第05講數列章節總結(精講）一、數列求通項題型一：數列前項和法題型二：數列前項積法題型三：累加法；累乘法題型四：構造法題型五：倒數法題型六：隔項等差(等比）數列二、數列求和題型一：倒序相加法題型二：分組求和法題型三：裂項相消法題型四：錯位相減法題型五：奇偶項討論求和題型六：插入新數列混合求和一、數列求通項題型一：數列前項和法例題1．設正項數列的前項和為，且.求的通項公式；【答案】(1)當時，，即，解得或（舍），∴，因為，所以當時，，∴，∴.∵，∴，∴是以7為首項，3為公差的等差數列，∴.例題2．已知數列的前項和為，，且，．求數列的通項公式；【答案】(1)當時，，故，又，且，，滿足，故數列為公差為3的等差數列，通項公式為，例題3．已知數列的首項，前項和為，且滿足．求及；【答案】(1)；由，得．因為，所以．又①，②，①②得即．又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．故．例題4．已知數列滿足．求數列的通項公式；【答案】(1)(2)⑴

①

②①②可得當時，數列的通項公式為例題5．已知數列滿足：，．求數列的通項公式；【答案】（1）（）．（2）證明見解析由已知得由，①得時，，②①②得∴，也適合此式，∴（）．例題6．各項均為正數的數列的前項和為，，數列為等比數列，且.(1)求數列?的通項公式；【答案】(1)，∵①，∴，∵，∴當時，②，由①②得∴，又，∴，∴數列是公差為1，首項為1的等差數列.∴∵，，數列為等比數列，∴例題7．設數列滿足，.求數列的通項公式；【答案】（1）；因為，，①所以當時，.當時，，②①②得，．所以.因為，適合上式，所以.例題8．已知正項數列滿足，前n項和滿足求數列的通項公式；【答案】(1)；解：∵∴∴，∴是以1為首項，1為公差的等差數數列，∴，即，當時，，當時，也成立，∴.例題9．已知數列的前n項和，滿足，.求證：數列是等差數列；【答案】(1)證明見解析證明：∵∴由已知易得，∴∴數列是首項，公差為的等差數列；例題10．已知首項為1的數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；【答案】(1)依題意，，故，因為，所以，又，所以是首項為1，公差為1的等差數列，所以，．當時，，又當n＝1時，也滿足上式，所以．題型二：數列前項積法例題1．數列的前項和為，數列的前項積為，且．求和的通項公式；【答案；當時，，當時，，所以，因為，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，所以；當時，，當時，，時也符合，所以．例題2．已知數列滿足．求數列的通項公式：【答案】(1)；由題意，數列滿足，則：當時，，得：，當時，，所以：．由于：，所以：，則：．例題3．設各項為正數的數列的前項和為，數列的前項積為，且．(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2)(1)當時，，即，則，當時，由得：，所以，所以數列是以為首項，2為公差的等差數列.(2)由（1）可知，解得，所以，經檢驗，滿足，，當時，，由（1）知，綜上所述，例題4．已知數列的前n項積.(1)求數列的通項公式；(2)記，數列的前項為，求的最小值.【答案】(1)(2)(1).當時，；當時，，也符合.故的通項公式為.(2)，，是以為首項，2為公差的等差數列，，當時，的最小值為.例題5．設首項為2的數列的前項積為，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，即，由累乘法得，，當時，也滿足上式，∴.(2)由（1）知，，∴，則例題6．已知數列的前項積，數列為等差數列，且，．(1)求與的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)，．(2).(1)解：因為數列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數列為等差數列，且，，所以，即，所以數列的公差為，所以，所以，．(2)解：由（1）得，所以，，所以，所以.題型三：累加法；累乘法例題1．（1）已知數列是正項數列，，且．求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，，．求數列的通項公式．【答案】（1）；（2）.解：（1）由，得，對任意的，，則，則，所以，數列是公比為的等比數列，，；（2）由，得：，又，所以，數列是以為首項，為公比的等比數列，得，當時，，，，，累加得，，則，也滿足，故對任意的，.例題2．已知數列的前項和為，且滿足，數列滿足，，.(1)求數列，的通項公式；【答案】(1)，，由，得當時，，當時，，兩式相減得，，數列是首項為2，公比為2的等比數列，.由，，，，得，，…，，累加得，，.例題3．已知數列的前項和為，已知，且當，時，．(1)證明：數列是等比數列；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：由題意，當時，∴，整理，得，∵，∴，∴，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列；(2)由（1）知，，則，，，…，，各項相加，可得，當也成立，1，，故，綜上，.例題4．已知數列滿足，，.(1)求的通項公式.