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上節的問題是冪級數在其收斂域內以

f(x)為和函數.現在的問題是反過來,如果f(x)可以展開成冪級數1.那么函數

f(x)應當具有什么性質?8.4冪級數的應用8.4.1泰勒級數2.冪級數的系數怎樣計算?我們有

由于冪級數在其收斂域內無窮次可導,即有任意階的導數.因此,f(x)必然在此區間內有任意階導數.將x

=

x0代入上面各式,即得定理8.7

如果函數

f(x)在

x0的某一鄰域定理的結論稱為冪級數展開式的唯一性.于是,就證明了如下定理.內可以展開成的冪級數,則則稱冪級數如果函數

f(x)在點

x0處任意次可微,為

f(x)在點

x0處的泰勒級數.為函數

f(x)的麥克勞林級數.特別地,

當x0=0時,稱冪級數記為

在

x0的某一鄰域成立,如果點的泰勒展開式.

則稱上式函數是

f(x)在

x0定理8.17

如果函數

f(x)在

x0的某一鄰域內有任意階的導數.則其中

介于x與x0之間.的充分必要條件是

證(1)是帶拉格朗日余項的泰勒中值定理;

(2)是收斂級數的定義.

1.直接展開法求函數f(x)的麥克勞林級數的步驟:

(2)寫出麥克勞林級數并求出收斂半徑R;8.4.2函數展開成冪級數(3)驗證是否有

驗證的方法有兩種:余項分析與和函數分析

(1)

求出f(x)的各階導數與它們在處的值,然后代入從而判斷是否有

和函數分析是求出和函數

余項分析是指,如果

則有

解其收斂半徑為例1將展開成x的冪級數.于是余項其中

介于0與x之間.余項分析對任一確定的是收斂級數

的一般項.是確定的數,而所以在

上恒有于是或于是則且解微分方程

得和函數分析解因例2將展開成x的冪級數.故其收斂半徑為故因所以其中

介于0與x之間.利用已知函數展開式,2.間接展開法根據展開的唯一性,等方法,求展開式.通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分的結果是一致的.它與直接展開法得到例3將展開成x的冪級數.例4將展開為x的冪級數.解設利用有練習

將展開為x的冪級數.解而兩邊積分解例5將

展開為

的冪級數.f(x)=ln(1+x)在x

=1處連續,且在x=1處收斂.練習

將解解由8.4.3冪級數在數值計算中的應用例6計算的近似值，要求誤差不超過.令得取前項的和作為的近似值其誤差為故取解從而例7利用，求的近似值，并

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