第01講平面向量的概念及其線性運算(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示角度2：模角度3：零向量與單位向量角度4：相等向量高頻考點二：向量的線性運算角度1：平面向量的加法與減法角度2：平面向量的數乘高頻考點三：共線向量定理的應用第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識點精準記憶1、向量的有關概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.特別的：非零向量的單位向量是.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；特別的：與任一向量平行或共線.（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.2、向量的線性運算2.1向量的加法①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.2.2向量的減法①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.2.3向量的數乘向量數乘的定義:一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：①②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.3、共線向量定理①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數仍存在，但不唯一．4、常用結論4.1向量三角不等式①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；4.2中點公式的向量形式：若為線段的中點，為平面內任意一點，則.4.3三點共線等價形式：（，為實數），若，，三點共線第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試一、判斷題1．（2022·全國·高一課前預習）判斷下列結論是否正確.（1）若與都是單位向量，則；()（2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量；()（3）直角坐標平面上的軸，軸都是向量；()（4）若與是平行向量，則；()（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合；()（6）海拔、溫度、角度都不是向量.()【答案】

錯誤正確

錯誤

錯誤

正確正確【詳解】（1）若與都是單位向量，而單位向量方向不一定相同，故不能得到；（2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是方向相反的向量，因而是共線向量；（3）軸與軸有方向但是沒有長度，因而軸，軸都不是向量；（4）若與是平行向量，則與方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必須長度相等，方向相同，故不能得到；（5）若用有向線段表示的向量與不相等，則終點一定不相同，即點M與N不重合；（6）海拔，溫度，角度都是數量，只有大小沒有方向，不是向量.2．（2022·全國·高一專題練習）若與都是單位向量，則.()【答案】錯誤【詳解】因與都是單位向量，則與長度相等，而它們的方向不確定，即與不一定相等，所以命題：“若與都是單位向量，則.”不正確.故答案為：錯誤3．（2022·全國·高一專題練習）如果，那么>.()【答案】錯誤【詳解】向量不能比較大小，所以錯誤.4．（2022·江西·貴溪市實驗中學高二期末）若向量，則或

()【答案】錯誤【詳解】，但是方向不確定，因此不能判斷或，故錯誤，故答案為：錯誤.5．（2022·江蘇·高一專題練習）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量.()【答案】√如圖所示，分別在O點的南偏西和北偏東作向量與，根據幾何關系，O、A、B三點共線，所以與共線，所以說法正確﹒故答案為：√第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念與表示例題1．（2022·上海·復旦附中高一期中）①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線與直線平行．上面說法中正確的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】由向量的定義知，加速度是向量，所以①正確；當，滿足且，但不一定平行，所以②不正確；若，則直線與直線平行或在一條直線上，所以③不正確.故選：B.例題2．（2022·全國·高一課時練習）給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．例題3．（2022·全國·高一課時練習）如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設的邊長為，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，.【詳解】（1）與向量相等的向量，即與向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）與向量共線的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）與向量平行的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，.角度2：模例題1．（2022·浙江省定海第一中學高一期中）已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】因為，均為單位向量，它們的夾角為，所以，所以.故選：C例題2．（2022·全國·高一專題練習）在邊長為的正三角形中，的值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】以、為鄰邊作菱形，則，由圖形可知，的長度等于等邊的邊上的高的倍，即，因此，，故選：D.例題3．（2022·上海市復旦中學高一期中）是的_____________條件.【答案】充分不必要【詳解】，充分性成立；或，必要性不成立，是的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.角度3：零向量與單位向量例題1．（2022·湖北·鄂州市鄂城區教學研究室高一期中）下列關于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【詳解】根據零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.例題2．（2022·廣東東莞·高一期中）下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．零向量與任一向量平行C．零向量是沒有方向的 D．若兩個相等的向量起點相同，則終點必相同【答案】C【詳解】對A，零向量的模長為0，故A正確；對B，零向量與任一向量平行，故B正確；對C，零向量的方向是任意的，故C錯誤；對D，相等向量若起點相同則終點相同，D正確；故選：C例題3．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知向量，則與向量垂直的單位向量的坐標為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【詳解】易知是與垂直的向量，，所以與平行的單位向量為或，故選：D．角度4：相等向量例題1．（2022·山西·大同市第三中學校高一期中）在菱形中，與相等的向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為為菱形，所以，，故A、C錯誤；對于B：，故B正確；對于D：，故D錯誤；故選：B例題2．（多選）（2022·山東菏澤·高一期中）設點是平行四邊形的對角線的交點，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．與共線【答案】AD【詳解】因點O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則O是AC中點，即有，A正確；平行四邊形對角線長不一定相等，則與不一定相等，B不正確；點A，O，B不共線，C不正確；平行四邊形ABCD中，，即有與共線，D正確.故選：AD例題3．（2022·全國·高一專題練習）如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由相等向量定義知：與相等的向量有.(2)由相反向量定義知：的相反向量有.(3)由向量模長定義知：與的模相等的向量有.題型歸類練1．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）下列命題正確的是（