【答案】(1)(1)解：由，得，，…，，由累加法得，所以，又滿足，又因為，所以.例題5．數列滿足，，．（，）．(1)證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；【答案】(1)證明見解析，(1)解：由，得，，又，則，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，當時，，則=，又當時，符合上式，∴．例題6．已知數列滿足：且.(1)求數列的通項公式；【答案】(1)由已知以及可知，從而有，根據累乘法得：，整理得：，由于該式對于也成立，于是數列的通項公式為：；例題7．數列與滿足，且，．(1)若是等比數列，，求的前項和；(2)若是各項均為正數的等比數列，前三項和為14，求的通項公式．【答案】(1)(2)(1)設的公比為q，，，∴∴，∴數列是等差數列，且公差，前n項和．(2)設的公比為p，則，且得，，則．即，∴．符合上式，∴．例題8．已知是數列的前n項和，，且當時，成等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，若，求正整數的值．【答案】(1)；(2).(1)由題意知當時，，∴，整理得，由，∴，經檢驗，也符合．∴當時，．由也滿足，∴數列的通項公式為．(2)由（1）得，∴．由，得.例題9．已知等差數列的前項和為，滿足，．數列滿足，，．(1)求數列，的通項公式；【答案】(1)；；(1)設等差數列的公差為d，由題意可得：，解得：，所以，所以數列的通項公式為；因為數列滿足，，，所以當時，，又滿足，所以數列的通項公式為.例題10．數列滿足：；數列滿足：，且.求數列和的通項公式；【答案】(1)，當時，;當時，與條件等式兩邊相減，得所以.所以=1,.故有所求通項公式分別為和題型四：構造法例題1．設數列的前項和．求數列的通項公式；【答案】(1)因為，①時，，時，②①②得，所以，，所以數列是為首項，為公比的等比數列，故例題2．已知數列的首項，且滿足（），求數列的通項公式.【答案】由，得，因為，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，所以.例題3．已知數列中，，，求數列的通項公式.【答案】∵，∴，∴數列是等差數列，公差為，又，∴，∴.例題4．設數列滿足：.求數列的通項公式.【答案】.由知：，而，∴數列是首項、公差為的等差數列，即，∴.例題5．已知數列滿足.求數列的通項公式；【答案】（1）；（2）.解：由，可得=1，則數列是首項為=1，公差為1的等差數列，則=，即；例題6．已知數列的前項和為，其中，滿足．證明數列為等比數列；【答案】（1）證明見解析；由可得，因為，所以所以數列是首項為2，公比為2的等比數列例題7．已知數列中，．證明數列是等比數列并求數列的通項公式；【答案】證明見解析；．解：因為，所以．所以，且．所以數列是以為首項，3為公比的等比數列．因此，所以．題型五：倒數法例題1．已知數列中，，證明：數列是等比數列【答案】（1）證明見解析；證明：由，知又，∴是以為首項，3為公比的等比數列例題2．設數列的前項和為，已知，.求數列的通項公式；【答案】（1）；（1）由可得：，即，，數列是以為首項，為公比的等比數列，，整理可得：.例題3．已知數列滿足，.求數列的通項公式；【答案】（Ⅰ）；，，又，所以是以為首項，以為公比的等比數列，，；例題4．在數列中，求數列的通項；【答案】（1）解：（1）由已知得：，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，，例題5．在數列中,,并且對于任意,都有.證明數列為等差數列,并求的通項公式;【答案】（1）答案見解析,（2）,即:,數列是首項為,公差為的等差數列.根據等差數列通項公式可得:,故:.題型六：隔項等差(等比）數列例題1．設各項均不等于零的數列的前項和為，已知.求的值，并求數列的通項公式；【答案】(1)，，因為，當時，，所以，當時，，所以，又因為，當時，，兩式相減得：，又因為，所以，當為偶數時，的奇數項是以為首項，公差為4的等差數列，所以，當為奇數時，的偶數項是以為首項，公差為4的等差數列，所以，所以，.例題2．已知數列的前項和，，，．計算的值，求的通項公式；【答案】(1)，解：當時，，解得，由題知①，②，由②①得，因為，所以，于是：數列的奇數項是以為首項，以4為公差的等差數列，即，偶數項是以為首項，以4為公差的等差數列，即所以的通項公式；例題3．已知數列各項都不為，且滿足，(1)求的通項公式；【答案】(1)；①當時，②①②的奇數項和偶數項各自成等差數列且為奇數），（為偶數例題4．設數列的前項和為，且滿足（為常數）.(1)若，求.(2)是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，解：（1）由可得，兩式相減可得，即.若，則，所以.(2)解：存在，使得數列為等差數列.理由如下.當時，，得；當時，，得；當時，，得.假設存在，使得為等差數列，則，解得，所以，則，從而，故數列的奇數項構成等差數列，偶數項也構成等差數列，且公差均為2.當為偶數時，；當為奇數時，.所以，，故符合題意.例題5．（2022·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）已知數列滿足，，.求數列的通項公式；【答案】(1)解：由題意，當時，，可得，因為，可得，所以，，所以數列的奇數項和偶數項都是公比為的等比數列.