習題9-1（A）1．求下列各函數的表達式：（1）設函數，求，．解：，．（2）設函數，已知時，，求及的表達式．解：由時，，有，即，所以；而．（3）設函數，求．解：．（4）設函數，求的表達式．解：（方法1）因為，所以．（方法2）令，則，于是，所以．2．求下列各函數的定義域，并作定義域草圖：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定義域．（2）由及，有，得定義域．（3）由，有，得定義域．（4）由，有，或，得定義域．3．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）．（2）．（3）因為有界，而，所以．（4）．（5）（6）．4．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證明：（1）沿取極限，則，當取不同值時，該極限值不同，所以極限不存在．（2）沿取極限，；沿取極限，．由于，所以極限不存在．習題9-1（B）1．某廠家生產的一種產品在甲、乙兩個市場銷售，銷售價格分別為（單位：元），兩個市場的銷售量各自是銷售價格的均勻遞減函數，當售價為10元時，銷售量分別為2400、850件，當售價為12元時，銷售量分別為2000、700件．如果生產該產品的成本函數是，試用表示該廠生產此產品的利潤．解：根據已知，設，由時，；時，，有得，于是．由時，；時，，有得，于是．兩個市場銷售該產品的收入為，該產品的成本．根據利潤等于收入減去成本，得．2．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）．（2）法1：令，則當時，，所以．法2：因為時，與是等價無窮小，所以．（3）因為，而，，根據“夾逼準則”得．（4）令，則當時，（其中在區間內任意變化），所以．3．證明極限不存在．證明：沿取極限，；沿取極限，．因此，極限不存在．4．討論函數在點處的連續性．解：沿取極限，由，有，所以函數在點處不連續．

習題9-2（A）1.求下列函數的偏導數：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），由變量的對稱性，得．（8），．（9），，．（10），，．2.求曲線在點處的切線與軸正向的夾角．解：，，用表示曲線在點處的切線與軸正向的夾角，則，所以．3.設，求及．解：因為，所以，因為，所以．4.求下列函數的高階導數：（1）設，求.解：（2）設，求，和；解：，，，，，．5.驗證：（1）設函數，證明．證：因為，，，，，，所以，．（2）設，求證.證明：原結論成立．習題9-2（B）1．設一種商品的需求量是其價格及某相關商品價格的函數，如果該函數存在偏導數，稱為需求對價格的彈性、為需求對價格的交叉彈性．如果某種數碼相機的銷售量與其價格及彩色噴墨打印機的價格有關，為，當，時，求需求對價格的彈性、需求對價格的交叉彈性．解：由，，有，，當，時，需求對價格的彈性：，需求對價格的交叉彈性：．2.設，求，.解：.3.設函數證明在點處的兩個偏導數都不存在．證：因為極限不存在，極限不存在，所以在點處的兩個偏導數都不存在．4.設，求，和．解：，，，，．5.設函數，證明．證明：將函數改寫為，則，，由變量的對稱性，有，，所以．習題9-3（A）1．求下列函數的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因為，，所以．（2）因為，，所以．（3）因為，，所以．（4）因為，，所以（5）因為，，，所以．（6）因為，，，所以．2.求函數在點處的全微分．解:在點處，分別有因此，我們有3.求函數當，時的全微分．解因為，，，，所以，4.求函數在點處當時的全微分．解由于所以，當時，函數在點（2，1）處的全微分為習題9-3（B）1.計算的近似值．解：設函數．顯然，要計算的值是函數在時的函數值取因為所以由公式得．2．計算的近似值．解：考慮函數，取，而，，、、，則．3.設函數在點點處討論偏導數的存在性、偏導數的連續性以及函數的可微性．解：因為，，所以在點處函數的兩個偏導數都存在，且．再討論可微性，函數在處的全增量用表示，則，記，則不存在（沿取極限，其值為；沿取極限，其值為），所以函數在點處不可微．進而得偏導（函）數在點處不連續（若偏導（函）數在點處連續，根據可微的充分條件，則函數在點可微，與函數不可微矛盾）．

