投資學第13章投資分析（4）：Black-Scholes

期權定價模型2024/12/52概述Black、Scholes和Merton發現了看漲期權定價公式,Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經濟學獎模型基本假設8個無風險利率已知,且為一個常數,不隨時間變化。標的股票不支付紅利期權為歐式期權2024/12/53無交易費用:股票市場、期權市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率股票交易無限細分，投資者可以購買任意數量的標的股票對賣空沒有任何限制標的資產為股票，其價格S的變化為幾何布朗運動2024/12/54B-S模型證明思路ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權定價公式2024/12/5513.1維納過程根據有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機游走性，這種特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一種。對于隨機變量w是Wienerprocess，必須具有兩個條件:在某一小段時間Δt內，它的變動Δw與時段滿足Δt（13.1）2.在兩個不重疊的時段Δt和Δs,Δwt和Δws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立?。?3.2）有效市場2024/12/57滿足上述兩個條件的隨機過程,稱為維納過程,其性質有當時段的長度放大到T時（從現在的0時刻到未來的T時刻）隨機變量Δwt的滿足證明:2024/12/59在連續時間下,由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以，概率分布的性質以上得到的隨機過程,稱為維納過程。2024/12/51013.2ITO定理一般維納過程(GeneralizedWienerprocess)可表示為（13.5）顯然,一般維納過程的性質為2024/12/511一般維納過程仍不足以代表隨機變量復雜的變動特征。漂移率和方差率為常數不恰當若把變量xt的漂移率a和方差率b當作變量x和時間t的函數,擴展后得到的即為ITO過程2024/12/512B-S期權定價模型是根據ITO過程的特例－幾何布朗運動來代表股價的波動省略下標t,變換后得到幾何布朗運動方程（13.6）證券的預期回報與其價格無關。2024/12/513ITO定理:假設某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標t）令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數,即f(x,t)可以代表以標的資產x的衍生證券的價格,則f(x,t)的價格變動過程可以表示為（13.7）證明:將（13.7）離散化由（13.1）知利用泰勒展開,忽略高階段項,f(x,t)可以展開為（13.8）在連續時間下,即因此,（13.8）可以改寫為（13.9）從而即Δx2不呈現隨機波動！（13.10）由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）

由于Δx2不呈現隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當Δt→0時,由（13.9）可得■13.3B-S微分方程假設標的資產價格變動過程滿足這里S為標的資產當前的價格,令f(s,t)代表衍生證券的價格,則f(x,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為2024/12/520假設某投資者以δ份的標的資產多頭和1個單位的衍生證券空頭來構造一個組合,且δ滿足則該組合的收益為2024/12/521下面將證明該組合為無風險組合,在Δt時間區間內收益為注意到此時Δπ不含有隨機項w,這意味著該組合是無風險的,設無風險收益率為r,且由于Δt較?。ú徊捎眠B續復利）,則整理得到B-S微分方程的意義衍生證券的價格f,只與當前的市價S,時間t,證券價格波動率σ和無風險利率r有關,它們全都是客觀變量。因此,無論投資者的風險偏好如何,都不會對f的值產生影響。在對衍生證券定價時,可以采用風險中性定價,即所有證券的預期收益率都等于無風險利率r。只要標的資產服從幾何布朗運動,都可以采用B-S微分方程求出價格f。2024/12/524若股票價格服從幾何布朗運動設當前時刻為t,則T時刻股票價格滿足對數正態分布,即13.4幾何布朗運動與對數正態分布2024/12/525令則這樣由伊藤引理得到即2024/12/526由（13.1）2024/12/527則稱ST服從對數正態分布,其期望值為所以2024/12/52813.5B-S買權定價公式對于歐式不支付紅利的股票期權,其看漲期權（買權）的在定價日t的定價公式為2024/12/529（1）設當前時刻為t,到期時刻T,若股票價格服從幾何布朗運動,若已經當前時刻t的股票價格為St,則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權定價公式推導（13.13）2024/12/530（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根據B-S微分方程可知,定價是在風險中性條件下,則資產的期望回報為無風險回報,則這表明:在風險中性的世界中，任何可交易的金融資產的回報率均為無風險利率。2024/12/531（2）在風險中性的條件下,任何資產的貼現率為無風險利率r,故買權期望值的現值為（13.16）2024/12/532由于ST服從對數正態分布,其pdf為（13.17）第1項第2項將由(13.16)得到2024/12/533（3）化簡（13.17）中的第1.2項，先化簡第1項（13.18）當前時刻價格,不是變量2024/12/534（13.19）2024/12/535將（13.19）與（13.18）內的第2個指數項合并,即（13.20）2024/12/536將（13.20）代入（13.18）下面,將利用變量代換來簡化（13.21）,不妨令（13.21）2024/12/5372024/12/538y的積分下限為y的積分上限為2024/12/539將dy與y代入（13.21）,即有這樣就完成了第1項的證明。（13.22）2024/12/540下面證明B-S公式中的第2項,首先進行變量代換,令2024/12/541則z的積分下限z的積分上限2024/12/542將z和dz代入（13.23）2024/12/543則由（13.22）和（13.23）得到其中2024/12/544pr0dN(d)例如:當d＝1.96時,N(d)＝913.5%2024/12/545B-S買權公式的意義N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率,或者說式歐式看漲期權被執行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風險中性期望值的現值。2024/12/546其次,是復制交易策略中股票的數量,SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。假設兩個N(d)均為1,看漲期權價值為St-Xe-rT,則沒有不確定性。如果確實執行了,我們就獲得了以St為現價的股票的所有權,而承擔了現值Xe-rT的債務。期權的價值關于標的資產的價格及其方差,以及到期時間等5個變量的非線性函數Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函數,具有如下性質Factor

EffectonvalueStockprice increasesExerciseprice decreasesVolatilityofstockprice increasesTimetoexpiration increasesInterestrate increasesDividendRate decreasesFactorsInfluencingOptionValues:Calls2024/12/548So=100 X=95r=0.10 T=0.25(quarter)=0.50d1=[ln(100/95)+(0.10+(052/2))]/(05×0.251/2) =0.43d2=0.43+((050.251/2) =0.18N(0.43)=0.6664,N(0.18)=0.5714CallOptionExample2024/12/549Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100X.6664-95e-.10X.25X.5714Co=13.70P=Xe-rT

[1-N(d2)]-S0[1-N(d1)]CallOptionValue2024/12/55013.6看跌期權的定價利用金融工程的原理來看待期權平價關系考慮如下兩個組合:組合A:一份歐式看漲期權加上金額為的現金組合B:一份有效期和協議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產2024/12/551組合A到期時刻T的收益組合B到期時刻T的收益兩個組合具有相同的價格,且由于歐式期權不能提前執行,則在t時刻兩個組合價值相等,否則就有套利,即此為看漲看跌期權平價公式。2024/12/552從幾何圖性上看,二者對影響期權的關鍵指標都進行了負向變換,是關于縱向對稱的。2024/12/553標的資產價格期權價值13.7有收益資產的歐式期權定價當標的證券已知收益的現值為I時,我們只要用（St－I）代替B-S公式中的St當標的證券的收益為按連續復利計算的固定收益率q（單位為年）時,我們只要將對于歐式期貨期權,其定價公式為其中:F為到期日期貨的價格，即付出X，得到一個價值為F的期貨2024/12/556根據泰勒公式對期權價格進行二階展開,