第二章函數第三節函數的奇偶性、周期性、對稱性1．(2024·廣東模擬)已知函數f(x＋1)的圖象關于點(1，1)對稱，則下列函數是奇函數的是()A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋2)＋1C．y＝f(x)－1 D．y＝f(x＋2)－12．已知偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)＝2－xx+1，則f(x－A．(0，2) B．1C．(－∞，0)∪(2,＋∞) D．－3．(2024·南通模擬)雙曲函數起初用來描述一些物理運動過程，后來又大量應用于計算機科學、經濟和金融領域．若雙曲正切函數為tanhx＝ex－e－xA．是偶函數，且在R上單調遞減B．是偶函數，且在R上單調遞增C．是奇函數，且在R上單調遞減D．是奇函數，且在R上單調遞增4．若f(x)＝e－x－aex為奇函數，則f(x)≤1eA．(－∞，2] B．(－∞，1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)5．(2024·濰坊模擬)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋1)為偶函數，f(x＋4)＝f(－x)，則()A．函數f(x)為偶函數B．f(3)＝0C．f1D．f(2023)＝06．(多選題)已知函數f(x)＝2sinx，下列結論正確的有()A．f(x)是周期函數B．f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)的值域為－D．f(x)在區間－π7．(多選題)已知函數f(x)為R上的奇函數，f(1＋x)為偶函數，則()A．f(－2－x)＋f(x)＝0B．f(1－x)＝f(1＋x)C．f(x＋2)＝f(x－2)D．f(2023)＝08．偶函數f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，若f(4)＝2，則f(－2)＝________.9．若f(x)是R上的偶函數，且在0，12上單調遞減，則函數f(x)的解析式可以為f(x10．周期為4的函數f(x)滿足f(x)＝f(4－x)，且當x∈[0，2]時f(x)＝x3－1，則不等式f(x)≤0在[－2，2]上的解集為________.高考模擬11．定義在R上的偶函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，且flog214＝0，則滿足xf(x－4)≥A．(－∞，0)∪[2，6]B．(－∞，0]∪[2，6]C．(－∞，0)∪[4，6]D．(－∞，0]∪[4，6]12．(多選題)函數f(x)的定義域為R，且f(x－1)與f(x＋1)都為奇函數，則下列說法正確的是()A．f(x)是周期為2的周期函數B．f(x)是周期為4的周期函數C．f(x＋2)為奇函數D．f(x＋3)為奇函數13．已知函數f(x)滿足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，g(x)＝3x－1x－2，且f(x)與g(x)的圖象交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，則x1＋x2＋…＋x8＋y1＋y2A．20 B．24C．36 D．40函數y＝[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，則對于函數f(x)＝|x－[x]|，有下列說法：①f(x)的值域為[0，1)；②f(x)是以1為周期的周期函數；③f(x)是偶函數；④f(x)在區間[1，2)上單調遞增．其中，正確的命題序號為________.答案解析1、D解析：由題意知，將函數f(x＋1)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得函數關于點(0，0)對稱，則所得函數為奇函數，所以y＝f(x＋2)－1為奇函數．故選D．2、C3、D解析：令f(x)＝ex－e－xex+e－x，定義域為R，因為f(－x)＝e－x–exe－x+4、D解析：由f(x)＝e－x－aex為奇函數，得f(－x)＋f(x)＝(ex＋e－x)－a(e－x＋ex)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝e－x－ex，易知函數f(x)是R上的減函數．不等式f(x)≤1e－e等價于f(x)≤f(1)，因此x≥1，所以不等式f(x)≤1e－e的解集為[1，＋5、A解析：因為f(x＋1)為偶函數，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以f(x＋2)＝f(－x)．又因為f(x＋4)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關于x＝2對稱，所以由fx+4＝f－x，fx+2＝f－x，得f(x＋4)＝f(x＋2)，即f(x＋2)＝f(6、AD解析：對于A，因為f(x＋2kπ)＝2sin(x+2kπ)＝2sinx＝f(x)(k∈Z)，所以f(x)是周期函數，所以A正確；對于B，因為f(－x)＝2sin(－x)＝2－sinx＝12sinx≠－f(x)，所以f(x)不是奇函數，所以對于C，因為－1≤sinx≤1，所以2－1≤2sinx≤21，即12≤f(x)≤2，所以函數f(x)的值域為1對于D，令t＝sinx，則y＝2t，因為t＝sinx在－π2，π2上單調遞增，y＝2t在R上單調遞增，所以f7、BC解析：因為f(x)為R上的奇函數，所以f(－x)＝－f(x)．因為f(1＋x)為偶函數，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，故B正確．由f(－x＋1)＝f(x＋1)，可得f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x)．因為f(－2－x)＋f(x)＝f(x)－f(x＋2)，其結果不一定為零，故A不正確．由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，故C正確．由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，所以f(2023)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)，因為f(1)從題意無法得出，故D不正確．故選BC．8、2解析：(方法一)由函數f(x)為偶函數，得f(－2)＝f(2)．由函數f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，得f(2)＝f(4)＝2，所以f(－2)＝2.(方法二)由函數f(x)為偶函數及函數f(x)的圖象關于直線x＝3對稱，得f(x)的周期T＝2×|3－0|＝6，則由周期性，得f(－2)＝f(4)＝2.9、－x2(答案不唯一)解析：若f(x)＝－x2，則f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，故f(x)為偶函數，且易知f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，故f(x)在0，10、[－1，1]解析：因為f(x)的周期是4，則f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數．當x∈[0，2]時，f(x)＝x3－1是增函數，且f(1)＝0，所以不等式f(x)≤0可化為f(|x|)≤f(1)，所以|x|≤1，即－1≤x≤1.11、B解析：定義在R上的偶函數f(x)在(－∞，0]上單調遞增，可得f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，又log214＝f(－則當－2≤x≤2時，f(x)≥0；當x≤－2或x≥2時，f(x)≤0.又xf(x－4)≥0等價為x≥0即x≥0解得2≤x≤6或x≤0.故選B．12、BD解析：因為函數f(x)的定義域為R，且f(x－1)與f(x＋1)都為奇函數，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，f(x)＝－f(－x＋2)，所以f(－x－2)＝f(－x＋2)，即f(x＋4)＝f(x)，故B正確，A錯誤；因為f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，且f(x－1)為奇函數，所以f(x＋3)為奇函數，故D正確；因為f(x＋1)為奇函數，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，則f(x＋2)＝－f(－x)，f(－x＋2)＝－f(x)，因為f(x)的奇偶性不確定，所以無法判斷f(x＋2)是否為奇函數，故C錯誤．13、D解析：由于函數f(x)滿足f(2－x)＋f(2＋x)＝6，當x＝0時，f(2)＝3，所以f(x)關于(2，3)中心對稱．由于g(x)＝3x－1x－2＝3x－2+5x－2＝3+5x－2，所以g(x)關于(2，3)中心對稱，故f(x)和g(x)都關于(2，3)中心對稱．所以f(x)與g(x)的圖象交點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，兩兩關于(2，3)對稱．所以x1＋x214、①