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國甲卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2020·山東卷、2020·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2018·江蘇卷、2018·浙江卷、2018·全國卷、2018·天津卷、2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·北京卷、2016·天津卷、2015·廣東卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、2015·上海卷、2015·全國卷考點7求二面角及最值或范圍（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、2020·江蘇卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷2018·全國卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2016·天津卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·陜西卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷考點8已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）（10年5考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全國卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點01空間中的平行關系（第一問）1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；6．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；7．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，

(1)求證：//平面；9．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；10．（2022·全國甲卷·高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；12．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；13．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為棱CD的中點．（I）求證：平面；14．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；15．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；16．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；17．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；18．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；19．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；20．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；21．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．求證：（1）；22．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．（1）求證：平面；23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.（I）證明：CE∥平面PAB；24．（2017·全國·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點．（1）證明：直線平面；25．（2017·全國·高考真題）四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;26．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；27．（2016·四川·高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；28．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且，.

求證：（1）直線DE平面A1C1F；29．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；30．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，FB是圓臺的一條母線.（Ⅰ）已知G,H分別為EC，FB的中點，求證：GH∥平面ABC；32．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；

33．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（1）；34．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點E,F分別是BC,的中點.（Ⅰ）求證:EF∥平面;35．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；36．（2015·四川·高考真題）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設的中點為，的中點為(1)請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）(2)證明：直線平面37．（2015·山東·高考真題）如圖，三棱臺中，分別為的中點.（Ⅰ）求證：平面；38．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；39．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；40．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點.(1)求證：平面；41．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．(1)求證：平面；考點02空間中的垂直關系（第一問）1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；3．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；4．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；5．（2022·全國甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；6．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；7．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；8．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；9．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；10．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；11．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；12．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；13．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；14．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：；15．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；16．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；17．（2020·全國·高考真題）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；18．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；19．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；20．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；21．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；22．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．23．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；24．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；25．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結，如圖2.（1）證明圖2中的四點共面，且平面平面；26．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；27．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；28．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；29．（2019·全國·高考真題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；30．（2019·全國·高考真題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；31．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．求證：（1）；（2）．32．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；33．（2018·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點.

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；34．（2018·全國·高考真題）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；35．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；36．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；37．（2018·全國·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；

38．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；39．（2018·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；40．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；41．（2018·全國·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點.(1)設P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大??；42．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；43．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；44．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；45．（2017·全國·高考真題）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）證明：AC⊥BD；46．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；47．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；48．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.49．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；50．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；51．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點，將沿折起到的位置.（Ⅰ）證明：；52．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；53．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；54．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺中,平面平面,.（Ⅰ）求證：平面；55．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點.（Ⅰ）求證：FG||平面BED；（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；56．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點，將沿折到位置，.（1）證明：平面；57．（2016·全國·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；58．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點E是CD的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；59．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（1）；（2）.60．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F在線段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

61．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點，且．(1)證明：平面；62．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點，D為的中點.（1）證明：；63．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：D平面；64．（2015·全國·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，，（I）證明：平面平面；65．（2015·全國·高考真題）（2015新課標全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；66．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點E,F分別是BC,的中點.（Ⅰ）求證:EF∥平面;（Ⅱ）求證:平面平面.67．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；68．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點．（１）證明：平面平面；69．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面，點分別在棱上．（1）若是的中點，證明：；70．（2015·湖北·高考真題）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；71．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點，求證平面；72．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；73．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點．（）求證：．考點03求空間中的線段長度、點面距的值及最值或范圍1．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到的距離.2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．3．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．4．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．5．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．7．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．考點04求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍1．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大?。?．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2022·全國甲卷·高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．4．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當的面積最小時，求三棱錐的體積．5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.6．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.7．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．8．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.9．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．10．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結，如圖2.（1）證明圖2中的四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.11．（2019·全國·高考真題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．12．（2018·全國·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．

13．（2017·上海·高考真題）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設M是BC中點，求直線與平面所成角的大小.14．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積．15．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積．16．（2017·全國·高考真題）四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;（2）若△面積為，求四棱錐的體積.17．（2016·江蘇·高考真題）現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

（1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為，則當為多少時，倉庫的容積最大？18．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點，將沿折起到的位置.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ)若，求五棱錐的體積.19．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長為的正方形（及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側.(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.20．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內部）繞OO1旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側．（1）求圓柱的體積與側面積；（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大?。?1．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.

22．（2016·全國·高考真題）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE并延長交AB于點G.（Ⅰ）證明：G是AB的中點；（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．23．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F在線段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

(Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.

