2024-2025學(xué)年江蘇省張家港市第一學(xué)期高二期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M，N分別為OA，BCA.12a?12b+122.若直線l沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來的位置，則直線l的斜率是(

)A.12 B.?12 C.23.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)O(0,0)，A(0,3)的距離之比為12，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(

)A.x2+y2+2y?3=0 B.x24.經(jīng)過點(diǎn)P(0,?1)作直線l，若直線l與連接A(?3,2)，B(2,1)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)A.[0,π) B.[0,π4]∪[3π4,π)5.若兩直線l1:x+2ay+2=0，l2:(3a?1)x?ay?1=0平行，則實(shí)數(shù)A.{0?,?16} B.{0} C.{6.已知圓C的圓心在直線x?y?5=0上，并且圓C經(jīng)過圓x2+y2+6x?4=0與圓x2A.(12,?92) B.(7.過點(diǎn)P(2,0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1:2x?y?2=0與l2:x+y+3=0之間的線段恰好被點(diǎn)PA.103 B.203 C.4038.已知矩形ABCD，AB=3，AD=3，M為邊DC上一點(diǎn)且DM=1，AM與BD交于點(diǎn)Q，將△ADM沿著AM折起，使得點(diǎn)D折到點(diǎn)P的位置，則sin∠PBQ的最大值是A.13 B.33 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1A.A1B⊥AC1

B.A1B與B1C所成角的大小為45°

C.平面A1BD與平面10.已知直線l:kx?y?k+2=0，圓O:x2+yA.直線l始終與圓O相交

B.直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最大值為4

C.若直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=90°，則k=?2±6

D.若圓O上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線l11.已知空間四面體OABC，則(

)A.當(dāng)OP=12OA+14OB+14OC，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)

B.若該四面體的棱長(zhǎng)都為a，則異面直線OA，BC間的距離為22a

C.若M為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,4)，則三棱錐O?ABC的體積是__________.13.圓O:x2+y2=1與圓C14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+mx?1的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，C，記△ABC的外接圓為圓E.

①當(dāng)m=32時(shí)，圓E的一般式方程是__________;②圓四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直三棱柱ABC?A1B1C1，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，EC1(1)求證：ME//平面A(2)若△ABC是等邊三角形且AB=2BB116.(本小題15分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,5)，B(?5,?7)，C(3,?3)，求：(1)邊BC上的中線所在直線的方程;(2)邊BC上的高所在直線的方程;(3)∠ABC的角平分線所在直線的方程.17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD滿足AB⊥AD，AB⊥BC，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1.

(1)求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值;(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;(3)若點(diǎn)M為平面PBC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若DM⊥平面PBC，求CM與平面ABCD所成角的正弦值.18.(本小題17分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4(1)當(dāng)a=4時(shí)，求證：AC1(2)當(dāng)a=6時(shí)，①求四邊形ACC1②求AD1與平面A119.(本小題17分)已知圓O:x2+y2=4內(nèi)有一點(diǎn)P0(?1?,?0)，傾斜角為α的直線l(1)當(dāng)α=135°時(shí)，求(2)是否存在弦AB被點(diǎn)P0三等分？若存在，求出直線l(3)記圓O與x軸的正半軸交點(diǎn)為M，直線MA的斜率為k1，直線MB的斜率為k2，求證：k1答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了空間向量的基本定理及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由N為BC中點(diǎn)，可得ON=12(OB+OC)，由M【解答】

解：∵N為BC中點(diǎn)，

∴ON=12(OB+OC)，

∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，

2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的平移與變換，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)直線l的方程為y=kx+b，再根據(jù)題意對(duì)直線l進(jìn)行變換，即可求解．【解答】

解：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，現(xiàn)直線l沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得，y=k(x+4)+b，

再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得，y=k(x+4)+b+2，

因?yàn)榛氐皆瓉砦恢茫?k+b+2=b，故k=?12.3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查軌跡方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)出M的坐標(biāo)，直接由M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(0,3)的距離之比為12【解答】

解：設(shè)M(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(0,3)的距離之比為12，

所以x2+y2x2+(y?3)2=4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線斜率公式的應(yīng)用，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)直線l的傾斜角為α，α∈[0,π),根據(jù)直線l與連接A(?3,2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，可得tanα≥1或tanα≤?1【解答】

解：如圖所示，

設(shè)直線l的傾斜角為α，α∈[0,π),

則kPA=?1?20??3=?1，kPB=?1?10?2=1，

∵直線l與連接A(?3,2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，

∴k≥1或k≤?1，

5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】

解：直線l1：x+2ay+2=0與l2：(3a?1)x?ay?1=0平行，

則?a=2a(3a?1)，即6a2?a=0，解得a=0或16，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=16時(shí)，直線l1，l6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查求圓心坐標(biāo)，屬于一般題.

