《1.2復數的幾何意義》學歷案高中北師大版（2019）選擇性必修第一冊第一章直線與圓、第五章復數§1復數的概念及其幾何意義1.2復數的幾何意義學歷案班級：具體班級姓名：姓名學號：學號【學習主題】1.2復數的幾何意義【課時】1課時【課標要求】理解復數的幾何意義，能在復平面內用點和向量表示復數。【學習目標】1、能說出復數與復平面內的點、向量之間的對應關系，就像知道自己家的地址和怎么從一個地方到自己家一樣清楚哦。2、會在復平面內準確地畫出表示給定復數的點和向量，就像在地圖上準確找到一個地方一樣熟練。3、理解復數模的概念，并且能輕松計算復數的模，就像計算1＋1等于2那么簡單。【評價任務】（1)完成任務1中的活動1、2指向檢測目標1。（2)完成任務2中的活動1、2指向檢測目標2。（3)完成任務3中的活動1、2指向檢測目標3。【學習過程】一、導入同學們，咱們來想象一下這樣一個場景。你是一個寶藏獵人，在一個神秘的島嶼上尋找寶藏。這個島嶼就像數學的世界一樣充滿了神秘。你得到了一張奇怪的地圖，上面有一些奇怪的標記，這些標記呢，就有點像我們今天要學習的復數的一些表示方法。復習回顧1、什么是復數呢？復數是由實部和虛部組成的數，就像一個東西有兩個部分一樣，比如a＋bi，其中a是實部，b是虛部。2、我們之前學過的實數可以用數軸上的點來表示，那復數又該怎么表示呢？【任務一：復數與復平面內的點的對應關系】指向檢測目標1活動1：理解復平面1、咱們來創建一個特殊的平面，這個平面就像我們寶藏獵人的特殊地圖一樣。這個平面叫做復平面。它的橫軸呢，我們用來表示復數的實部，就像用橫坐標表示一個地方的東西方向的位置一樣；縱軸用來表示復數的虛部，就像用縱坐標表示一個地方的南北方向的位置一樣。2、那對于一個復數z＝a＋bi，我們怎么在復平面內找到它對應的點呢？就像在地圖上找寶藏的位置一樣，我們把實部a作為橫坐標，虛部b作為縱坐標，這樣就能在復平面內找到一個點（a,b)來表示這個復數啦。3、例如，對于復數z＝3＋2i，我們就在復平面內找到橫坐標為3，縱坐標為2的點。那同學們，現在你們來找一找復數z＝－1＋4i在復平面內對應的點在哪里呢？（這里讓同學們自己動手找一找，互相討論一下，然后請幾個同學回答）活動2：對應關系的總結1、我們發現每一個復數都能在復平面內找到唯一的一個點與之對應，反過來，復平面內的每一個點也能唯一確定一個復數。這就像每個寶藏都有它唯一的位置，每個位置也對應著唯一的寶藏一樣神奇。2、大家想一想，如果有很多復數，它們在復平面內的點會形成什么樣的圖形呢？（讓同學們思考并討論，激發他們的想象力）【任務二：復數與復平面內向量的對應關系】指向檢測目標2活動1：向量的引入1、現在我們再把這個概念變得更有趣一點。在復平面內，從原點（0,0)到表示復數z＝a＋bi的點（a,b)可以畫一條有向線段，這個有向線段我們就把它叫做向量。這個向量就像我們從寶藏島的入口到寶藏位置的路線一樣。2、那這個向量和復數有什么關系呢？這個向量的長度和方向就可以用來表示這個復數的一些特性哦。比如向量的長度，就像我們從入口到寶藏的距離一樣重要。3、對于復數z＝2＋3i，大家試著在復平面內畫出從原點到點（2,3)的向量，并且感受一下這個向量和復數的聯系。（同學們自己畫圖，老師巡視并給予指導）活動2：向量與復數的一一對應1、我們發現和復數與點的對應關系類似，每一個復數在復平面內都有唯一的向量與之對應，反過來，復平面內的每一個向量也能唯一確定一個復數。這就像我們在寶藏島上，每一條通往寶藏的路線都對應著一個寶藏，每個寶藏也有它對應的路線一樣。2、那同學們想一想，如果兩個復數相等，它們對應的向量會有什么關系呢？（讓同學們討論并得出結論：兩個復數相等，它們對應的向量的長度和方向都相同）【任務三：復數模的概念與計算】指向檢測目標3活動1：模的概念1、咱們前面提到了向量的長度，在復數里，這個向量的長度就叫做復數的模。就像寶藏到入口的距離有個數值一樣，復數的模也有個數值。對于復數z＝a＋bi，它的模我們用｜z|來表示，并且｜z|＝＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝。這個公式就像一個計算寶藏距離的魔法公式一樣。2、比如說對于復數z＝3＋4i，我們來計算一下它的模。根據公式｜z|＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5。那同學們自己來計算一下復數z＝－2＋3i的模吧。（同學們計算，老師檢查并糾正錯誤）活動2：模的意義1、復數的模有什么意義呢？它就像寶藏離入口的遠近一樣，反映了復數在復平面內的一種“大小”。比如說，模越大，說明這個復數對應的點或者向量離原點越遠。2、我們來做一個小實驗。假設有兩個復數z_1＝1＋2i和z_2＝3＋i，我們分別計算它們的模。然后比較一下，哪個復數在復平面內離原點更遠呢？（同學們計算并比較，然后討論模的大小與復數在復平面內位置的關系）【檢測與作業】指向檢測目標1、2、31、在復平面內，分別畫出表示復數z_1＝2i，z_2＝－1＋3i，z_3＝4＋2i的點和向量。（這個題目主要檢測同學們對復數與復平面內的點和向量對應關系的掌握程度）2、已知復數z＝a＋bi的模為＼sqrt{13}，且實部a＝2，求虛部b。（這個題目檢測同學們對復數模的計算以及根據已知條件求解復數的能力）3、對于復數z＝512i，求它的模，并在復平面內畫出表示這個復數的點和向量，然后描述這個復數的模所代表的意義。（這個題目綜合檢測同學們對復數的幾何意義以及模的概念的理解）4、假設你是一個游戲開發者，你要設計一個關于復數的游戲，游戲中的角色在復平面內移動，你如何利用復數的幾何意義來設計角色的移動規則呢？（這個開放性題目可以讓同學們發揮自己的想象力，同時也能加深對復數幾何意義的理解，屬于拓展性作業）【學后反思】1、在今天的學習中，你覺得最難理解的部分是什么？是復數與復平面內的點的對應關系，還