第二十五章銳角的三角比（14類題型突破）重要題型題型一正弦的概念與計算1．（2023秋·上海普陀·九年級校考期中）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I）如圖，已知在中，，，垂足為點，那么下列線段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．鞏固訓練：1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考階段練習）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東聊城·九年級校聯考階段練習）在中，，，，則的值為．3．（2021秋·河北邢臺·八年級統考期中）如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長及面積．題型二余弦的概念與計算1．（2020秋·上海嘉定·九年級統考期中）如圖，的頂點在網格圖的格點上，的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·上海楊浦·統考一模）已知點在平面直角坐標系中，射線與x軸正半軸的夾角為α，那么的值為（）A． B．2 C． D．鞏固訓練1．（2023秋·河北石家莊·九年級石家莊市第二十七中學?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·上海青浦·九年級?？茧A段練習）在中，，，，則的余弦值為.3．（2023秋·江西吉安·九年級統考期末）在中，，，．(1)求的長；(2)求，的值．題型三正切的概念與計算1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I）在平面直角坐標系中，已知點與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為，那么的值是()A．2 B． C． D．2．（2023·上?！ひ荒＃┰谥苯亲鴺似矫鎯?，如果點，點與原點的連線與軸正半軸的夾角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校?？茧A段練習）在中，，，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考期中）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網格中，點、、、都在這些小正方形的頂點上，、相交于點，則t的值是．

3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I）如圖，在中，，，垂足為點Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）題型四特殊角的三角函數值1．（2023·上海·九年級假期作業）的值等于(

)A． B． C． D．12．（2021·上海·九年級專題練習）在平面直角坐標系內P點的坐標是，則P點關于y軸對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？茧A段練習）在中，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022春·湖北武漢·九年級武漢市常青第一中學校考自主招生）計算：．3．（2022秋·云南紅河·九年級統考期末）（1）計算：；（2）解方程：．題型五特殊角三角函數值的混合運算1．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）下列計算中錯誤的是（

）A． B．C． D．2．（2019秋·九年級單元測試）計算的結果是（）A．2 B． C． D．1鞏固訓練1．（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┫铝杏嬎憬Y果是有理數的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東東營·九年級統考階段練習）計算：．3．（2022秋·黑龍江大慶·九年級?？计谀┯嬎悖?1)；(2)．題型六根據特殊角三角函數值求角的度數1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若cosα＝，則銳角α的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知α為銳角，若，則α的度數是(

)A．30° B．45° C．60° D．75°鞏固訓練1．（2023秋·山東聊城·九年級校考階段練習）在中，若，，這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（2022·湖北黃岡·統考模擬預測）在中，如果滿足，則．3．（2023·上海·九年級假期作業）求滿足下列條件的銳角：(1)；(2)．題型七利用同角三角函數關系求值1．（2022春·九年級單元測試）若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結論正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022秋·山東聊城·九年級臨清市京華中學?？奸_學考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．2．（2023春·廣東汕頭·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有，則△ABC的形狀是．3．（2019春·九年級單元測試）如圖1，2，3，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如圖4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，利用三角函數的定義和勾股定理證明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．題型八互余兩角三角函數的關系1．（2023春·上海普陀·九年級統考期中）在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄陽·九年級統考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·全國·九年級專題練習）三角函數，，的大小關系是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·江蘇泰州·九年級統考期中）在中，，a、b、c分別為、、的對邊，若，則的值為．3．（2023春·九年級單元測試）已知，且，求的值．題型九解直角三角形1．（2022·福建南平·統考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若，則矩形ABCD的周長可表示為（

）A． B．C． D．2．（2021春·江蘇·九年級專題練習）不能判斷是直角三角形的條件是（

）．A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？茧A段練習）在中，，若，則（）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┰赗t△ABC中，∠C＝90，sinA＝，則sinB＝．3．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數反映了直角三角形中的邊角關系（如圖）：．一般地，當、為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：；．例如：．根據上述材料內容，解決下列問題：（1）計算：_______；（2）在中，，請你求出和的長．題型十仰角俯角問題1．（2023秋·江蘇常州·九年級統考期末）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹的高度，小明站在點C處測得樹頂A的仰角為，若小明的測量點到地面距離，測量點與樹底距離，則這棵樹的高度是（

）A．6m B．m C．m D．m2．（2022秋·福建泉州·九年級統考期末）北京2022年冬奧會計劃于2月4日開幕，2月20閉幕．如圖，表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為，底端點C與頂端點B的距離為50米．則賽道的長度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米鞏固訓練1．（2023·福建泉州·統考模擬預測）如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點，于點，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點處測得點的仰角為，則乙建筑物的高約為（）（參考數據：）

A． B． C． D．2．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點拱門的高度為．（結果精確到1米；參考數據：，，）

3．（2022秋·陜西寶雞·九年級?？计谀氹u市文化景觀標志“天下第一燈”，將炎帝之火、青銅之光和金鳳還巢諸多元素綜合在一起．小明想用所學的知識來測量該燈的高度．如圖所示，他在B處安裝了高為1．5米的測傾器（即米），其測得燈頂端E的仰角為37°；他從點B開始沿直線BF方向走了24米（即米），在D處豎立一長為1．5米的標桿CD（即米），發現水平地面上的點P、標桿的頂端C與燈頂E恰好在一條直線上，已知，，，米，根據測量示意圖求該燈的高度．（參考數據：，，）

題型十一方位角問題1．（2022秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學?？茧A段練習）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處，則海輪行駛的路程的值為（）

