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高等數學第2章導數與微分2.6.1微分的概念2.6.2微分的幾何意義2.6.3微分公式與微分法則2.6.4微分在近似計算中的應用

2.6微分所以當時，

例１一正方形金屬薄片的下邊和左邊固定后受熱膨脹，其邊長從2.6.1微分的概念

Δxx0變到，問此薄片的面積增加了多少？解當邊長為時，面積相應增量為

又因為所以由此引入函數微分的概念．定義3設在某區間內有定義，如果函數的增量可以表示為：其中A是與無關的常數，而是當時比高階的無窮小，則稱函數

在點處可微，并稱

叫做函數

在點處的微分，記作

，即

（1）因為函數在點

的增量為

所以

．于是我們把（1）式寫成（2）定理1函數在點處可微函數

在點處可導，且

，即在（3）式的兩邊除得（4）（3）在點處可微定理2函數

在點處可導，且

或（6）（5）所以導數也叫微商，這種符號在前面已引進，現在可以知道其真實的含義了．例如由（5）式，函數，的微分分別為：例2求函數在點處的微分．解由于，，

所以，由（3）式，在點處的微分為NTMP6.2微分的幾何意義如圖所示，就是曲線y=f(x)在點P

處切線的縱坐標的增量，而

y就是曲線y=f(x)的縱坐標的增量.xx+

xy=f(x)yxaOPN=dx，NM=

y，所以dy

=NT，NT=PNtan

=f

(x)dx，即函數y=f(x)的微分dyMNPNTNdy

1．基本初等函數的微分公式導數公式

微分公式２．函數和、差、積、商的微分法則函數和、差、積、商求導法則函數和、差、積、商微分法則3．復合函數的微分法則例3設，求．解把看成中間變量，則與復合函數求導運算一樣，對復合函數的微分也不必寫出中間變量，而直接按照“逐層微分”的方法逐層求出．例4設，求．解例5求函數的微分．解

例6

將下列括號內填入適當的函數，使等式成立．(1)．；

解

(1)．因為，所以即一般地，

(C為任意常數)．．所以填

(2)．

解．因為，所以即一般地，有，(C為任意常數)．．所以填2.5.4微分在近似計算中的應用1．計算函數增量的近似值如果函數在點處的導數，且很小時，有例7在一批半徑為的金屬球的表面鍍一層厚度為的銅．估計一下每只球需

用銅多少克？(銅的密度是8．9g/cm3)．解球的半徑為，增量為設球的體積函數的增量

時，．則需銅的體積是于是鍍每只球需用銅約為：(克)．

2．計算函數值的近似值計算公式為：例8求的近似值．解這就是求函數當，時的近似值．因為所以即

例9微分計算的近似值．解

，設，則．取，則由公式有如果在（2）式中取,便得應用（3）可以推出下列工

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