所以當為奇數時，設，則，當為偶數時，設，則.因此，.例題6．（2022·浙江省富陽中學高三階段練習）數列滿足，求數列的通項公式；【答案】(1)依題意，數列滿足，，兩式相除并化簡得，，所以是公比為的等比數列，其中的首項為，的首項為.所以，所以.二、數列求和題型一：倒序相加法例題1．已知函數，數列的前項和為，點均在函數的圖象上，函數.(1)求數列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數列的前2020項和.【答案】(1)(2)(3)(1)因為點均在函數的圖象上，所以，當時，，當時，，適合上式，所以.(2)因為，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因為，②因為，所以①②，得，所以.例題2．（2021·全國·高二）已知數列的前n項和，函數對任意的都有，數列滿足．（1）分別求數列、的通項公式；【答案】（1），；（2）存在，．（1），，，時滿足上式，故（），∵，∴，∵①∴②∴①+②，得，∴.例題3．（2020·河南大學附屬中學高二階段練習）已知函數，設數列滿足，且.（1）求數列的通項公式；（2）若記，2，3，，，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.（1）因為，所以由得，所以，，所以是首項為2，公差為2的等差數列，所以，所以.（2）由（1）知，則，，，所以，，，兩式相加，得：，所以.例題4．（2021·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，函數對任意的都有，數列滿足….（1）求數列，的通項公式；【答案】（1），（2）（1）因為即當時，，當時，，，即是等比數列，首項為，公比為，；因為，.故….….①+②，得，題型二：分組求和法例題1．已知數列是等差數列，是等比數列，，，，.(1)求、的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)，(2)(1)設等比數列的公比為，則，；又，，設等差數列的公差為，則，.(2)由（1）得：；.例題2．已知等差數列的前項和為，數列為正項等比數列，滿足，，是與的等差中項．(1)求數列，的通項公式；(2)若，是數列的前項和，求．【答案】(1)，；(2).(1)設等差數列的公差為d，依題意可知：，所以數列的通項公式為，設等比數列的公比為q，依題意可知：，又，所以，又，∴，所以數列的通項公式為；(2)由（1）可知：所以.例題3．已知等差數列的前項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前項和．【答案】(1)；(2).(1)解：設數列的公差為，由題意知，解得.所以.(2)解：，所以，例題4．已知是等差數列，其前項和為，若，成等比數列.(1)求的通項公式；(2)設數列的前項和為，求.【答案】(1)(2)(1)設數列的公差為，則,∵成等比數列，∴，∴，∴，得：或（舍去），∴.(2)由于，所以.題型三：裂項相消法例題1．已知公差不為零的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(1)設公差為，因為，，成等數列，所以，即，解得，或（舍去），所以;(2)證明：由（1），所以，，所以．例題2．已知數列對任意的都滿足．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前項和為．【答案】(1)(2)(1)解：∵，∴當時，，當時，，從而有，即當時，，又滿足上式，故數列的通項公式為．(2)解：由題可知，，所以，，所以.例題3．等比數列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)設數列公比為，由，，可得，化簡得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..例題4．已知數列的前項和為，若.(1)求證：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；(2)令，設數列的前項和為，若，求的最小值.【答案】(1)證明見解析，(2)3(1)證明：由：①時，得.時：②①②即.，數列是首項為2公比為2的等比數列..(2)由（1）得，所以，若，n的最小值為3.例題5．設等比數列滿足，．(1)求的通項公式；(2)若，記數列的前項和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：設公比為，由，，所以，解得，，所以．(2)解：由（1）及，所以，所以因為，即單調遞增，所以，又，所以，即；例題6．已知數列中，．(1)證明：為等比數列，并求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析；(2)(1)解：，即為·······①，又，········②，①②得，即，又當時，，故；從而，所以是首項為1，公比為2的等比數列；(2)由（1）得，所以，.例題7．已知數列和的通項公式：，(1)求數列的前項和．(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)，，，相減得，所以．