等比數列的前n項和公式【題型1等比數列前n項和與基本量】1、（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中）等比數列的前5項的和，前10項的和，則它的前15項的和=（）A．160B．210C．640D．850【答案】B【解析】設等比數列的公比為，當時，，無解，所以，所以，兩式相除得，則，所以.故選：B2、（2023·四川·校聯考模擬預測）設為等比數列的前項和，且，則（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】設公比為，由題意，因為，所以，解得或，所以，故或．故選：C．3、（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）（多選）已知等比數列的前n項和為，若，，則數列的公比可能是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】設數列的公比為q，則，所以，解得或，即或．故選：BC．4、（2023·貴州黔東南·高二統考期末）（多選）已知等比數列的首項為1，公比為，前項和為，若，則可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由題意，，，故，即，故，由等比數列的性質，，約去得到，故，解得或或.故選：ABD5、（2023·江蘇鹽城·高二校考期中）兩個等比數列，的前n項和分別為和，已知，則．【答案】【解析】設數列，的公比分別為，則時，，即，當時，，即，當時，，即，聯立，解得或，當時，，符合題意；當時，，不符合題意.所以.【題型2等比數列片段和的性質】1、（2023·貴州黔南·高二統考期末）已知等比數列的前n項和為．若，則（）A．13B．16C．9D．12【答案】A【解析】設，則，因為為等比數列，根據等比數列的性質，可得仍成等比數列.因為，所以，所以，故.故選：A2、（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考期中）設等比數列的前項和為，若，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】等比數列的前項和為，則成等比數列，設，則，，所以，所以，所以，即.故選：A.3、（2023·江西南昌·高二校考階段練習）各項均為正數的等比數列的前項和為，若，則（）A．80B．30C．26D．16【答案】B【解析】是各項均為正數的等比數列的前項和，也為等比數列，又，該等比數列第一項，第二項.則公比，，.故選：B.4、（2023·河北衡水·高二河北安平中學校考階段練習）已知是等比數列的前項和，且，，則.【答案】【解析】由數列是等比數列，是等比數列的前項和，所以成等比數列，且，所以，又因為，，所以，即，解得或，因為，所以.5、（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學校考期中）已知是正項等比數列的前項和，，則的最小值為.【答案】【解析】由等比數列的性質可得：，，成等比數列，則，由于，所以，當且僅當時取最小值，故最小值為【題型3等比數列奇數項與偶數項的和】1、（2023·重慶·高二重慶一中校考期中）已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，得到奇數項為，偶數項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B2、（2022·高二單元測試）已知一個等比數列的項數是是偶數，其奇數項之和1011，偶數項之和為2022，則這個數列的公比為（

）.A．8B．C．4D．2【答案】D【解析】設該等比數列為,其項數為項，公比為,由題意易知，設奇數項之和為,偶數項之和為，易知奇數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，偶數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，則，，所以,即.所以這個數列的公比為2.故選:D.3、（2022·全國·高二課時練習）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（）A．30B．60C．90D．120【答案】D【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，又，則，解得，故數列的所有項之和是.故選：D4、（2022·高二課時練習）已知等比數列的前項中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則的值為．【答案】【解析】設等比數列的公比為，設等比數列的前項中，設所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則，所以，，又，則，因此，.5、（2022·高二課時練習）在等比數列中，，，求的值.【答案】50【解析】設,，所以,所以，所以.【題型4等比數列前n項和的其他性質】1、（2023·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習）已知等比數列的前項和為，若，，且，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等比數列的公比為，因為，，所以，解得，所以，所以當時，取得最大值，當時，取得最小值，所以，解得，故選：D2、（2023·重慶巫山·高二校考期末）下列說法正確的是（）A．若數列的公差，則數列是遞減數列B．若數列的前項和，則數列為等比數列C．若數列的前項和（為常數），則數列一定為等差數列D．數列是等比數列，為前項和，則仍為等比數列；【答案】A【解析】若數列的公差，即，所以數列是遞減數列，A選項正確；若數列的前項和，則，當時，，此時有，但，所以數列不是等比數列，B選項錯誤；若數列的前項和（為常數），則，當時，，此時有，但，當時，，所以數列不一定為等差數列，C選項錯誤；數列是等比數列，為前項和，當公比，為偶數時，則均為0，不為等比數列，D選項錯誤.