第3課時習題課——正弦定理和余弦定理的綜合應用課后篇鞏固提升基礎達標練1.在△ABC中,B=60°,最長邊與最短邊之比為(+1)∶2,則最大角為()A.45° B.60° C.75° D.90°解析依題意,得△ABC不是等邊三角形.因為B=60°,所以角B不是最大角.設C為最大角,A為最小角,則A+C=120°,所以,解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.答案C2.在△ABC中,a=2,c=1,則角C的取值范圍是()A. B.C. D.解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sinC=sinA.∵A∈(0,π),∴0<sinA≤1,∴sinC∈.結合函數y=sinx的圖象可得C∈.∵a>c,∴角C是銳角,∴C∈.故選D.答案D3.在△ABC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sin,則△ABC周長的最大值為()A.8 B.7 C.6 D.5解析由題得a·sinC=c·cos,∴sinA·sinC=sinC·cos,∴sinA=cos,∴2sincos=cos,∵,∴cos≠0,∴sin,∴A=.由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·,當且僅當b=c=2時取等號.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.答案C4.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB=(2c-b)cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求△ABC面積的最大值.解(1)由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC≠0,∴cosA=.∵A∈(0,π),∴A=.(2)由(1)知S△ABC=bcsinA=bc,由余弦定理得cosA=(當且僅當b=c時等號成立),∴0<bc≤36(當且僅當b=c時等號成立).∴S△ABC的最大值為×36=9.5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值;(2)若=2,且b=2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=.(2)由=2,得accosB=2.由(1)知cosB=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.實力提升練1.在△ABC中,角A,B,C對邊分別為a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),則取值范圍是.

解析∵△ABC中,a2=b2+bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+bc=b2+c2-2bccosA,整理,得c=b(1+2cosA),∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),∴,∵A∈(60°,90°),∴cosA∈,可得2+2cosA∈(2,3),∴∈(),即∈().答案()2.已知a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C的對邊,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=,則△ABC周長的最小值為.

解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.故cosA=,∴A=.由三角形面積公式得bcsinA=,bc=2.所以三角形的周長a+b+c==3,當且僅當a=b=c=時,等號成立.故周長的最小值為3.答案33.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=0.(1)求角C;(2)若△ABC的中線CE的長為1,求△ABC的面積的最大值.解(1)由a=0,得a,即sinC,由余弦定理,得cosC=sinC,∴tanC=.∵C∈(0,π),∴C=.(2)由余弦定理,得b2=1+-2×1×·cos∠CEA,①a2=1+-2×1×·cos∠CEB,②①+②,得b2+a2=2+,即2(b2+a2)=4+c2,∵c2=a2+b2-2ab·cosC,∴a2+b2=4-ab≥2ab,∴ab≤,當且僅當a=b時取等號.S△ABC=absinC≤.△ABC的面積的最大值是.素養培優練在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿意cosC+cosAcosB=2sinAcosB.(1)求cosB的值;(2)若a+c=2,求b的取值范圍.解(1)因為cosC+cosAcosB=2sinAcosB,所以-cos(A+B)+cosAcosB=2sinAcosB,即sinAsinB=2sinAcosB,因為sinA≠0,所以sinB=2cosB>0,又因為sin2B+cos