學年上海市松江區高二數學上學期期中練習卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、填空題（本大題滿分54分，第1~6題，每空4分；第7~12題，每空5分）1.已知空間向量，，則_________________.2.直線與平面所成角的范圍是_________________.3.已知球的半徑為3，則球的表面積為_______________4.若面，面，面，則平面與平面的位置關系_________.5.已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是圓心角等于的扇形，則該圓錐的體積為_____________.6.如圖所示，正方體中，，分別是棱，中點，則異面直線與所成的角為______.7.如圖，圓所在平面，是圓的直徑，是圓周上一點，其中，，，則與平面所成角的正弦值為_____________.8.如圖，正方體的棱長為2，則二面角的大小為_____________.（結果用反三角函數表示）9.在棱長為1的正方體中，點為上的動點，則的最小值為___________.10.圓柱底面半徑為1，高為，為上底底面的直徑，點是下底底面圓弧上的一個動點，點繞著下底底面旋轉一周，則面積的范圍是___________________.11.已知圓柱的底面半徑為1，高為，，分別為上、下底面圓的直徑，當，則四面體的體積為_____________.12.如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則___________.二、選擇題（本大題滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號語言表述是（）A B. C. D.14.若用斜二測畫法畫一個水平放置平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是（）A.B.C.D.15.設m，n是兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是（）A.若m//α，nα，則m//n B.若m//α，m⊥n，則n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若m⊥α，n//α，則m⊥n16.如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，側面上有一個小孔，點到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當水恰好流出時，側面與桌面所成的銳二面角的正切值為（）A. B. C. D.2三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.如圖，長方體中，，點P為的中點.（1）求證:直線平面;（2）求異面直線、所成角的大小.18.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是，圓柱筒長.（1）求“浮球”的體積：（2）要在這樣個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠克，共需要膠多少克？19.如圖，已知點在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值大小.20.如圖所示，在四棱錐中，側面⊥底面，側棱，，底面為直角梯形，其中，，，O為中點.（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4正方形，是正三角形，平面，，，，分別是，，，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度：若不存在，說明理由.2024學年上海市松江區高二數學上學期期中練習卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、填空題（本大題滿分54分，第1~6題，每空4分；第7~12題，每空5分）1.已知空間向量，，則_________________.【答案】【解析】【分析】根據空間向量數量積運算可求得結果.【詳解】因為，，所以故答案為：2.直線與平面所成角的范圍是_________________.【答案】【解析】【分析】利用直線與平面所成角的定義可得結論.【詳解】直線和平面所成的角，應分三種情況：①直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；②直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為；③直線和平面平行或在平面內時，直線和平面所成的角的大小為．顯然，斜線和平面所成角的范圍是；直線和平面所成的角的范圍為．故答案為：．3.已知球的半徑為3，則球的表面積為_______________【答案】【解析】【分析】由球的表面積公式計算即可.【詳解】因為球的半徑為3，所以球的表面積為.故答案為：.4.若面，面，面，則平面與平面的位置關系_________.【答案】相交【解析】【分析】根據給定條件利用平面的基本事實直接判斷即可.【詳解】因面，面，面，則面與面有公共點A，且不重合，所以面與面的位置關系是相交.故答案為：相交5.已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是圓心角等于的扇形，則該圓錐的體積為_____________.【答案】【解析】【分析】首先根據展開圖和圓錐的關系，可設圓錐的底面半徑為，則在展開圖扇形中有，求得，求得圓錐的高為，利用圓錐的體積公式即可得解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，則展開圖扇形的弧長為，展開圖的半徑為母線長，所以，解得，所以圓錐的高為，所以.故答案：.6.如圖所示，正方體中，，分別是棱，的中點，則異面直線與所成的角為______.【答案】【解析】【分析】先利用平行關系找到為異面直線和所成的角或其補角，再利用正方體性質求角的大小即可.【詳解】連接，，，則為的中位線，∴.又∵，∴四邊形平行四邊形，∴.∴.∴為異面直線和所成的角或其補角.正方體中，易知，，∴為正三角形，∴.∴與所成的角為.故答案為：.7.如圖，圓所在平面，是圓的直徑，是圓周上一點，其中，，，則與平面所成角的正弦值為_____________.【答案】##【解析】【分析】首先證明平面，然后可得與平面所成角為，然后可得答案.【詳解】因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以在平面上的射影為，所以與平面所成角為，因為，所以，所以故答案為：8.如圖，正方體的棱長為2，則二面角的大小為_____________.（結果用反三角函數表示）【答案】【解析】分析】建立空間直角坐標系，求平面法向量，利用公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，∴.設平面的法向量為，則，令，則，故，同理可得平面的法向量為，∴，二面角的大小為.故答案為：.9.在棱長為1的正方體中，點為上的動點，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將正方形、鋪平在同一平面上，當三點共線時，最小，然后可得答案.【詳解】如圖，將正方形、鋪平在同一平面上，當三點共線時，最小，最小值為，故答案為：10.圓柱底面半徑為1，高為，為上底底面的直徑，點是下底底面圓弧上的一個動點，點繞著下底底面旋轉一周，則面積的范圍是___________________.