）A．向量與是相等向量B．共線的單位向量是相等向量C．零向量與任一向量共線D．兩平行向量所在直線平行【答案】C【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，兩個單位向量雖然共線，但方向可能相反，故B錯誤；對于C，因為零向量沒有方向，所以與任何向量都是共線的，故C正確；對于D，兩個平行向量所在的直線可能重合，故D錯誤；故選：C.2．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（文））設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，當且時，或，A錯誤；對于B，當時，，B錯誤；對于C，當時，或，C錯誤；對于D，當時，，D正確．故選：D．3．（多選）（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一期中）下列命題中，不正確的是（

）A．若為單位向量，且，則B．若，，則C．D．若平面內有四點，則必有【答案】ABC【詳解】對于A，，與同向或反向，或，A錯誤；對于B，若，則，，但與可能不共線，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：ABC.4．（2022·上海交大附中高一階段練習）下列數學符號可以表示單位向量的是______（選項之間不需要分隔符號）①

②

③

④【答案】②④【詳解】對于①，因為，所以不表示單位向量，對于②，因為，所以表示單位向量，對于③，因為表示兩個單位向量的數量積，結果是一個數，所以不表示單位向量，對于④，因為表示與同向的單位向量，所以④符合題意，故答案為：②④5．（2022·全國·高一專題練習）在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：．【答案】(1),(2)證明見解析【解析】.(1)據題意，與向量共線的向量為：,；(2)證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點，，且，四邊形是平行四邊形，，且，．高頻考點二：向量的線性運算角度1：平面向量的加法與減法例題1．（2022·廣東·華南師大附中高一期中）下列向量運算結果錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確；故選：A例題2．（2022·廣東·深圳中學高一期中）如圖，在中，點是線段上靠近的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，點M是線段上靠近B的三等分點，則，所以.故選：B例題3．（2022·河北·滄縣中學高一期中）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，＝，故選：B．例題4．（2022·廣東·福田外國語高中高一期中）如圖，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題圖，.故選：A例題5．（2022·北京通州·高一期中）如圖，在平行四邊形中，與交于點，，，則下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：C.例題6．（2022·河南安陽·高一階段練習）在等邊中，為重心，是的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】DO為的重心，延長AO交BC于E，如圖，E為BC中點，則有，而D是的中點，所以.故選：D角度2：平面向量的數乘例題1．（2022·北京通州·模擬預測）設為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若為非零向量，且存在負數，使得，則共線且方向相反，，充分性成立；當時，的夾角可能為鈍角，此時不存在復數，使得，必要性不成立；“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件.故選：A.例題2．（2022·重慶一中高一期中）在中，為的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，.故選：D例題3．（2022·江蘇淮安·高一期中）設為基底，已知向量，，，若，，三點共線，則的值是（

）A．2 B．4 C．2 D．3【答案】B【詳解】因，，則，因A，B，D三點共線，則，即，，而，則有，即，又與不共線，于是得，解得，所以k的值是.故選：B題型歸類練1．（2022·江蘇常州·高一期中）如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∵，又，∴，即.故選：D.2．（2022·河北·石家莊二中模擬預測）數學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.3．（2022·全國·高一專題練習）設向量，，求．【答案】##【詳解】故答案為：4．（2022·四川成都·高一期中（文））如圖，在梯形ABCD中，，E為線段AB的中點，F為線段AC上的一點，且，記．(1)用向量表示﹔(2)用向量表示．【答案】(1)(2)(1)解：由題可知：，，，所以．(2)解：．5．（2022·江西·蘆溪中學高一階段練習）如圖所示，已知，，，，，，試用表示下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)(2)(3)高頻考點三：共線向量定理的應用例題1．（2022·浙江·鎮海中學模擬預測）已知向量，，則“存在實數，使得”是“，共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由存在實數，使得，可得共線；但當時，共線，此時不一定存在實數，使得．故選：A．例題2．（2022·全國·高一專題練習）設為基底向量，已知向量，，，若，，三點共線，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】易知，又A，B，D三點共線，所以存在實數，使得，即，則，所以的值是.故選：A例題3．（2022·全國·模擬預測）在中，點為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2【答案】A【詳解】因為點F為線段BC上任一點（不含端點），所以，故，當且僅當，即時等號成立，故選：A例題4．（2022·廣東·廣州市海珠中學高一期中）如圖．在中，已知，，與交于點，，，則_________（用，表示）．【答案】【詳解】∵M、E、C三點共線，則B、E、N三點共線，則則可得解得∴故答案為：．例題5．（2022·浙江·寧波咸祥中學高一期中）設兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：，，三點共線；（2）試確定實數，使和共線．【答案】（1）證明見解析；（2）.（1）證明：，，，，共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．（2）和共線，∴存在實數λ，使，即，.，是兩個不共線的非零向量，，.題型歸類練1．（2022·湖北·鄂州市鄂城區教學研究室高一期中）已知，是兩個不共線向量與共線，則t的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因為與共線，所以，所以，解得，故選：A．2．（2022·山西·懷仁市第一中學校高一期中（理））已知不共線的兩個向量與共線，則實數t等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】因為與共線，所以有且僅有唯一的實數，滿足，則，解得.故選：C.3．（2022·湖南師大附中高一期中）如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N．設，，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【詳解】由題意得，因為M、O、N三點共線，所以，解得，故選B．4．（2022·江蘇宿遷·高一期中）如圖，在中，，是上一點，若，則實數的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】因