第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市黃浦區盧灣高級中學高三（上）期中數學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是(

)A.1a<1b B.ac22.已知函數y=f(x)在區間[a,b]內的圖象為連續不斷的一條曲線，則“f(a)?f(b)<0”是“函數y=f(x)在區間[a,b]內有零點”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知三棱錐P?ABC的頂點都在半徑為53的球面上，AB=1，BC=3，AC=2，則三棱錐P?ABC體積的最大值為A.32 B.1 C.34.已知f(x)是定義在R上的偶函數，若?x1、x2∈[0,+∞)且x1≠x2時，f(x1A.[?2,1] B.[0,1] C.[0,2] D.[?2,2]二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知集合A={0,2,4}，B=(0,+∞)，則A∩B=______．6.直線x+y?1=0的傾斜角為______．7.已知z∈C，若z?i=1?2i(i為虛數單位)，則|z|=______．8.(x?1)10的展開式中x9的系數為______.(9.已知cosα=35，α是第四象限角，則tanα=______．10.已知f(x)=1?e?x,x>0,ex+m,x<0,若定義在(?∞,0)∪(0,+∞)11.將一個斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的表面積為

．12.數據7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位數為______．13.若向量a，b滿足(a+b)?b=7，且|a|=14.新冠病毒爆發初期，全國支援武漢的活動中，需要從A醫院某科室的6名男醫生(含一名主任醫師)、4名女醫生(含一名主任醫師)中分別選派3名男醫生和2名女醫生，要求至少有一名主任醫師參加，則不同的選派方案共有______種．(用數字作答)15.已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3=8，記bm為{an}16.設點P(x1,y1)在橢圓x28+三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題15分)

在△ABC中，a=5，b=6．

(1)若cosB=?45，求A和△ABC外接圓半徑R的值；

(2)若△ABC的面積S=15718.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．

(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；

(2)設AB=2，若四棱錐P?ABCD的體積為83，求點A到平面PBD的距離．19.(本小題15分)

流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發生流感，據統計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月k+1(9≤k≤29,k∈N?)日起每天的新感染者比前一天的新感染者減少20人．

(1)若k=9，求11月1日至11月10日新感染者總人數；

(2)若到11月30日止，該市在這30天內的新感染者總人數為11940人，問11月幾日，該市新感染者人數最多？并求這一天的新感染者人數．20.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為F(1,0)，點(?1,22)在橢圓C上，過點F作一直線交橢圓于P、Q兩點，且坐標原點O關于點F的對稱點記為T．

(1)求橢圓的方程；

(2)求△PQT面積的最大值；

(3)設點21.(本小題18分)

定義：如果函數y=f(x)和y=g(x)的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數y=f(x)和y=g(x)具有C關系．

(1)判斷函數f(x)=log2(8x2)和g(x)=log12x是否具有C關系；

(2)若函數f(x)=ax?1和g(x)=?x?1不具有C關系，求實數a的取值范圍；

(3)若定義域都為區間參考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.{2,4}

6.3π47.58.?10

9.?43

10.?1

11.(8+812.5.5

13.π614.90

15.(n?2)?16.2

17.解(1)∵cosB=?45，B∈(0,π)，

∴sinB=1?cos2B=35，

在△ABC中，由正弦定理，得asinA=bsinB=2R，即5sinA=635=2R，

∴sinA=12，R=5，

∵a<b，又A∈(0,π2)，

∴A=π6，R=5；

(2)由S△ABC18.(1)證明：因為底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD，

因為AC∩PA=A，AC、PA?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又BD?平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

(2)解：因為四棱錐P?ABCD的體積為83，

所以13?PA?S正方形ABCD=83，即13×PA×2×2=83，

所以PA=2，

由勾股定理知，PB=PD=BD=22，

所以△PBD是等邊三角形，其面積為S△PBD=12×22×22×sin19.解：(1)記11月n日新感染者人數為an(1≤n≤30)，則數列{an}(1≤n≤9)是等差數列，

a1=20，公差為50，又a10=410，

則11月1日至11月10日新感染者總人數為(a1+a2+…+a9)+a10=(9×30+9×82×50)+410=2480人；

(2)記11月n日新感染者人數為an(1≤n≤30)，

11月k日新感染者人數最多，當1≤n≤k時，an=50n?20，

當k+1≤n≤30時，an=(50k?20)?20(n?k)=?20n+70k?20，

因為這30天內的新感染者總人數為11940人，

20.解：(1)根據題意可得a2?b2=11a2+12b2=1，解得a2=2，b2=1，

所以橢圓C的方程為x22+y2=1；

(2)由題可得原點O關于點F的對稱點T的坐標為(2,0)，

設過點F的直線l的方程為x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

所以x22+y2=1x=my+1，得(m2+2)y2+2my?1=0，

其中△=4m2+4(m2+2)=8m2+8>0，y1+y2=?2mm2+2，y1y2=?1m2+2，

則|y1?21.解：(1)由已知得log2(8x2)=?log12xx>0，化簡得log2x=?3，

解得x=18，故此時函數y=f(x)和y=g(x)具有C關系；

(2)由已知得ax?1=x+1在[1,+∞)上無解，

x=1顯然不滿足上式，故a=x+1x?1=x?1+2x?1≥2x?1?2x?1=22(當且僅當x=3時取等號)，

故a<22時，原方程無解，即函數y=f(x)和y=g(x)不具有C關系，

即所求a的范圍是(?∞,22)；

(3)由