A．海里 B．海里C．海里 D．海里2．（2023春·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）如圖，在一筆直的海岸線上有，兩個觀測站，觀測站在觀測站的正東方向，有一艘小船在點處，從處測得小船在北偏西方向，從處測得小船在北偏東的方向，點到點的距離是千米則，兩觀測站之間的距離為千米注：結果有根號的保留根號（

）

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022·河北衡水·校考模擬預測）如圖，某漁船正在海上處捕魚，先向北偏東的方向航行到處，然后右轉再航行到處．在點的正南方向，點的正東方向的處有一條船，也計劃駛往處，那么它的航向是()A．北偏東 B．北偏東 C．北偏東 D．北偏東2．（2023秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）已知B港口位于A觀測點北偏東方向，且其到A觀測點正北風向的距離的長為，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的方向航行到達C處，測得C處位于A觀測點北偏東方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離的長為．

3．（2023秋·上海閔行·九年級統考期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為海里的圓形海域內有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為32海里．

(1)若輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？(2)如果輪船繼續向正東方向航行有危險，輪船自A處開始改變航行方向，沿南偏東度方向航行確保安全通過這一海域，求的取值范圍．題型十二坡度坡比問題1．（2023春·浙江寧波·八年級統考期中）如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長度米，則坡面的水平寬度長為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·吉林長春·九年級統考開學考試）如圖，一斜坡的坡度，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，則小明上升的高度為（

）

A．米 B．20米 C．米 D．米鞏固訓練1．（2023·廣東廣州·統考一模）如圖是一個山坡，已知從處沿山坡前進160米到達處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）小華和小源利用無人機測量某座山的垂直高度．如圖所示，無人機在地面上方130米的D處測得山頂A的仰角為，測得山腳C的俯角為．已知的坡度為，點A，B，C，D在同一平面內，則此山的垂直高度為米．（結果精確到0.1）（參考數據：，，，）

3．（2023秋·山東聊城·九年級聊城市實驗中學?？茧A段練習）如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達斜坡上點，在此處測得樹頂端點的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點A到點的過程中，他上升的高度．(2)大樹的高度約為多少米參考數據：，，題型十三三角函數的其他應用1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考階段練習）如圖，為了測量河岸，兩點的距離，在與垂直的方向上取點，測得，，那么等于（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·吉林長春·九年級校考階段練習）西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表，如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱高為，已知，冬至時北京的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為（

）

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·河北保定·九年級?？茧A段練習）馬路邊上有一棵樹，樹底距離護路坡的底端有3米，斜坡的坡角為60度，小明發現，下午2點時太陽光下該樹的影子恰好為，同時刻1米長的竹竿影長為0.5米，下午4點時又發現該樹的部分影子落在斜坡上的處，且，如圖所示，線段的長度為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖1，位于市區的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點，，在同一條直線上，且，，，則線段的長約為m.（計算結果保留整數，參考數據：）

3．（2022·福建寧德·統考一模）某市游樂園有一座勻速旋轉的摩天輪，其前方有一座三層建筑物，小明想利用該建筑物的高度來估計摩天輪的高度，他通過實際體驗發現，摩天輪旋轉一周需要24分鐘，從最低點A處坐上摩天輪，經過3分鐘到點B處時，該建筑物的屋頂正好在水平視線上．根據經驗估計，該建筑物的第一層約為5米，其余兩層每層約為3.5米，摩天輪最低點A離地面2米，在不考慮其它因素的前提下，估計摩天輪的高度是多少米．(參考數據：，，，最后結果保留整數米)

題型十四三角函數的綜合1．（2023秋·上海青浦·九年級校考階段練習）在中，，，則下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽滁州·九年級校聯考階段練習）如圖，菱形的邊在y軸正半軸上，點B的坐標為．作射線，將菱形沿射線平移，當點C落在原點O的位置上時，點A的坐標為（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023·湖北恩施·統考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海長寧·統考一模）如圖，點在正方形的邊上，的平分線交邊于點，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，直線與x軸相交于點C，且點C與點A關于y軸對稱．

(1)求直線的解析式；(2)P為線段上一點，Q為線段上一點，，設點P的橫坐標為t，的面積為，求S與t之間的函數關系式；(3)在（2）的條件下，點R在第二象限內，且四邊形為平行四邊形，連接BR，，求點P的坐標．

第二十五章銳角的三角比（14類題型突破）重要題型題型一正弦的概念與計算1．（2023秋·上海普陀·九年級校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么sinBA．2 B．12 C．55 【答案】D【分析】直接利用銳角三角函數關系得出sinB【詳解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1∴AB=2∴sinB故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，正確記憶正弦值與各邊之間的關系是解題關鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB垂足為點D，那么下列線段的比值不一定等于A．ADBD B．ACAB C．ADAC【答案】A【分析】根據sinα【詳解】A.，∴∠BCD+∠∵CD⊥AB∴∠∴sin由圖得：AC與BD不一定相等，∴sinβ不一定等于B.在Rt△ABC中，C.在Rt△ACD中，D.在Rt△BCD中，故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數中正弦函數的定義，理解銳角三角函數的定義是解題的關鍵．鞏固訓練：1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考階段練習）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA的值是（

A．34 B．43 C．35【答案】C【分析】根據sinA【詳解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA故選C．【點睛】本題考查了三角函數的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．2．（2023秋·山東聊城·九年級校聯考階段練習）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，則sinB【答案】5【分析】勾股定理計算出AB，根據直角三角形中，角的正弦是角的對邊比斜邊，推出sinB=AC【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，∴AB=B∴sinB故答案為：513【點睛】本題考查了正弦的定義、勾股定理，明白“直角三角形中，角的正弦是角的對邊比斜邊”是解題的關鍵．3．（2021秋·河北邢臺·八年級統考期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA

(1)sinB(2)△ABC【答案】(1)3(2)60；150【分析】（1）根據銳角三角形函數的定義求得AB=25，根據勾股定理求得AC=15，根據銳角三角形函數的定義即可求解；（2）結合（1）中結論即可求解．【詳解】（1）解：∵sinA=4∴sinA∴AB=20÷4∴AC=A∴sinB（2）解：△ABC的周長=AB+BC+AC=25+20+15=60，S△【點睛】本題考查了銳角三角形函數，勾股定理，三角形的面積公式等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．題型二余弦的概念與計算1．（2020秋·上海嘉定·九年級統考期中）如圖，△ABC的頂點在5×6網格圖的格點上，的值為（

）

A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】由網格構造直角三角形，利用勾股定理求出斜邊，再根據銳角三角函數的定義進行計算即可．【詳解】解：如圖，取格點D，

在Rt△ABD中，∴AB=A∴cosB故選：A．【點睛】本題考查求教的余弦值，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．2．（2023·上海楊浦·統考一模）已知點A1,2在平面直角坐標系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosA．12 B．2 C．55 【答案】C【分析】作軸于H．利用勾股定理求出OA，利用余弦的定義即可解決問題．【詳解】解：如圖，作軸于H．∵A1,2∴OH=1，AH=2，∵∠AHO=90°∴OA=O∴cosα故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．鞏固訓練1．（2023秋·河北石家莊·九年級石家莊市第二十七中學?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，則等于（

A．724 B．3124 C．2425【答案】C【分析】根據勾股定理可求出BC的值，再根據余弦的計算方法求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，∴BC=A∴cosB故選：C．【點睛】本題主要考查勾股定理，余弦值的計算方法，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023秋·上海青浦·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，，則∠A的余弦值為.【答案】35/【分析】先利用勾股定理求得斜邊AB的長，再根據余弦函數的定義求解可得．【詳解】解：如圖所示，

在Rt△ABC中，∵AC=3，∴AB=A則cosA故答案為：35【點睛】本題主要考查銳角三角函數的定義，解題的關鍵是掌握勾股定理及余弦函數的定義．3．（2023秋·江西吉安·九年級統考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，(1)求AB的長；(2)求cosA，tan【答案】(1)25(2)cosA=【分析】（1）利用勾股定理進行求解即可；（2）根據余弦和正切的定義進行求解即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7∴由勾股定理，得．

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，∴cosA=AC【點睛】本題主要考查了求角的余弦值，正切值和勾股定理，熟知銳角三角函數的定義是解題的關鍵．題型三正切的概念與計算1．（2023·上海·九年級假期作業）在平面直角坐標系xOy中，已知點A2,1與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為β，那么tanA．2 B．12 C．55 【答案】B【分析】過點A作AB⊥x軸于點B，由題意易得OB=2,AB=1，然后問題可求解．【詳解】解：過點A作AB⊥x軸于點由題意得：β=∠∵A2,1∴OB=2,AB=1，∴tanβ故選B．【點睛】本題主要考查三角函數及坐標與圖形，熟練掌握求一個角的正切值是解題的關鍵2．（2023·上?！ひ荒＃┰谥苯亲鴺似矫鎯?，如果點P4，1，點P與原點O的連線與x軸正半軸的夾角是α，那么cotα的值是（A．4 B．14 C． D．17【答案】A【分析】由銳角的余切定義，即可求解．【詳解】解：如圖，∵點P4，1∴cotα故選∶A【點睛】本題考查解直角三角形，坐標與圖形的性質，關鍵是掌握銳角的三角函數定義．鞏固訓練1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級東北育才雙語學校?？茧A段練習）在Rt△ABC中，，C=90°，則下列式子成立的是（

A．sinA=sinB B．sinA=【答案】B【分析】根據各個三角函數的定義即可解答．【詳解】解：A、∵sinA=BCABB、sinA=BCABC、tanA=BCACD、cosA=ACAB故選：B．

【點睛】本題主要考查了三角函數的定義，解題的關鍵的數量掌握各個三角函數的求法．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考期中）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值是

【答案】2【分析】取格點E,F，連接EF交AB于點G，連接AE，，可得∠AEG=∠APD，證明∠AEF=90°，根據正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取格點E,F，連接EF交AB于點G，連接AE，

∵ED=FC,ED∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴EF∴∠AEG=∵AF=EB=2,AF∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴EG=1∵AE=EF=∴A∴∠∴tan∠故答案為：2．【點睛】本題考查了網格與勾股定理，求正切，熟練掌握三角函數的定義將角度轉化到直角三角形中是解題的關鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I）如圖，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，PQ⊥

