期末真題必刷壓軸60題（25個考點專練）一．根與系數的關系（共3小題）1．（2023春?環翠區期末）已知：關于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出這時方程的根．（2）問：是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋?安順期末）設m是不小于﹣1的實數，關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有兩個不相等的實數根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．3．（2022秋?宿城區期末）已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根；（2）能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若能找到，求出k的值；若不能，請說明理由．（3）當等腰三角形ABC的邊長a＝4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．二．一元二次方程的應用（共3小題）4．（2023春?武勝縣校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5厘米，點P從點A出發沿AC邊以2厘米/秒的速度向終點C勻速移動，同時，點Q從點C出發沿CB邊以1厘米/秒的速度向終點B勻速移動，P、Q兩點運動幾秒時，P、Q兩點間的距離是2厘米？5．（2022秋?甘井子區校級期末）青山村種的水稻2010年平均每公頃產7200kg，2012年平均每公頃產8450kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率．6．（2022秋?惠陽區校級期末）如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．三．反比例函數與一次函數的交點問題（共3小題）7．（2022秋?陽曲縣期末）如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝的圖象交于A（﹣1，3），B（3，a）兩點．（1）求一次函數與反比例函數的表達式；（2）根據所給條件，請直接寫出不等式kx+b＞的解集；（2）求S△AOB．8．（2022秋?莘縣校級期末）如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交點．AB⊥x軸于B，且．（1）求這兩個函數的解析式；（2）求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標和△AOC的面積．（3）直接寫出的解集．9．（2022秋?岳陽縣期末）如圖已知函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象與一次函數y＝mx+5（m＜0）的圖象相交不同的點A、B，過點A作AD⊥x軸于點D，連接AO，其中點A的橫坐標為x0，△AOD的面積為2．（1）求k的值及x0＝4時m的值；（2）記[x]表示為不超過x的最大整數，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，設t＝OD?DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2?t]值．四．反比例函數的應用（共2小題）10．（2022秋?沙依巴克區校級期末）在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3．（1）設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y．①求y關于x的函數表達式；②當y≥3時，求x的取值范圍；（2）圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么？11．（2022秋?邯山區校級期末）家用電滅蚊器的發熱部分使用了PTC發熱材料，它的電阻R（kΩ）隨溫度t（℃）（在一定范圍內）變化的大致圖象如圖所示．通電后，發熱材料的溫度在由室溫10℃上升到30℃的過程中，電阻與溫度成反比例關系，且在溫度達到30℃時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升1℃，電阻增加kΩ．（1）求當10≤t≤30時，R和t之間的關系式；（2）求溫度在30℃時電阻R的值；并求出t≥30時，R和t之間的關系式；（3）家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內時，發熱材料的電阻不超過6kΩ？五．拋物線與x軸的交點（共2小題）12．（2022秋?扶風縣期末）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣5），且經過點D（3，﹣8）．（1）求此二次函數的解析式；（2）將此二次函數的解析式寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接寫出頂點坐標以及它與x軸的另一個交點B的坐標．（3）利用以上信息解答下列問題：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜3的范圍內有解，則t的取值范圍是．13．（2023春?鼓樓區校級期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6交x軸于A（2，0），B（﹣6，0）兩點，交y軸于點C，點Q為線段BC上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）求QA+QO的最小值；（3）過點Q作QP∥AC交拋物線的第三象限部分于點P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ的面積分別為S1，S2，設S＝S1+S2，當時，求點P的坐標．六．二次函數的應用（共2小題）14．（2022秋?大理州期末）某商品的進價為每件20元，售價為每件25元時，每天可賣出250件．市場調查反映：如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件．（1）若某天的銷售利潤為2000元，為最大限度讓利于顧客，則該商品銷售價是多少？（2）求銷售單價為多少元時，該商品每天的銷售利潤最大，請說明理由．15．（2022秋?華容區期末）如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發現球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高．球第一次落地點后又一次彈起．據實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．（2）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取，）七．二次函數綜合題（共19小題）16．（2022秋?綿陽期末）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，A（﹣1，0），對稱軸是直線x＝1，與y軸交于點C（0，）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，矩形DEFG的邊DE在x軸上，頂點F，G在x軸上方的拋物線上，設點D的橫坐標為d，當矩形DEFG的周長取最大值時，求d，并求矩形DEFG的周長的最大值；（3）在（2）的結論下，直線DG上是否存在點M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由．17．（2022秋?德城區期末）如圖1，直線y＝﹣2x+2交x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為B．（1）請直接寫出該拋物線的函數解析式；（2）點D是第二象限拋物線上一點，設D點橫坐標為m．①如圖2，連接BD，CD，BC，求△BDC面積的最大值；②如圖3，連接OD，將線段OD繞O點順時針旋轉90°，得到線段OE，過點E作EF∥x軸交直線AC于F．求線段EF的最大值及此時點D的坐標．18．（2022秋?大洼區期末）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線P：y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且圖象與拋物線Q：y＝x2+2x﹣3的圖象關于原點中心對稱．