聯(lián)立兩圓方程，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，得AB的垂直平分線方程，與直線x?y?5=0聯(lián)立即可求解.【解答】

解：設(shè)圓x2+y2+6x?4=0與圓x2+y2+6y?28=0的交點(diǎn)為A、B.

聯(lián)立兩圓方程，得x2+y2+6x?4=0x2+y2+6y?28=0，解得x=?1y=3，或x=?6y=?2.

不妨記A(?1,3)，B(?6,?2)，

于是AB的中點(diǎn)為(?727.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線方程及其應(yīng)用，屬于中檔題.

設(shè)直線

l

夾在直線

l1,l2

之間的線段是

AB

(A

在

l1

上，

B

在

l2

上)，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得B坐標(biāo)，聯(lián)立兩已知直線方程，求出交點(diǎn)C坐標(biāo)，得|BC|【解答】

解：設(shè)直線

l

夾在直線

l1,l2

之間的線段是

AB

(A

在

l1

上，

B

在

設(shè)Ax1,y1,Bx2,所以

x1+x2=4,y由于

A

在

l1

上，

B

在

l2所以

2x1?y1?2=04?x1?y1+3=0

，解得

x1=3,y1=4

，即

A

3,4

，

而

P(2,0)

，則B(1,?4)，

聯(lián)立2x?y?2=0x+y+3=0?x=?13y=?8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查線面夾角，考查學(xué)生的空間想象和轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題.

分析可知PQ⊥AM,BQ⊥AM，結(jié)合垂直關(guān)系可知AM⊥平面PBQ，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系可知點(diǎn)P在以點(diǎn)Q為圓心，半徑為32【解答】

由題意可知：∠BDC=30°,∠AMD=60°，則∠DQM=90°，即BD⊥AM，

則PQ⊥AM,BQ⊥AM，PQ∩BQ=Q，PQ,BQ?平面PBQ，

所以AM⊥平面PBQ，

因?yàn)锳M是確定的直線，可知對(duì)任意點(diǎn)P，平面PBQ是同一確定的平面，

因?yàn)镻Q=DQ=32，BQ=332，

可知點(diǎn)P在以點(diǎn)Q為圓心，半徑為329.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查空間中線線、面面位置關(guān)系、夾角、距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，

A.計(jì)算A1B?AC1的值，判斷直線A1B與AC1是否垂直．

B:通過向量夾角公式計(jì)算能求出直線A1B與B1C所成角；【解答】

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

∵正方體棱長(zhǎng)為3，

∴A1(3,0,3)，B(3,3,0)，A(3,0,0)，C1(0,3,3)，C(0,3,0)B1(3,3,3),D(0,0,0),D1(0,0,3)，

對(duì)于選項(xiàng)A:

因?yàn)锳1B=0,3,?3,AC1=?3,3,3，A1B?AC1=0+9?9=0，

所以A1B⊥AC1，A正確

對(duì)于選項(xiàng)B:A1B=0,3,?3,B1C=?3,0,?3

cos<A1B,B1C>=A1B?B1CA1B?B1C=0+0+9310.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

由直線所過的定點(diǎn)在圓外部即可判斷A、B；由題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離可求C、D.【解答】解：對(duì)于A，直線

l:kx?y?k+2=0

，即

k(x?1)?y+2=0

，則直線

l

恒過定點(diǎn)

(1,2)

，∵

直線

l

恒過的定點(diǎn)

(1,2)

在圓

O:x2+y2=4

的外部，

∴

直線

l

與圓對(duì)于B，當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時(shí)，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最大，最大值為4，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，若直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=90°，

則圓心O到直線l的距離d=|?k+2|k2+1=對(duì)于D，若圓O上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，

則圓心O到直線l的距離0≤d=|?k+2|k2+1故選：BCD.11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理，空間中直線與直線的位置關(guān)系，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

對(duì)于A：根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論分析判斷；對(duì)于B：將正四面體嵌套在正方體內(nèi)，結(jié)合正方體的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：分類討論點(diǎn)N是否與點(diǎn)O重合，結(jié)合異面直線的判定定理分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合向量垂直分析判斷.【解答】

對(duì)于A：若OP=12OA+14OB+14OC，且12+14+14=1，

所以P,A,B,C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，故A正確；

對(duì)于B：若該四面體的棱長(zhǎng)都為a，可知四面體OABC為正四面體，

將其嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：

可知正方體的棱長(zhǎng)為22a，異面直線OA，BC間的距離即為正方體的棱長(zhǎng)22a，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)N在直線OC上，

若點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，則OM∩BN=O，不滿足OM//BN；

若點(diǎn)N與點(diǎn)O不重合，則BN?平面OBC，OM∩平面OBC=O，O?BN，

可知OM,BN為異面直線，不滿足OM//BN；

綜上所述：直線OC上不存在點(diǎn)N，使得OM//BN，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若OA⊥BC，12.【答案】4

【解析】【分析】本題考查棱錐的體積、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意作出圖形，利用棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.【解答】

解：作出圖形，如圖所示：

則OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，

所以三棱錐O?ABC的體積是：13×1213.【答案】x?y+2=0(【解析】【分析】本題考查關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓的方程、圓與圓的位置關(guān)系、圓的公切線，屬于中檔題.

