PAGE第八章8.58.5.18.5.2A級——基礎過關練1．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F分別是SB，SC上的點，且EF∥平面ABC，則()A．EF與BC相交B．EF∥BCC．EF與BC異面D．以上均有可能【答案】B【解析】因為平面SBC∩平面ABC＝BC，又因為EF∥平面ABC，所以EF∥BC．2．假如兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面【答案】D【解析】空間中兩直線的位置關系有：①相交；②平行；③異面．兩條直線平行和兩條直線異面都滿意兩條直線沒有公共點，故a與b的位置關系是平行或異面．3．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點，G，H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】B【解析】因為GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，明顯GH與SA，SC均不平行．故選B．4．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有()A．0條 B．1條C．0條或1條 D．多數條【答案】C【解析】過直線a與n條直線的交點作平面β，設平面β與α交于直線b，則a∥b.若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關系是________．【答案】平行【解析】因為AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α.6．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是________．①在空間，若兩條直線不相交，則它們肯定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，假如a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.【答案】②④【解析】①錯，可以異面；②正確，基本領實4；③錯誤，和另一條可以異面；④正確，由平行直線的傳遞性可知．7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線.(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因為B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．8．如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明：(1)如圖，連接AC．因為在△ACD中，M，N分別是CD，AD的中點，所以MN是△ACD的中位線．所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方體的性質得AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1.所以四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因為ND∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，C1D1的中點，求證：EF∥平面BDD1B1.證明：如圖，取D1B1的中點O，連接OF，OB．因為OFeq\f(1,2)B1C1，BEeq\f(1,2)B1C1，所以OFBE.所以四邊形OFEB是平行四邊形．所以EF∥BO.因為EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.B級——實力提升練10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH∥FG，則EH與BD的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定【答案】A【解析】因為EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD，所以EH∥平面BCD．因為EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．11．過三棱柱ABC-A1B1C1的隨意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有()A．3條 B．4條C．5條 D．6條【答案】D【解析】記AC，BC，A1C1，B1C1的中點分別為E，F，E1，F1，則直線EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共有6條．12．在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時，下列結論中正確的是()A．E，F，G，H肯定是各邊的中點B．G，H肯定是CD，DA的中點C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，由線面平行的性質定理，有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．13．(多選)如圖所示，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法正確的是()A．M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為矩形【答案】ABC【解析】由條件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，所以MQ∥NP.對于A，由MQ∥NP，得M，N，P，Q四點共面，故A正確；對于B，依據等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正確；對于C，由等角定理知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，則△BCD∽△MEQ，故C正確；對于D，沒有充分理由推證四邊形MNPQ為矩形，故D不正確．14．如圖所示，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長為________．【答案】6【解析】因為E，H分別是空間四邊形ABCD中的邊AB，DA的中點，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD．同理FG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)BD．所以EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1.同理EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝2，所以四邊形EFGH的周長為6.15．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F，G分別是CB，CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，求平行線EH，FG間的距離．解：在△BCD中，因為eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，所以GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).因為BD＝6cm，所以FG＝4cm.在△ABD中，因為點E，H分別是AB，AD的中點，所以EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．設EH，FG間的距離為dcm，則eq\f(1,2)×(4＋3)·d＝28，所以d＝8.所以EH和FG間的距離為8cm.16．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是線段AD的中點，求證：GM∥平面ABFE.證明：因為EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如圖，連接AF.由于FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，在?ABCD中，M是線段AD的中點，則AM∥BC，且AM＝eq\f(1,2)BC．因此FG∥AM且FG＝AM.所以四邊形AFGM為平行四邊形．因此GM∥FA．又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.C級——探究創新練17．如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由．(1)證明：∵D，E分別為AP，AC的中點，∴DE∥PC．∵DE?平面BCP，PC?平面BCP，∴DE∥平面BCP.(2)解：∵D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.∴四邊形DEFG為平行四邊形．∵PC⊥A