習題9-4（A）1.求下列函數的全導數：（1）設函數，求；（2）設函數，而，，求全導數；（3）設函數而是的可微函數，求．解：（1）=.（2）（3）2.求下列函數的一階偏導數：（1）設函數，而，，求和；（2）設函數，求和．解：（1），，（2）這是冪指函數求導，為方便求導，將它寫作復合函數，為此令，則，．3.求下列函數的一階偏導數（其中函數具有一階連續的偏導數或導數）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．4.設函數，其中是可微函數，證明．證：因為，，所以．5.設函數，其中是可微函數，證明．證：因為，，所以．6.利用全微分形式的不變性求函數的全微分．解令，由一階全微分形式的不變性，我們有，注意到又都是的函數，并且將它們帶入上式，得習題9-4（B）1.求下列函數的二階偏導數（其中函數具有二階連續偏導數）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．2.設函數，其中函數有二階連續偏導數，求．解：，．3.設有連續的一階偏導數，且.求，并證明解由鏈式法則，得于是有

習題9-5（A）1.若函數分別由下列方程確定，分別求：（1）；（2）；（3）；解（1）法1：設，則，所以法2：方程兩邊同時對求導，有，解得．（2）方程兩邊同時對求導，有，解得．（3）令則2.設由方程所確定的隱函數，求解令，當時，此時，所以，.3.設函數，而函數由方程確定，求全導數．解：方程兩邊同時對求導，有，得，．4.若函數分別由下列方程確定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法1：設，則，所以．法2：方程兩邊對求導，有，得，方程兩邊對求導，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程兩邊同時對求導，有，得，方程兩邊同時對求導，有，得（或由變量的對稱性，得）．（3）方程兩邊對求導，有，即，而，所以，得，由變量對稱性有．（4）方程改寫為，方程兩邊對求導，有，得，方程兩邊對求導，有，得．5.設，求.解：令則6.若函數，，都是由方程確定的隱函數，其中有一階連續非零的偏導數，證明．證：因為，所以．7.若是的函數，并由確定，求.解：令因此，，習題9-5（B）1.設函數，而函數、分別由方程及確定，求全導數．解：方程兩邊同時對求導，有，得，方程兩邊同時對求導，有，得，所以．2．設函數，而由方程確定，求．解：方程兩邊同時對求導，有，用、代入，有，得．于是，所以．3．設，求，，.解：令則把看成的函數對求偏導數得整理得把看成的函數對求偏導數得整理得把看成的函數對求偏導數得整理得4.若函數由方程確定，求．解：方程兩邊對求導，有，得，由變量的對稱性，得．法１：等式兩邊同時對求導，有，即所以．法２：．5.設具有連續的偏導數，方程（其中是非零常數）確定是的隱函數，且，求.解：令因此.6.求由下列方程組所確定函數的導數或偏導數：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程組兩邊同時對求導，有消去，有，得，而．（2）方程組兩邊同時對求導，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程組兩邊同時對求導，有與前面解法類似，得，．