故選：A3、（2023·高二課時練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列結論錯誤的是（）A．B．C．的最大值為D．的最大值為【答案】C【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因為，所以，因此，即B正確．因為，所以單調遞增，即的最大值不為，C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：C4、（2023·全國·高二專題練習）設等比數列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（）A．q>1B．C．D．是數列中的最大項【答案】A【解析】因為，所以或，而為等比數列，，于是，，則A錯誤；，則B正確；，則C正確；因為，所以是數列中的最大項，則D正確.故選：A.5、（2022·吉林通化·高二校考期中）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（）A．B．C．是數列中的最大值D．數列無最大值【答案】A【解析】根據題意，等比數列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項：對于A，，故，A正確；對于B，等比數列中，，，則，則，即，B錯誤；對于C，，則是數列中的最大項，C錯誤；對于D，由C的結論，D錯誤；故選：A.【題型5等比數列中Sn與an的關系】1、（2023·北京·高二人大附中校考期中）在數列中，它的前項和為（為常數），若是以為公比的等比數列，則（）A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】是以為公比的等比數列,所以，所以公比進而，所以，故選：B2、（2023·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）已知等比數列的前項和（為常數），則的值為（）A．B．C．1D．1【答案】C【解析】由題意等比數列的前項和，則時，，當時，，因為是等比數列，故必適合上式，故，故選：C3、（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學校考模擬預測）已知數列{}滿足：則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，即，又，故是以1為首項，2為公比的等比數列，故，故.故選：B4、（2023·湖北黃岡·高三校聯考期中）公比為2的等比數列的前項和為，若，則．【答案】【解析】公比為2的等比數列，，則.5、（2023下·湖北·高二十堰一中校聯考期中）已知數列的前n項和為，前n項積為，若，當取最小值時，.【答案】1【解析】由得：，兩式相減整理得，又當時，，解得：，故是首項為，公比為的等比數列，，，可知，則，即當，時，取得最小值，，因為時，；時，，時，取最小值時，此時.【題型6等比數列前n項和的實際應用】1、（2022·天津·高三校聯考期中）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（）A．228里B．192里C．126里D．63里【答案】B【解析】由題意得，該人所走路程構成以為公比的等比數列，令該數列為，其前項和為，則有，解得，故選：B.2、（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學校考一模）云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數構成一個數列，則的值為（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】從最下層往上“浮雕像”的數量構成一個數列，則是以2為公比的等比數列，，，解得，所以，．故選：C．3、（2023·北京·高二北京二十中校考期中）5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯，即所有人和物都將存在有機的數字生態系統中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化.目前我國最高的5G基站海拔6500米.從全國范圍看，中國5G發展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期.現有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊承建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬個）約為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設第一個工程隊承建的基站數為萬個，依題意，每個工程隊承建的基站數由大到小依次排成一列構成等比數列，，數列的公比，，前8項和，因此，解得，所以第一個工程隊承建的基站數萬個.故選：B4、（2023·云南·高二云南師大附中校考期末）教育儲蓄是指個人按國家有關規定在指定銀行開戶?存入規定數額資金?用于教育目的的專項儲簽，是一種專門為學生支付非義務教育所需教育金的專項儲蓄，儲蓄存款享受免征利息稅的政策，若你的父母在你12歲生日當天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入2000元，并且每年在你生日當天存入2000元，連續存6年，在你十八歲生日當天一次性取出，則一次性取出的金額總數為（）（假設教育儲蓄存款的年利率為5%，取）A．14400元B．15400元C．16200元D．18500元【答案】A【解析】金額總數為元.結合各選項中的數據可知A最符合，故選：A.5、（2