第十章概率全章總結(精講）一、知識脈絡二、重點題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨立事件2、古典概型3、相互獨立事件概率的計算4、概率的綜合應用5、高考真題感悟一、知識脈絡二、重點題型精講1、互斥事件、對立事件與相互獨立事件1．(多選）（2022·湖南永州·三模）已知事件與事件為互斥事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則（

）A． B．C． D．事件與事件不獨立2．（2022·全國·高二課時練習）設M，N為兩個隨機事件，給出以下命題：①若M，N為互斥事件，且，，則；②若，，，則M，N為相互獨立事件；③若，，，，則M，N為相互獨立事件；④若，，，則M，N為相互獨立事件；⑤若，，，則M，N為相互獨立事件．其中正確命題的個數為______．3．（2022·全國·高二課時練習）某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統，簡稱系統A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為和p．(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求p的值；(2)求系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數的概率．4．（2022·重慶·模擬預測）冰壺被喻為冰上的“國際象棋”，是以團隊為單位在冰上進行的投擲性競賽項目，每場比賽共10局，在每局比賽中，每個團隊由多名運動員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊員交替擲壺，可擊打本方和對手冰壺，以最終離得分區圓心最近的一方冰壺數量多少計算得分，另外一方計零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運動考驗參與者的體能與腦力，展現動靜之美，取舍之智慧．同時由于冰壺的擊打規則，后投擲一方有優勢，因此前一局的得分方將作為后一局的先手擲壺．已知甲、乙兩隊參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手擲壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手擲壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場比賽中，前面已經比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；(2)求當十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．5．（2022·全國·高二課時練習）甲、乙、丙三人分別獨立地進行某項技能測試，已知甲能通過測試的概率是，甲、乙、丙三人都能通過測試的概率是，甲、乙、丙三人都不能通過測試的概率是，且乙通過測試的概率比丙大．求乙、丙兩人各自通過測試的概率．6．（2022·全國·高二課時練習）甲、乙兩人進行圍棋比賽，甲獲得比賽勝利或平局的概率為0.7，乙獲得比賽的勝利或平局的概率為0.4．(1)求甲獲得比賽勝利的概率；(2)求甲、乙兩人獲得平局的概率.7．（2022·內蒙古通遼·二模（理））盲盒，是指消費者看不見里邊所裝物品的盒子，具有隨機屬性，只有打開才會知道自己抽到了什么．現有9個盲盒，每一個都裝有1個商品，里邊商品價值不超過10元的有5個，超過10元的有4個．現有甲、乙兩人輪流取出1個盲盒拆開，甲先取，取后拆開不放回，直到兩人中有一人取到裝有超過10元商品的盲盒時終止，每個盲盒每一次被取出的機會是均等的．(1)求取盲盒3次即終止的概率；(2)求甲取到裝有超過10元商品的盲盒的概率．8．（2022·福建龍巖·高二期中）在箱子中有大小相同，僅顏色不同的小球共6個，其中紅色小球2個，白色小球4個．現從箱子中每次隨機取出一個小球，若取出的是白球，放回，并繼續從箱子中隨機取出一個小球；若取出的是紅色小球，不放回，并繼續從箱子中隨機取出一個小球．直到取出2個紅色小球結束．(1)若在第一次取出的小球是紅球的條件下，求取球4次結束的概率；(2)求取球結束時，取球次數不超過3次的概率．2、古典概型1．（2022·全國·模擬預測（文））針對長江經濟帶河湖保護中存在的突出問題，水利部門出臺了一系列指導和保護措施，取得了積極成效.為了解當地居民對長江及沿岸生態環境的保護意識，分別從長江沿岸的兩地居民中各隨機抽取了20位居民進行問卷調查，并將調查問卷的成績進行統計，得到如下數據：甲地得分：79，60，80，96，89，54，74，72，65，52，61，85，61，81，79，74，53，68，68，53.乙地得分：80，86，73，60，52，96，77，93，75，99，81，67，55，77，74，97，85，77，99，78.(1)根據表中數據繪制莖葉圖并大致判斷甲?乙兩地哪個地區居民的環保意識相對較高，并說明理由；(2)現從90分以上的調查問卷中隨機抽取2份進行分析，求這2份問卷中至少有1份來自甲地的概率.2．（2022·廣西梧州·高一期中）為進一步加強中華傳統文化教育，提高學生的道德素養，培養學生的民族精神，更好地讓學生傳承和發揚中國傳統文化和傳統美德，某校組織了一次知識競賽．現對參加活動的1280名學生的成績(滿分100分)做統計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．請大家完成下面問題：(1)求參賽同學的平均數與中位數(小數點后保留2位)(以每個區間的中點作為本區間的取值)；(2)若從該校80分至100分之間的同學按分層抽樣抽取一個容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．3．（2022·四川德陽·三模（文））第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會”.某媒體通過網絡隨機采訪了某市100名關注“北京冬奧會”的市民，其年齡數據繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)已知[30，40）?[40，50）?[50，60）三個年齡段的人數依次成等差數列，求的值；(2)該媒體將年齡在[30，50）內的人群定義為高關注人群，其他年齡段的人群定義為次高關注人群，為了進一步了解其關注項目.現按“關注度的高低”采用分層抽樣的方式從參與采訪的100位關注者中抽取5人，并在這5人中隨機抽取2人進行電視訪談，求此2人中恰好來自高關注人群和次高關注人群各一人的概率.4．（2022·江蘇·星海實驗中學高一期中）飲用水水源的安全是保障飲用水安全的基礎，全民積極維護飲用水水源安全，保障安全飲水.同時，國家提倡節約用水，各地積極開展節水?用水安全活動.為了提高節水用水意識，蘇州市某校開展了了“節約用水，從我做起”主題競賽活動，從參賽的學生中隨機選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計該校此次參賽學生成績的平均分（同一組數據用該組區間的中點點值代表）；(2)在該樣本中中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學生中隨機抽取6人調查他們的答題情況，再從這6人中隨機抽取3人進行深入調研，求這3人中至少有1人的成績低于55分的概率.5．（2022·全國·高二單元測試）根據空氣質量指數（AQI，為整數）的不同，可將空氣質量分級如下表：AQI級別一級二級三級四級五級（A）五級（B）現對某城市30天的空氣質量進行監測，獲得30個AQI數據（每個數據均不同），統計繪得頻率分布直方圖如圖所示．