24．（2015·全國·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，，（I）證明：平面平面；（II）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.25．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點．（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．26．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面，點分別在棱上．（1）若是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積．27．（2015·湖北·高考真題）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬中，側棱底面，且，點是的中點，連接．（Ⅰ）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；（Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．28．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點，求證平面；（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；（Ⅲ）若，點在線段上，求的最小值．29．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．考點05異面直線所成角及最值或范圍1．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．2．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.3．（2016·上海·高考真題）將邊長為的正方形（及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側.(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.4．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點E是CD的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．5．（2015·全國·高考真題）（2015新課標全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．6．（2015·上海·高考真題）如圖，圓錐的頂點為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點，為劣弧的中點.已知，，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.7．（2015·山東·高考真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．考點06求線面角及最值或范圍1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大?。?．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．4．（2022·全國甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．5．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．6．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.9．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為上的點，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．10．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．11．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．12．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．13．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．14．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.15．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.16．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.17．（2018·江蘇·高考真題）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點。（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值18．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．19．（2018·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.20．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．21．（2017·上?！じ呖颊骖}）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設M是BC中點，求直線與平面所成角的大小.22．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.（I）證明：CE∥平面PAB；（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值24．（2017·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點在線段上，平面，，．

（1）求證：為的中點；（2）求二面角的大??；（3）求直線與平面所成角的正弦值．25．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.26．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；（Ⅲ）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.27．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.28．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.29．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點.（Ⅰ）求證：FG||平面BED；（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；（Ⅲ）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.30．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點E是CD的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．31．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點，D為的中點.（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.32．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC,AB=AC=3,,,點E,F分別是BC,的中點.（Ⅰ）求證:EF∥平面;（Ⅱ）求證:平面平面.（Ⅲ）求直線與平面所成角的大小.33．（2015·上?！じ呖颊骖}）如圖，在長方體中，，，、分別是、的中點．證明、、、四點共面，并求直線與平面所成的角的大小.34．（2015·全國·高考真題）如圖，長方體中,，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．考點07求二面角及最值或范圍1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．6．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.7．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．9．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．10．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．12．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．13．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?14．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．15．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．16．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．17．（2020·江蘇·高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．18．（2020·全國·高考真題）如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．19．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．21．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.22．（2019·全國·高考真題）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.23．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．24．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．25．（2018·全國·高考真題）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．26．（2017·山東·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點.(1)設P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大?。?2)當AB＝3，AD＝2時，求二面角E－AG－C的大小.27．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.28．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.29．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．30．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；（Ⅲ）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，FB是圓臺的一條母線.（Ⅰ）已知G,H分別為EC，FB的中點，求證：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值.32．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺中,平面平面,.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.33．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點，將沿折到位置，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.34．（2016·全國·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.35．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點E是CD的中點，點F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）證明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．36．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面，，．分別為線段上的點，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．37．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.38．（2015·四川·高考真題）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設的中點為，的中點為(1)請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）(2)證明：直線平面(3)求二面角的余弦值.39．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．40．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面,，，求平面與平面所成角（銳角）的大?。?1．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.42．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.43．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點．（）求證：．（）求二面角的余弦值．（）若平面，求的值．考點08已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.4．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．5．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．6．（2017·全國·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點．（1）證明：直線平面；（2）點在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．7．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.8．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點．（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．9．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面，點分別在棱上．（1）若是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積．10．（2015·湖北·高考真題）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．專題21立體幾何大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1空間中的平行關系（第一問）（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全國卷2017·全國卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·山東卷、2016·全國卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷空間中的平行關系和垂直關系依然是立體幾何大題第一問的命題熱點，要熟練掌握空間中的距離及表面積、體積的計算同樣是命題熱點，異面直線所成角、線面角、二面角、及其最值范圍等內容也是高頻考點，同時也需掌握方程思想的應用考點2空間中的垂直關系（第一問）（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·浙江卷2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·北京卷2019·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2018·浙江卷、2018·全國卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·天津卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷、2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷2016·北京卷、2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·廣東卷、2015·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·全國卷、2015全國卷、2015·天津卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷2015·北京卷考點3求空間中的線段長度、點面距的值及最值或范圍（10年6考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2019·全國卷、2018·全國卷考點4求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍（10年10考）2024·上海卷、2023·全國乙卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷2017·上海卷、2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·全國卷2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷2015·福建卷、2015·北京卷考點5異面直線所成角及最值或范圍（10年4考）2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·廣東卷、2015·全國卷、2015·上海卷、2015·山東卷考點6求線面角及最值或范圍（10年10考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國甲卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2020·山東卷、2020·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2018·江蘇卷、2018·浙江卷、2018·全國卷、2018·天津卷、2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·北京卷、2016·天津卷、2015·廣東卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、2015·上海卷、2015·全國卷考點7求二面角及最值或范圍（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、2020·江蘇卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷2018·全國卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2016·天津卷、2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·陜西卷、2015·山東卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷考點8已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）（10年5考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全國卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點01空間中的平行關系（第一問）1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；6．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.

(1)證明：平面；7．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，

(1)求證：//平面；9．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；10．（2022·全國甲卷·高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；12．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；13．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為棱CD的中點．（I）求證：平面；14．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；15．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分別是AC，B1C的中點．（1）求證：EF∥平面AB1C1；16．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；17．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；18．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；19．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：M