(1)tanM(2)PQQN=______，【答案】(1)PQ?；MP(2)tan【分析】（1）根據角的正切值可進行求解；（2）根據角的正切值可進行求解【詳解】（1）解：由題意得：tanM故答案為PQ?；MP；（2）解：由題意得：PQQN=tan故答案為tan【點睛】本題主要考查三角函數，熟練掌握“直角三角形中一個銳角A的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切（tanA題型四特殊角的三角函數值1．（2023·上海·九年級假期作業）sin45°+cosA．2 B．3+12 C．3【答案】A【分析】根據sin45°=【詳解】解：sin45°+故選A．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值．牢記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．2．（2021·上海·九年級專題練習）在平面直角坐標系內P點的坐標是cos30°，tan45°，則P點關于yA．?32,?1 B．?1,32 【答案】D【分析】直接利用特殊角的三角函數值代入，再利用關于y軸對稱橫坐標互為相反數，縱坐標不變進而得出答案．【詳解】解：∵P點的坐標是（cos30°，tan45°），∴P32∴P點關于y軸對稱點P′的坐標為：?3故選：D．【點睛】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質以及特殊角的三角函數值，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．鞏固訓練1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學?？茧A段練習）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，則（A．12 B．32 C．33【答案】B【分析】根據特殊角的三角函數值即可求解．【詳解】解：∵∠B=30°，則32，故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．2．（2022春·湖北武漢·九年級武漢市常青第一中學?？甲灾髡猩┯嬎悖??30【答案】5【分析】首先計算零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：(1?=1+=1+=5.故答案為：5．【點睛】此題主要考查了實數的運算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．正確化簡各數是解題關鍵．3．（2022秋·云南紅河·九年級統考期末）（1）計算：?2（2）解方程：x2【答案】（1）；（2）x1=6，【分析】（1）先根據算術平方根，特殊角銳角函數值，零指數冪的性質化簡，再計算，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．【詳解】（1）解：原式=?4+3?=?（2）解：x2x?42x?4=±2．解得：x1=6，【點睛】本題主要考查了算術平方根，特殊角銳角函數值，零指數冪的性質，解一元二次方程，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．題型五特殊角三角函數值的混合運算1．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）下列計算中錯誤的是（

）A．sin60。?sin3C．tan60°=sin60°sin30° 【答案】A【分析】根據三角函數值進行計算判斷即可．【詳解】A、sin60B、sinC、tan60°=3，sinD、cot30°=3，cos30°cos60°=故選：A．【點睛】本題考查特殊三角函數值，比較基礎，熟練記憶是關鍵．2．（2019秋·九年級單元測試）計算tan6A．2 B． C．2 D．1【答案】C【詳解】解：原式=3故選C．鞏固訓練1．（2023春·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┫铝杏嬎憬Y果是有理數的是（

）A．1?1?3 B． C．sin60°?1【答案】B【分析】根據二次根式的運算法則和特殊角的三角函數值計算各選項，再判定即可得出答案．【詳解】解：A、1?1?B、2cosC、，結果是無理數，故此選項不符合題意；D、3tan故選：B．【點睛】本題考查二次根式運算，特殊角三角函數，有理數．熟練掌握二次根式運算和特殊角三角函數值是解題的關鍵．2．（2023秋·山東東營·九年級統考階段練習）計算：tan30°【答案】36/【分析】根據特殊角三角函數值進行求解即可．【詳解】解：tan3故答案為：36【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數值的混合計算，熟知30度，60度角的三角函數值是解題的關鍵．3．（2022秋·黑龍江大慶·九年級?？计谀┯嬎悖?1)；(2)6ta【答案】(1)4a?4(2)?【分析】（1）先利用平方差公式及單項式乘以多項式計算整式的乘法，再合并同類型即可；（2）先計算特殊角的三角函數值，再計算乘法，后計算加減．【詳解】（1）解：原式==4a?4；（2）原式=6×=6×=2?=?3【點睛】此題考查了實數及整式的混合運算能力，關鍵是能確定準確的運算順序，并能對各種運算進行準確計算．題型六根據特殊角三角函數值求角的度數1．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）若cosα＝12A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據cosα＝12【詳解】解：∵cosα＝12∴α＝60°．故選：C．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵.2．（2022·上海·九年級專題練習）已知α為銳角，若sinα=32，則A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】根據60度角的正弦值是32【詳解】解：∵α為銳角，sinα=∴α=60°．故選C．【點睛】此題比較簡單，只要熟知特殊角度的三角函數值即可．鞏固訓練1．（2023秋·山東聊城·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，若cosA=32，A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】根據特殊角的三角函數值求解．【詳解】解：在△ABC，tanB=∴∠A=30°，∠B∴∠故△ABC故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值．2．（2022·湖北黃岡·統考模擬預測）在△ABC中，如果滿足，則∠C=．【答案】75°/75度【分析】根據非負數的性質和特殊角的三角函數值求出∠A=60°，，再根據三角形內角和定理即可得出答案．【詳解】解：∵|sinA?，，∴∠A=60°，，∴∠故答案為：75°．【點睛】本題考查了非負數的性質，特殊角的三角函數值，掌握兩個非負數的和為0，則這兩個非負數分別等于0是解題的關鍵．3．（2023·上海·九年級假期作業）求滿足下列條件的銳角α：(1)cosα(2)?3【答案】(1)α=30°(2)α=45°【分析】（1）根據特殊角的三角函數值求解即可；（2）根據特殊角的三角函數值求解即可．【詳解】（1）解：由cosα?32=0（2）解：由?3tanα+3【點睛】本題主要是對特殊銳角三角比的值的綜合運用，熟記特殊角的三角函數值是解答的關鍵．題型七利用同角三角函數關系求值1．（2022春·九年級單元測試）若sinα?cosα=mA．1+m2 B．1?m2 C．【答案】D【分析】對原式左右兩邊進行平方計算，然后結合同角三角函數關系求解即可．【詳解】解：∵sinα∴sinα?cos∵，∴1?2sin∴sinα故選：D．【點睛】本題考查同角三角函數之間的關系，熟記并熟練運用基本結論是解題關鍵．2．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，已知Rt△ABC，CD是斜邊AB邊上的高，那么下列結論正確的是（