習題9-6（A）1.求下列函數的極值：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）定義域為全平面，并且函數處處可微．由得唯一駐點．，，根據二元函數極值的充分條件，點是函數的極大值點，極大值為，該函數無極小值．（2）定義域為全平面，并且函數處處可微．由即得函數的所有駐點是．，對上述諸點列表判定：所以函數的極大值為，極小值為．（3）定義域為全平面，并且函數處處可微．由得唯一駐點．，、、，，根據二元函數極值的充分條件，點是函數的極小值點，極小值，該函數無極大值．（4）定義域為全平面，函數處處可微．由得唯一駐點．由于在點處函數的二階偏導數不存在，不能用定理8.2判定，為此根據極值的定義，當（即非點）時，所以點是該函數的極大值點，極大值為，該函數無極小值．2.求函數的極值．解：由，解出在點處，所以函數在處由極小值.3.求曲面上到原點距離最近的點．解：設，則，解出因為是在時的唯一駐點，由題意可知在的曲面上存在與原點距離最小的點，所以即為所求的點．4.將正數12分成三個正數之和使得為最大.解令,則解得唯一駐點，故最大值為5.用面積為12（m2）鐵板做一個長方體無蓋水箱，問如何設計容積最大？解設水箱的長、寬、高分別為，體積為，則目標函數為（），附加條件是．設（），由得唯一可能極值點，根據實際意義，當長方體表面積一定是其體積有最大值，所以當長、寬都為2（m），高為1（m）時無蓋長方體水箱容積最大(此時體積為4（m3）)．6.在斜邊長為的直角三角形中，求周長最大的三角形及其周長．解：設兩直角邊長分別為，三角形周長為，則目標函數是（），附加條件為．設，由在時得唯一可能極值點，由實際意義，斜邊長為一定的直角三角形中，周長有最大值，所以當兩直角邊長都為（即等腰直角三角形）時，其周長最大，且最大周長為．7.有一寬為24的長方形鐵板，把它折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽．問怎么折才能使斷面的面積最大．解設折起來的邊長為，傾角為（圖8-17），那么梯形的下底長為，上底長為，高為，所以斷面的面積為，即.為求其最大值，我們先來解方程組由于，將上述方程組兩邊約分，得解這個方程組，得根據題意，斷面面積的最大值一定存在，又由的定義，因此最大值點只可能在區域的內部或開邊界上取到．但當時，的最大值為72．因此，該函數的最大值只能在區域的內點處取得，而它只有一個穩定點，因此可以斷定是其最大值．即將鐵板折起8，并使其與水平線成角時所得斷面面積最大．習題9-6（B）1.求由方程確定的函數的極值..解將方程兩邊分別對求偏導由函數取極值的必要條件知,駐點為,將上方程組再分別對求偏導數,故,函數在有極值.將代入原方程,有（舍去）.此時，,所以為極大值.2.求二元函數在直線，軸和軸所圍成的閉區域上的最大值與最小值.解令得區域內唯一駐點,且,再求在邊界上的最值在邊界和上,在邊界上，即，于是,由,得比較后可知為最大值,為最小值.3.求橢圓上豎坐標的最小值與最大值．解：目標函數為，附加條件是，及．設，由得可能極值點.由于橢圓是有界閉曲線，它的豎坐標一定有最小值與最大值，所以當時最小，且最小值為，當時最大，且最大值為．4.平面截圓柱面得一橢圓周，求此橢圓周上到原點的最近點及最遠點．解這是求空間中既在平面也在圓柱面上的點到原點的距離或函數的最大值與最小值．因此函數為目標函數，條件及都是變量滿足的約束條件．為此構造拉格朗日函數.解方程組解得可能極值點為于是，經過比較得到，到原點的距離最近點為到原點的距離最遠點是習題9-71.為了弄清楚某企業利潤和產值的函數關系，我們把該企業從2010年到2019年間的利潤（百萬元）和產值（百萬元）的統計數據列表如下：年份20102011201220132014201520162017201820194.925.004.934.904.904.954.984.995.025.021.671.701.681.661.661.681.691.701.701.71試根據上面的統計數據建立利潤與產值之間的經驗公式解：各個數據的偏差平方和為令整理得：計算得，，，代入方程，有解得所以，經驗公式為2.已知有一組實驗數據:01234-2-101235.235.936.737.438.4試用最小二乘法作二次多項式擬合該組數據.解：各個數據的偏差平方和為令整理得：計算得，代入方程，有解得所以，經驗公式為

總習題九1.在“充分、必要、充分必要、無關”四者中選擇一個正確的填入下列空格內：（1）二元函數在點連續是該函數在點可微的_________條件，是該函數在點極限存在的________條件，是該函數在點偏導數存在的________條件，是該函數在點有定義的_________條件．（2）二元函數在點的偏導數及存在是在該點可微的________條件.在點可微是函數在該點的偏導數及存在的________條件.（3）二元函數在點的偏導數及存在，且偏導數連續是在該點處可微分的________條件.解答：（1）必要充分無關充分（2）必要充分（3）充分2.單項選擇題：（1）設函數，在原點處及（）；（A）都不存在（B）都存在，但不相等（C）都存在，且都等于0（D）都存在，且都等于1（2）若函數，則（）；（A）（B）（C）（D）解：（1）選A，事實上：因為不存在，所以不存在，由變量的對稱性，也不存