(1)請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數；(2)若從獲得的“一級”和“五級（B）”的數據中隨機選取2個數據進行復查，求“一級”和“五級（B）”數據恰均被選中的概率；(3)假如企業每天由空氣污染造成的經濟損失S（單位：元）與AQI（記為）的關系式為．若將頻率視為概率，在本年內隨機抽取一天，試估計這天的經濟損失S不超過600元的概率．6．（2022·貴州·遵義四中高一期末）2021年秋季學期，某省在高一推進新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數學老師中抽取了100名老師并統計他們的測試分數，將成績分成五組，第一組[65，70），第二組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值以及這100人中測試成績在[80，85）的人數；(2)估計全市老師測試成績的平均數（同組中的每個數據都用該組區間中點值代替）和第50%分數位（保留兩位小數）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率．7．（2022·天津市寧河區蘆臺第一中學高一階段練習）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，現從參與調查的人群中隨機選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求樣本中第3組人數；(2)根據頻率分布直方圖，估計參與調查人群的樣本數據的平均數和第80百分位數；(3)若從年齡在的人中隨機抽取兩位，求至少有一人的年齡在內的概率.3、相互獨立事件概率的計算1．（2022·湖南·高二課時練習）一只不透明的口袋內裝有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍的3個球．試分別判斷（1）（2）中的A，B是否為相互獨立事件．(1)“從口袋內有放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內有放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.(2)“從口袋內無放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內無放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.2．（2022·廣東茂名·高二期末）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環節，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機抽取2道題作答，若甲每道題答對的概率為，乙每道題答對的概率為，且甲乙答對與否互不影響，各題的結果也互不影響.求：（1）甲至少抽到1道填空題的概率；（2）甲答對的題數比乙多的概率.3．（2022·全國·高一課時練習）甲?乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7?0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲?乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率.4．（2022·全國·高二學業考試）計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.（1）假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.5．（2022·全國·高二課時練習）設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用設備相互獨立，（1）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；(2)實驗室計劃購買k臺設備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設備的人數大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.4、概率的綜合應用1．（2022·全國·高三專題練習）下列結論正確的是()A．對事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1B．若事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療,結果有380人有明顯的療效,現有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計其會有明顯療效可能性為76%D．某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎2．（2022·全國·高三專題練習（文））從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率是______3．（2022·廣西百色·高二期末（文））為了解某校今年高一年級女生的身體素質狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學生進行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優秀．把獲得的所有數據，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在9米到11米之間．(1)求實數的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生自不同組的概率．4．（2022·貴州·六盤水市第一中學模擬預測）對某電子元件進行壽命追蹤調查，所得情況如下頻率分布直方圖.（1）圖中縱坐標處刻度不清，根據圖表所提供的數據還原；（2）根據圖表的數據按分層抽樣，抽取個元件，壽命為之間的應抽取幾個；（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個元件，求事件“恰好有一個壽命為，一個壽命為”的概率.5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負者稱為“負者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負的可能性相同.（Ⅰ）求甲獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.5、高考真題感悟1．（2020·海南·高考真題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%2．（2019·全國·高考真題（文））兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是A． B． C． D．3．（2019·全國·高考真題（文））生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．4．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是_____.5．（2019·全國·高考真題（文））我國高鐵發展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10