）A．CD=AB?tanB B．CD=AD?cotA C．【答案】D【分析】利用直角三角形的邊角間關系，計算得結論．【詳解】解：∵CD是斜邊AB邊上的高，∴△ACD、在Rt△∵CD=sin在Rt△∵CD=sin在Rt△∵∠A+∴cosA∴CD=sin故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．鞏固訓練1．（2022秋·山東聊城·九年級臨清市京華中學?？奸_學考試）在△ABC中，∠C=90°，，則值為（）A．43 B．34 C．35【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式計算出cosB=3【詳解】解：∵∠C=90°∴，∴cosB∴．故選：A．【點睛】本題考查了同角三角函數的關系：熟練掌握同角三角函數之間的關系．2．（2023春·廣東汕頭·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有tanB?3+sinA【答案】等邊三角形【分析】根據非負數的性質求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度數，即可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：由題意得，tanB=，sinA=32，則∠A=60°，∠B=60°，∠C=180°-60°-60°=60°．故△ABC為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值以及非負數的性質．3．（2019春·九年級單元測試）如圖1，2，3，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如圖4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，利用三角函數的定義和勾股定理證明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且sinA=5【答案】填空：1；1；1；（1）1；（2）證明見解析；（3）1213【分析】（1）根據三角函數的定義和所給信息可完成三個等式，再由前面的結論，即可猜想出在中，∠C=90°，sin2A（2）在中，∠C=90°，利用銳角三角函數的定義得出sinA=ac，sinB=（3）利用所得關系式，結合已知條件sinA【詳解】；；；（1）觀察上述等式，可猜想：sin2（2）在中，∠C=90°∴sinA=ac，∴；（3）∵sinA=5∴sinB故答案為：填空：1；1；1；（1）1；（2）證明見解析；（3）1213【點睛】本題考查在直角三角形中互余兩角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單．題型八互余兩角三角函數的關系1．（2023春·上海普陀·九年級統考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=2A． B．32 C．53 D．【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數關系求解，即可得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC∴cos故選：A．【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數關系，解題關鍵是掌握一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（2023春·湖北襄陽·九年級統考期中）在Rt△ABC中，A．a=csinA C．c=bcosB【答案】C【分析】根據三角函數的定義逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：、∵sinA∴a=cB、∵tan∴a=bC、∵cos∴c=D、sin故選：C．【點睛】本題考查直角三角形中互余兩角三角函數的關系以及三角函數的定義，熟練掌握三角函數的定義是關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·全國·九年級專題練習）三角函數sin70°，cos70°，A．sin70°>cosC．tan70°>sin【答案】C【分析】首先根據銳角三角函數的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，大于1，故最大；只需比較sin70°和【詳解】根據銳角三角函數的概念，知sin7又∵cos7∴sin7∴tan7故選C．【點睛】本題考查銳角三角函數．掌握銳角三角函數的性質是解題關鍵．2．（2022秋·江蘇泰州·九年級統考期中）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若a2=bc【答案】【分析】根據銳角三角函數的定義以及解一元二次方程進行解答即可．【詳解】解：∵a2=bc，即∴sinB=b又∵sin∴sin∴sinB=5故答案為：．【點睛】本題考查銳角三角函數，理解銳角三角函數的定義以及解一元二次方程是正確解答的前提．3．（2023春·九年級單元測試）已知sinα+cosα=【答案】5【分析】把已知條件兩邊平方得到，再利用，則2sinα?cosα=120169，然后得到sinα?cosα2【詳解】解：∵sinα∴sinα+cos而，∴2sin∴1?2sinα?∴sinα∵0°<α<45°，∴sinα∴sinα而sinα∴2sin∴sinα【點睛】本題考查了同角的三角函數的關系，利用好，并求出sinα<題型九解直角三角形1．（2022·福建南平·統考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若∠DCE=β，則矩形ABCD的周長可表示為（

A．22cosβC．22sinβ【答案】B【分析】構造直角三角形，運用三角函數的定義求得線段BC和CD的表達式，進而求得矩形的周長．【詳解】解：如圖，過D作DF⊥CE于點F，過B作BG⊥CE于點G，∵∠DFC=90°，∠DCE=β，∴，∵矩形ABCD，∴∠BCD=90°∴，∵∠BGC=90°∴，∵，∴，∵∠BGC=90°，∠GBC=β，∴，∵，∴矩形ABCD的周長為故選：B．【點睛】本題考查了三角函數的定義，構造直角三角形，運用三角函數的定義求相應線段的表達式是解題關鍵．2．（2021春·江蘇·九年級專題練習）不能判斷ΔABC是直角三角形的條件是（

）．A．∠A:∠B:C．sin2A+【答案】B【分析】對于A，B可根據比例關系分別求出各個角的度數，根據有一個角是直角的三角形為直角三角形即可判斷，對于C，結合sin2A+cos2A=1，可求得sinB=cosA，即∠A與∠B互余，即可判斷，根據勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形.【詳解】對于選項A，∠A:∠B:∠C=2:3:5，設∠A=2x,∠B=3x,∵∠∴2∠∴△ABC是直角三角形；對于選項B，∠設∠∵∠∴解得∠A=∠所以△ABC不是直角三角形；對于選項C，sin2A+sin2B=1，sin2A+cos2A=1，∴sinB=cosA，即∠A與∠B互余，則△ABC是直角三角形；對于選項D，AC2+BC2=AB2，則△ABC是直角三角形.故選B.【點睛】本題考查直角三角形的定義，同角的三角函數關系，互余兩角三角函數關系，勾股定理的逆定理.要判斷一個三角形是直角三角形，若已知角，只要判斷有一個角是90°或者有兩個角互余（類似本題A，B這種情況，其實只要能判斷兩角之和等于第三個角就可判斷它是直角三角形），若已知邊，則需要用勾股定理的逆定理判斷.鞏固訓練1．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？茧A段練習）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosAA．22 B．23 C．10 【答案】A【分析】畫出圖形，根據余弦的概念可得ACAB=13，根據勾股定理可得BC與【詳解】解：根據題意可得：cosA∴在Rt△ABC中，∴tan故選：A．