求出(0,0)關(guān)于直線x+y?2=0對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出圓C的方程，判斷出圓O和圓C的位置關(guān)系，設(shè)與OC平行的公切線方程為y=x+b，即x?y+b=0，利用點(diǎn)到直線的距離關(guān)系，即可求出結(jié)果.【解答】

解：設(shè)(0,0)關(guān)于直線x+y?2=0對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)，

則ba=1a2+b2?2=0，解得a=b=2，

∴圓C的方程是(x?2)2+(y?2)2=1，其圓心坐標(biāo)為2,2，半徑為1，

兩圓的圓心距d=4+4=22>2，

所以兩圓外離，

且kOC=2?02?0=1，

設(shè)與OC平行的公切線方程為y=x+b，即x?y+b=0，

則由O到直線y=x+b的距離d=114.【答案】x2+y【解析】【分析】本題主要考查求圓的方程，一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．

(1)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，這與x2+32x?1=0是同一個(gè)方程，故D=32，F(xiàn)=?1.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為?1，代入得出E=0，由此求得圓E的一般方程；

(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0【解答】

解：①當(dāng)m=32時(shí)，

二次函數(shù)y=x2+32x?1的圖象與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(?2,0)，B(12,0)，C(0,?1)，

△ABC的外接圓為圓E，

設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2?4F>0)，

令y=0，得x2+Dx+F=0，由題意可得，這與x2+32x?1=0是同一個(gè)方程，

故D=32，F(xiàn)=?1.

令x=0，得y2+Ey+F=0，由題意可得，

此方程有一個(gè)根為?1，代入此方程得出E=0，

所以圓E的一般方程為x2+y2+3x2?1=0；

②設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=015.【答案】解：(1)連接A1B，

∵B1C1//BC且|B1C1|=2|BF|，

∴|C1M||MB|=|B1C1||BF|=2.

又在△A1BC1中，|EC1|=2|A1E|，

∴|C1M||MB|=|EC1||A1E|=2，∴ME//A1B.

又ME?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，

∴ME//平面A1B1BA.

(2)∵直三棱柱ABC?A1B1C1，

∴CC1⊥平面ABC，又AF?平面【解析】本題主要考查線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題.

(1)由題意可證ME//A1B，根據(jù)線面平行的判定定理可證ME//平面A1B1BA;

(2)由題意可證B16.【答案】解：

(1)記BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)锽(?5?,??7)，C(3?,??3)，所以D(?1,?5)，

又因?yàn)锳(1?,?5)，所以直線AD的方程為y?5?5?5=x?1?1?1，即5x?y=0.

(2)邊BC所在直線的斜率kBC=?3+73+5=12，

因?yàn)檫匓C上的高與BC垂直，所以邊BC上的高所在直線的斜率為?2.

又因?yàn)檫匓C上的高經(jīng)過點(diǎn)A(1?,?5)，

所以BC邊上的高所在直線的方程為y?5=?2(x?1)即2x+y?7=0.

(3)由A(1?,?5)，B(?5?,??7)可得AB的方程為y?5=2(x?1)，即2x?y+3=0.

由B(?5?,??7)，C(3?,??3)可得BC的方程為y+3=12(x?3)，即x?2y?9=0.

設(shè)∠ABC的角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，于是2x?y+322【解析】本題考查直線的斜率坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線方程的求法，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．

(1)求BC邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式寫出直線方程；

(2)求BC邊所在的直線的斜率，根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求BC邊上的高所在直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程；

(3)根據(jù)設(shè)∠ABC的角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，于是2x?y+317.【答案】解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，

又AB⊥AD，所以AB，AD，AP兩兩垂直，

以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B(2,0,0)，P(0,0,2)，D(0,1,0)，C(2,2,0)，

平面PAB的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為n2=(x,y,z)，又PD=(0,1,?2)，DC=(2,1,0)，

∴n2?PD=0n2?DC=0，∴y?2z=02x+y=0，取x=?1y=2z=1，所以n2=(?1,2,1)，

∴cos<n1，n2>=n1?n2n1n2=63，

設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為θ，θ∈[0,π2]，

所以cosθ=|cos<n1，n2>|=63.

(2)PB=(2,0,?2)，設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d，

d=|PB?n2||n2|=46=2【解析】本題主要考查二面角的向量求法，點(diǎn)到平面的距離，線面角，屬于中檔題.

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