【答案】【分析】據題意，設上底面圓心為，下底面圓心為，連接，過作，垂足為，由于為定值，故面積的大小隨的長度的變化而變化，由圖可知，當點與點重合時以及當點與點重合時，分別求出的最大值和最小值，即可求出面積的范圍.【詳解】如圖1，設上底面圓心為，下底面圓心為，連接，過作，垂足為，則，據題意，為底面直徑，是定值，故面積的大小隨的長度的變化而變化，由圖2可知，當點與點重合時，，此時取得最大值為，如圖3所示，當點與點重合時，，此時取得最小大值為，綜上所述，面積的范圍為.故答案為：11.已知圓柱的底面半徑為1，高為，，分別為上、下底面圓的直徑，當，則四面體的體積為_____________.【答案】【解析】【分析】通過圓柱的特征可得線面垂直，把四面體看做兩個共底面的三棱錐即可求體積.【詳解】如圖所示，圓柱底面圓心記為，連接，∵，，，平面，平面，∴平面，∴.故答案為：.12.如圖，一個四分之一球形狀的玩具儲物盒，若放入一個玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則___________.【答案】【解析】【分析】畫出截面圖，設儲物盒所在球的半徑為，從而利用表達出小球最大半徑和正方體棱長，進而求出比值.【詳解】設儲物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長滿足，解得：，∴，故答案為：二、選擇題（本大題滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號語言表述是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據點與線、點與面的關系是元素和集合的關系，線與面的關系是集合與集合的關系判斷即可.【詳解】平面內有一條直線，，點在直線上，，.故選：B.14.若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二測畫法判斷.【詳解】解：由斜二測畫法知：平行或與x軸重合的線段長度不變，平行關系不變，平行或與y軸重合的線段長度減半，平行關系不變，故選：A15.設m，n是兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是（）A.若m//α，nα，則m//n B.若m//α，m⊥n，則n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若m⊥α，n//α，則m⊥n【答案】D根據線面關系的性質依次判斷即可.【詳解】對于A，若m//α，nα，則m//n或異面，故A錯誤；對于B，若m//α，m⊥n，則與相交、平行或在內，故B錯誤；對于C，若m⊥α，m⊥n，則n//α或在內，故C錯誤；對于D，若m⊥α，n//α，則m⊥n，故D正確.故選：D.16.如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，側面上有一個小孔，點到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當水恰好流出時，側面與桌面所成的銳二面角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據題意，當水恰好流出時，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面到底面的距離，再由邊長關系可得四邊形是平行四邊形，從而側面與桌面所轉化成側面與平面所成的角,進而在直角三角形中求出其正切值.【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于，由題意知，水的體積為，所以，即，解得，在平面內，過點作交于，則四邊形是平行四邊形，且，又側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，即側面與平面所成的角,其平面角為，在直角三角形中，.故選：D.【點睛】思路點睛：利用定義法求二面角，在棱上任取一點，過這點在兩個平面內分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.如圖，長方體中，，點P為的中點.（1）求證:直線平面;（2）求異面直線、所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設和交于點O，則O為的中點，證得，結合線面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，，得到異面直線與所成的角就等于與所成的角，在直角中，即可求解.【小問1詳解】由題意得O為的中點，連結，又因為P是的中點，故，又因為平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】由（1）知，，所以異面直線與所成的角就等于與所成的角，故即為所求；因為，為的中點，則，則易知，因為為中點，則，在直角中，可得，又因為，所以.18.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是，圓柱筒長.（1）求“浮球”的體積：（2）要在這樣個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠克，共需要膠多少克？【答案】（1）（2）克【解析】【分析】（1）分別求出兩個半球的體積，和圓柱體的體積，即可求出“浮球”的體積；（2）先求出一個“浮球”表面積，再求出個的面積，即可求解.【小問1詳解】該半球的直徑，柱筒高，所以“浮球”的圓柱筒直徑也是，得球的半徑與圓柱底面半徑均為，所以兩個半球的體積之和為，而，該“浮球”的體積是；【小問2詳解】上下兩個半球的表面積是，而“浮球”的圓柱筒側面積為，所以個“浮球”的表面積為，因此，個“浮球”的表面積的和為，因為每平方米需要涂膠克，所以總共需要膠的質量為：（克）．19.如圖，已知點在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據等體積法，由即可求出點到平面的距離；（2）先證明，，由線面垂直的判定定理可得面，進而可得即為所求二面角的平面角，在中，計算即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，，在中，由余弦定理可得，所，所以，設點到平面的距離為，由，得，即，解得：，所以點到平面的距離為；（2）二面角即二面角，因為是圓的直徑，點在圓柱的底面圓上，所以，因為面，面，可得，因為，所以面，因為面，面，所以，，所以即為二面角的平面角，在中，，，所以，所以二面角的余弦值為.20.如圖所示，在四棱錐中，側面⊥底面，側棱，，底面為直角梯形，其中，，，O為的中點.（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）根據面面垂直的性質可推得平面.根據已知得出.以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，得出點以及向量的坐標.根據線面垂直的判定定理得出平面，求出的坐標，即可根據向量法求出答案；（2）求出平面的法向量，根據向量法即可得出距離；（3）假設存在，設，得出.求出平面的法向量，根據二面角結合向量，列出方程，求解即可得出的值，進而得出答案.【小問1詳解】在中，，O為的中點，所以.又因為面底面，平面平面，平面，所以，平面.在中，，，所以，，.在直角梯形中，為的中點，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，.因為，，所以.以O為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，所以.因為，，，平面，平面，所以平面，所以為平面的法向量.因為，所以與平面所成角的正弦值為，余弦值為.【小問2詳解】由（1）