【點睛】本題考查了余弦和正切的概念，解直角三角形，畫出圖形，根據三角函數的值轉化到直角三角形的邊長之比，是解題的關鍵．2．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┰赗t△ABC中，∠C＝90，sinA＝35，則sinB＝【答案】45【詳解】解：在Rt△ABC中，又∵解得：cosAsin故答案為：453．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數反映了直角三角形中的邊角關系（如圖）：sinα一般地，當α、β為任意角時，sin(α+β)與sin(sin(例如：sin1根據上述材料內容，解決下列問題：（1）計算：sin7（2）在Rt△ABC中，∠A=75°,∠C=90°,AB=4，請你求出AC和【答案】（1）2+64；（2）【分析】（1）根據題干中的公式可求．（2）根據銳角的三角函數值，求AC和BC的值【詳解】解：（1）=（2）Rt△ABC中，∵∴BC=AB×2∵∠B=90?∴AC=AB×6【點睛】本題考查了同角三角函數關系，合理利用題干中告知的公式是本題的關鍵．題型十仰角俯角問題1．（2023秋·江蘇常州·九年級統考期末）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹AB的高度，小明站在點C處測得樹頂A的仰角為30°，若小明的測量點到地面距離DC=1.5m，測量點與樹底距離BC

=18m，則這棵樹AB的高度是（

）A．6m B．63m C．63?1.5m 【答案】D【分析】在Rt△【詳解】解：∵CD⊥BC，AB⊥BC，DE⊥∴四邊形BCDE是矩形，∴DE=BC=18m，BE=CD=1.5m，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=DEtan∴AB=AE+BE=63故選：D．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，正確構造直角三角形并熟練掌握銳角的三角函數概念是解題關鍵．2．（2022秋·福建泉州·九年級統考期末）北京2022年冬奧會計劃于2月4日開幕，2月20閉幕．如圖，AB表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為40°，底端點C與頂端點B的距離為50米．則賽道AB的長度為（

）

A．50sin40°米 B．50cos40°米 C．【答案】C【分析】根據sinA【詳解】解：根據題意可得：BC=50米，∠A=40°，∠C=90°∵sinA∴AB=BC故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關鍵是掌握正弦=對邊與斜邊之比．鞏固訓練1．（2023·福建泉州·統考模擬預測）如圖，線段AB、CD分別表示甲、乙建筑物的高，AB⊥MN于點B，CD⊥MN于點D，兩座建筑物間的距離BD為40m．若甲建筑物的高AB為20m，在點A處測得點C的仰角α為25°，則乙建筑物的高CD約為（）（參考數據：sin2

A． B．38.8m C．40.8m D．56.4m【答案】B【分析】作垂線構造直角三角形，再利用銳角三角函數的定義求出CE的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】過點A作AE⊥CD，垂足為E，

由題意得：AB=ED=20m，AE=BD=40m，在Rt△AEC中，∠CAE=25°∴CE＝AE·tan∴CD=CE+DE=18.8+20=38.8m故選：B．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，根據題目已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．2．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點拱門CD的頂部C的俯角為35°，底部D的俯角為45°，如果A處離地面的高度AB=20米，則起點拱門CD的高度為．（結果精確到1米；參考數據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，

【答案】6米【分析】作CE⊥AB于E，則四邊形為矩形，根據矩形的性質得到CE=DB，CD=BE，根據正切的定義求出AE，結合圖形計算即可得出答案．【詳解】解：作CE⊥AB于E，則四邊形為矩形，

∴CE=DB，CD=BE，由題意得：∠DAB=90°?45°=45°，∠CAE=90°?35°=55°∴為等腰直角三角形，∠ACE=90°?∠∴AB=DB=20米，∴CE=DB=20米，∵在Rt△ACE中，∴AE=CE?∴CD=BE=AB?AE=20?14=6（米），故答案為：6米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級校考期末）寶雞市文化景觀標志“天下第一燈”，將炎帝之火、青銅之光和金鳳還巢諸多元素綜合在一起．小明想用所學的知識來測量該燈的高度．如圖所示，他在B處安裝了高為1．5米的測傾器（即AB=1.5米），其測得燈頂端E的仰角為37°；他從點B開始沿直線BF方向走了24米（即BD=24米），在D處豎立一長為1．5米的標桿CD（即CD=1.5米），發現水平地面上的點P、標桿的頂端C與燈頂E恰好在一條直線上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，DP=1米，根據測量示意圖求該燈EF的高度．（參考數據：，，）

【答案】37.5米【分析】過點A作AG⊥EF于點G，則四邊形ABDC、四邊形CDFG均為矩形，設EF=x米，則EG=x?1.5米，證明△CDP∽△EFP，列出比例式求出DF=2x3?1，進而求出【詳解】解：如圖，過點A作AG⊥EF于點G，則四邊形ABDC、四邊形CDFG均為矩形，