（1）求拋物線P的表達式；（2）連接BC，點D為線段BC上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交拋物線P的圖象于點E，求線段DE長度的最大值；（3）如圖②，在拋物線P的對稱軸上是否存在點M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2022秋?大冶市期末）拋物線y＝﹣x+4與坐標軸分別交于A，B，C三點，P是第一象限內拋物線上的一點．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標為A，B，C；（2）連接AP，CP，AC，若S△APC＝2，求點P的坐標；（3）連接AP，BC，是否存在點P，使得∠PAB＝∠ABC，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．20．（2022秋?滕州市期末）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點E是線段BC上的一個動點，平行于y軸的直線EF交拋物線于點F，求△FBC面積的最大值；（3）設點P是（1）中拋物線上的一個動點，是否存在滿足S△PAB＝6的點P？如果存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2022秋?望城區期末）如圖①，拋物線y＝ax2+x+c，與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊），與y軸交于C點，頂點為E，其中，點A坐標為（﹣1，0），對稱軸為x＝2．（1）求此拋物線解析式；（2）在第四象限的拋物線上找一點F，使S△FBC＝S△ACB，求點F的坐標；（3）如圖②，點P是x軸上一點，點E與點H關于點P成中心對稱，點B與點Q關于點P成中心對稱，當以點Q，H，E為頂點三角形是直角三角形時，求P的坐標．22．（2022秋?雄縣期末）已知拋物線G：y＝﹣+kx+4（k為常數）與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．（1）當k＝1時，如圖所示：①拋物線G的對稱軸為直線，點A的坐標為；②在x軸正半軸上從左到右有D，E兩點，且DE＝1，從點E向上作EF⊥x軸，且EF＝2，在△DEF沿x軸左右平移時，若拋物線G與邊DF（包括端點）有交點，求點F橫坐標的最大值比最小值大多少？（2）當拋物線G的頂點P的縱坐標yP取得最小值時，求此時拋物線G的函數解析式；（3）當k＜0，且x≥k時，拋物線G的最高點到直線l：y＝7的距離為2，直接寫出此時k的值．23．（2022秋?泉州期末）已知拋物線C1：y＝ax2﹣2ax﹣1與x軸只有一個交點．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線C1向上平移4個單位長度得到拋物線C2.拋物線C2與x軸交于A、B兩點（其中A點在左側，B點在右側），與y軸交于點C，連結BC．D為第一象限內拋物線C2上的一個動點．①若△BOC的面積是△BDC面積的倍，求D的坐標；②拋物線C2的對稱軸交x軸于點G，過D作DE⊥BC交BC于E，交x軸于F．當點F在線段OG上時，求的取值范圍．24．（2022秋?雁塔區校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣+bx+c的圖象與y軸交于點A（0，8），與x軸交于B、C兩點，其中點B的坐標是（﹣8，0），點P（m，n）為該二次函數在第二象限內圖象上的動點，點D為（0，4），連接BD．（1）求該二次函數的表達式；（2）依題補圖1：連接OP，過點P作PQ⊥x軸于點Q；當△OPQ和△OBD相似時，求m的值；（3）如圖2，過點P作直線PQ∥BD，和x軸交點為Q，在點P沿著拋物線從點A到點B運動過程中，當PQ與拋物線只有一個交點時，求點Q的坐標．25．（2023春?福清市校級期末）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．26．（2022秋?豐都縣期末）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+4經過A（﹣1，3），與y軸交于點C，經過點C的直線與拋物線交于另一點E（6，m），點M為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求直線CE的解析式；（2）如圖2，點P為直線CE上方拋物線上一動點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，求點P的坐標以及△PCE面積的最大值．（3）如圖3，將點D右移一個單位到點N，連接AN，將（1）中拋物線沿射線NA平移得到新拋物線y′，y′經過點N，y′的頂點為點G，在新拋物線y′的對稱軸上是否存在點H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．27．（2022秋?南川區期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數的解析式；（2）當動點P運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；（3）如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．28．（2022秋?興縣期末）綜合與探究如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．點D（m，n）是線段BC上的動點，過點D作DE⊥x軸垂足為E．（1）請直接寫出點A，B，C坐標以及直線BC的解析式；（2）若△ADE的面積為S，請求出S關于m的函數關系式，并求出當m的值為多少時，S的值最大？最大值為多少？（3）如圖2，將△ADE以點D為中心，順時針旋轉90°得到△A'DE'（點A與點A′對應），則當A′恰好落在拋物線上時，求出此時點D的坐標．29．（2022秋?延邊州期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，點D在射線CO上運動，過點D作直線EF∥x軸，交拋物線于點E，F（點E在點F的左側）．（1）求該拋物線的解析式和對稱軸；（2）若EF＝2OC，求點E的坐標；（3）若拋物線的頂點關于直線EF的對稱點為點P，當點P到x軸的距離等于1時，求出所有符合條件的線段EF的長；（4）以點D為旋轉中心，將點B繞點D順時針旋轉90°得到點B′，直接寫出點B′落在拋物線上時點D的坐標．30．（2023春?青秀區校級期末）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的—個動點，使△PBC的面積等于△ABC面積的，求點P的坐標；（3）過點C作直線l∥x軸，將拋物線在y軸左側的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象（如圖2），請你結合新圖象解答：當直線y＝﹣x+d與新圖象只有一個公共點Q（m，n），且n≥﹣8時，求d的取值范圍．31．（2023春?鼓樓區校級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）當a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標；（2）請直接寫出二次函數圖象的對稱軸（用含a的代數式表示）及二次函數圖象經過的定點坐標是．（3）若當1≤x≤5時，函數值有最大值為8，求二次函數的解析式；（4）已知點A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點，請直接寫出a的取值范圍．32．（2023春?長沙期末）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（3，0）和點B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）若點D是直線AC上方拋物線上一動點，連接BC，AD和BD，BD交AC于點M，設△ADM的面積為S1，△BCM的面積為S2，當S1﹣S2＝1時，求點D的坐標；（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸交直線AC于Q點，請問在y軸上是否存在點E，使以P，Q，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．33．（2023春?渝中區校級期末）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求該拋物線的函數解析式；（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點，過P作PM⊥AC于M點，在射線MA上取一點N，使得2MN＝AC，連接PN，求△PMN面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，在（2）中△