(2)因為，所以例題8．已知等差數列{}的公差為2，前項和為，且，，成等比數列.(1)求數列{}的通項公式；(2)令，設數列{}的前項和，求.【答案】(1)(2)(1)因為等差數列{}的公差為2，前n項和為，所以，因為，，成等比數列，由題意得，解得，所以(2)由題意可知，當n為偶數時，所以.例題9．已知等差數列的前項和為，且，；數列的前項和，且，數列的，．(1)求數列、的通項公式；(2)若數列滿足：，當時，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析(1)解：因為，由，得，所以，即，設等差數列的公差為d，所以，所以．由，，得，，兩式相減得，即，又，所以數列是以1為首項、2為公比的等比數列，則；(2)由（1）知：，，∴．題型四：錯位相減法例題1．已知是等差數列，是等比數列，且，，，．(1)求、的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)(1)設公差為d，公比為q，則，，，∴．又∵，，∴，．(2)，∴，，則，兩式相減得，則，．例題2．設數列的前項和滿足（），且.(1)求證：數列是等比數列；(2)若，求數列的前項和【答案】(1)證明見解析；(2).(1)∵，∴，兩式相減得，又且，解得，即.∴，即，又，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列.(2)由（1）知，∴，則，①②得：，故.例題3．設數列的前項和為，若．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)；(2).(1)因為．所以，解得．當時，，所以，所以，即．因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以．(2)由（1）知，所以，所以…①…②①②得，所以．例題4．若數列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)因為數列滿足，，，所以.所以數列為等比數列，設其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①②得：所以例題5．已知數列滿足，且.(1)求，，并猜想的通項公式；(2)用數學歸納法證明（1）的猜想結果；(3)設數列滿足，求數列的前項和.【答案】(1)，，猜得：(2)證明見解析(3)(1)因為，且，所以令，則，得，令，則，得，猜得：.(2)證明：（i）時，猜想成立，（ii）假設時猜想成立，即，則時，由，解得，即時猜想成立，綜上，時，猜想成立，即.(3)由已知得，則記為①式記為②式①式與②式相減得：，整理得，所以.例題6．已知各項均為正數的等比數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)設等比數列的公比為，當時，，所以，，無解．當時，，所以解得，或，（舍）．所以．(2)．所以①，則②，①－②得，．所以．題型五：奇偶項討論求和例題1．設各項非零的數列的前項和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數列為等差數列并求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)；證明見解析；(2)(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當時，，所以有化簡得：，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列所以(2)由(1)可知當時，當時，則，①當是奇數時，②當是偶數時，綜上所述：例題2．已知數列滿足，.(1)證明：數列為等比數列.(2)求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：因為，，所以，所以數列是首項為4，公比為4的等比數列；(2)解：由（1）可得，即，則.當n為偶數時，，則，當n為奇數時，則，綜上所述，.例題3．設數列的前項和為，滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求的表達式【答案】（1）；（2）.（1）當時，，即，當時，，即，因此，所以即，經檢驗，時成立，所以．（2），所以，當n為偶數時；當n為奇數時，．綜上所述，．例題4．已知等差數列滿足：，.（1）求的通項公式；（2）若數列滿足：，求的前項和.【答案】（1）；（2）為偶數，；為奇數，；（1）設等差數列的公差為，由，，得，解得，，故的通項公式為.（2）由于，①若為偶數，結合，得；②若為奇數，則.綜上，當為偶數時，，當為奇數時，.例題5．記數列的前項和為，已知.（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前項和為，求【答案】（1）；（2）（1）當時，由，可得，即有當時，，即為，可得，顯然，.所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，則，即有（2）當為偶數時當為奇數時，綜上可得，題型六：插入新數列混合求和例題1．數列的前項和為，數列滿足，且數列的前項和為．(1)求，并求數列的通項公式；(2)抽去數列中點第1