∴AC=BD=24米，GF=AB=CD=1.5米，CG=DF．設EF=x米，則EG=x?1.5∵∠CDP=∠EFP=90°，∠CPD=∴△CDP∴EFPF=CD∴DF=2x又∵AC=BD=24米，CG=DF，∴AG=AC+CG=BD+DF=24+2x∵tan∠EAG=EG∴x?1.5=0.7523+解得：x=37.5，∴該燈的高度EF為37.5米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，同時考查了矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．題型十一方位角問題1．（2022秋·河南南陽·九年級南陽市第三中學?？茧A段練習）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔302海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB

A．302+1海里 B．C．303+1海里 D．【答案】C【分析】根據方向角的概念可知，由銳角三角函數的定義求出AC的值，在Rt△PBC中根據∠B=30°求出BC的值，由AB=AC+BC【詳解】解：由題意得，，PA=302，∵sin∠∴AC=PA?∵∠B=30°，PC=AC=30，，∴BC=PC∴AB=AC+BC=30+303故選C．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，熟知方向角的概念是解答此題的關鍵．2．（2023春·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個觀測站，A觀測站在B觀測站的正東方向，有一艘小船在點P處，從A處測得小船在北偏西60°方向，從B處測得小船在北偏東45°的方向，點P到點B的距離是32千米.則A，B兩觀測站之間的距離為千米.(注：結果有根號的保留根號)（

A．32+3 B．3+33 C．6【答案】B【分析】過點P作PD⊥AB于點D，在中，可得BD=PD=PB2=3千米，在Rt△PAD中，tan6【詳解】解：過點P作PD⊥AB于點D，

由題意得，∠BPD=45°，∠APD=60°，PB=32在中，∵∠BPD=45°∴BD=PD=在Rt△PAD中，解得AD=33∴AB=AD+BD=故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用?方向角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．鞏固訓練1．（2022·河北衡水·?？寄M預測）如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處，然后右轉40°再航行53km到B處．在點A的正南方向，點P的正東方向的C處有一條船，也計劃駛往A．北偏東10° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°【答案】C【分析】連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=53km，根據cos【詳解】解：如圖，連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=∴∠∵cos∴AC=∴AC=AB∴∠即B處在C處的北偏東35°方向，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數關系是解題的關鍵．2．（2023秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）已知B港口位于A觀測點北偏東45°方向，且其到A觀測點正北風向的距離BM的長為102km，一艘貨輪從B港口沿如圖所示的BC方向航行47km到達C處，測得C處位于A觀測點北偏東75°方向，則此時貨輪與A觀測點之間的距離AC

【答案】8【分析】根據，BM=102和勾股定理求出AB的長，再根據tan∠BAD=BDAD求出BD【詳解】解：∵∠MAB=45°,BM=10∴AB=過點B作BD⊥AC．交AC的延長線于D，在Rt△，tan∠∴AD=∴B即BD∴BD=10∴AD=10在Rt△BCD中，BD∴CD=2∴AC=AD?CD=10

故答案為：83【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，根據已知構造直角三角形得到邊長是解題的關鍵．3．（2023秋·上海閔行·九年級統考期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為162海里的圓形海域內有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東60°方向上，且A，P

(1)若輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？(2)如果輪船繼續向正東方向航行有危險，輪船自A處開始改變航行方向，沿南偏東α度方向航行確保安全通過這一海域，求α的取值范圍．【答案】(1)有危險(2)0<α<75°時，輪船能安全通過這一區域【分析】（1）過P作PB⊥于B，則PB的長是A沿方向距離P點的最短距離，求出最短距離，再比較比較即可；（2）設輪船沿南偏東航向是射線AC，過點P作PD⊥AC于【詳解】（1）解：過點P作PB⊥輪船航線于B，則PB的長是A沿方向距離P點的最短距離，由題意得∠PAB=90°?60°=30°，PA=32，∴在Rt△PAB中，∴sin∠∴PB=16，∵16<162答：若輪船繼續向正東方向航行有觸礁危險．（2）解：設輪船沿南偏東航向是射線AC，過點P作PD⊥AC于當時，角α的度數最大，∵在Rt△PAD中，，∴sin∠∴∠PAD=45°∴∠EAD=45°?30°=15°∴沿南偏東最大角度為90°?15°=75°方向航行確保安全通過這一海域，即0<α<75°時，輪船能安全通過這一區域．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，關鍵是如何構造直角三角形并知道求哪一條線段的長．題型十二坡度坡比問題1．（2023春·浙江寧波·八年級統考期中）如圖，大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1∶2，即BC∶AC=1∶2，若坡面AB長度10米，則坡面AB的水平寬度AC長為（

）

A．25 B．5 C．53 【答案】D【分析】根據坡度的概念得到，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：∵坡面AB的坡度為1：2，∴BCAC=由勾股定理得，AC則AC解得AC=45故斜坡的水平寬度AC的長為45故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念：坡面的鉛直高度和水平寬度l的比是解題的關鍵．2．（2023春·吉林長春·九年級統考開學考試）如圖，一斜坡的坡度i=1:2，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，則小明上升的高度BC為（

）

A．205米 B．20米 C．405米 D．【答案】A【分析】設BC=x米，根據坡度i=1:2，得出AC=2x，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設BC=x米，因為斜坡的坡度i=1:2，則AC=2x米，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，所以，100=B解得，x=205故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是根據坡度表示出兩條直角邊的長．鞏固訓練1．（2023·廣東廣州·統考一模）如圖是一個山坡，已知從A處沿山坡前進160米到達B處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A．30° B．1:2 C．1:3 D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出AC的長，進而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：AC=16則山坡的坡度為：BC:AC=80:803故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應用，正確掌握坡度的定義是解題的關鍵．2．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）小華和小源利用無人機測量某座山的垂直高度AB．如圖所示，無人機在地面BC上方130米的D處測得山頂A的仰角為22°，測得山腳C的俯角為．已知AC的坡度為1:0.75，點A，B，C，D在同一平面內，則此山的垂直高度AB為米．（結果精確到0.1）（參考數據：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，

【答案】222.9【分析】過D作DH⊥AB于點H，過點C作CR⊥DH于點R，設米，則AH=x?130米，構建方程求解即可．【詳解】解：過D作DH⊥AB于點H，過點C作CR⊥DH于點

設米，則AH=x?130米，∵AB:BC=1:0.75，∴BC=RH=0.75x米，BH=CR=130米，在Rt△DCR中，∵tan∴解得x≈222.9，∴AB=222.9米，故答案為：222.9．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．3．（2023秋·山東聊城·九年級聊城市實驗中學校考階段練習）如圖，小明為了測量小河對岸大樹BC的高度，他在點A測得大樹頂端B的仰角為45°，沿斜坡走352米到達斜坡上點D，在此處測得樹頂端點B的仰角為31°，且斜坡的坡比為1:2，E，A，C

(1)求小明從點A到點D的過程中，他上升的高度．(2)大樹BC的高度約為多少米參考數據：，，tan31°≈0.60)【答案】(1)小明從點A到點D的過程中，他上升的高度為32(2)大樹BC的高度約為米【分析】（1）作DH⊥AE于，在中，DHAH=12，則AH=2DH．由勾股定理得（2）延長BD交AE于點G.設BC=x米．求出GA=GH+AH=2.5+3=5.5(米).在Rt△BGC中，tan∠DGH=BCGC，則CG=BCtan∠DGH≈x0.60【詳解】（1）作DH⊥AE于

在中，∵DH∴AH=2DH∵A∴(2DH∴DH=32答：小明從點A到點D的過程中，他上升的高度為32米（2）如圖，延長BD交AE于點G.設BC=x米．由題意，得∠DGH=31°∴GH=∵AH=2DH=3∴GA=GH+AH=2.5+3=5.5(米).在Rt△BGC中，∴CG=BCtan在Rt△BAC中，∴AC=BC=x∵GC?AC=AG∴5解得x=33答：大樹BC的高度約為米.【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握坡角、仰角、三角函數的概念等知識是解題的關鍵．題型十三三角函數的其他應用1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯考階段練習）如圖，為了測量河岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得，∠ABC=α，那么AB等于（

）

A．a?sinα B．a?cosα C．【答案】D【分析】由題意知，∠BAC=90°，則tan∠ABC=AC【詳解】解：由題意知，∠BAC=90°∴tan∠ABC=ACAB，即故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．2．（2023秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表，如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱AC高為a，已知，冬至時北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即BC的長）約為（

）

A．asin26.5° B．acos26.5° C．acos265°【答案】D【分析】根據題意和圖形，可以用含a的式子表示出BC的長，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，立柱根部與圭表的冬至線的距離為ACtan故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數解答．鞏固訓練1．（2023秋·河北保定·九年級?？茧A段練習）馬路邊上有一棵樹AB，樹底A距離護路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角為60度，小明發現，下午2點時太陽光下該樹的影子恰好為AD，同時刻1米長的竹竿影長為0.5米，下午4點時又發現該樹的部分影子落在斜坡CD上的DE處，且BE⊥CD，如圖所示，線段DE的長度為（

）

A．33?32m B．33【答案】A【分析】根據在同一時刻物高和影長成正比，求出AB，延長，交AD于點F，根據30度角的直角三角形即可求出結果．【詳解】解：∵同時刻1米長的竹竿影長為0.5米，AD=3米，∴樹AB的高度是6米；延長，交AD于點F，

，∵AB=6，，∴AF=∴DF=AF?AD=∴DE=∴線段DE的長度為33故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用以及平行投影，解決本題的關鍵是作出輔助線得到AB的影長．2．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖1，位于市區的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點B，C，D在同一條直線上，且∠ACB=60°，∠ADB=30°，，則線段AB的長約為m.（計算結果保留整數，參考數據：3≈1.7）

【答案】15【分析】由∠ACB=60°，∠ADB=30°可得∠ADB=∠CAB=∠CAD=30°，可推得AC=CD=17.5m，由三角函數求出AB即可．【詳解】∵∠ACB=60°，∠ADB=30°，∠ACB=∴∠ADB=∴AC=CD=17.5m，又∵∠ABC=90°∴∠CAB=90°?60°=30°∵cos∠∴3解得AB≈15，故答案為：15．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出AC的長是解題關鍵．3．（2022·福建寧德·統考一模）某市游樂園有一座勻速旋轉的摩天輪，其前方有一座三層建筑物，小明想利用該建筑物的高度來估計摩天輪的高度，他通過實際體驗發現，摩天輪旋轉一周需要24分鐘，從最低點A處坐上摩天輪，經過3分鐘到點B處時，該建筑物的屋頂正好在水平視線上．根據經驗估計，該建筑物的第一層約為5米，其余兩層每層約為3.5米，摩天輪最低點A離地面2米，在不考慮其它因素的前提下，估計摩天輪的高度是多少米．(參考數據：2≈1.414，3≈1.732，

【答案】摩天輪的高度約為70米．【分析】延長DB交OA于點E，通過旋轉時間可以確定∠AOB=360°×324=45【詳解】解：如圖，延長DB交OA于點E，延長OA交地