河北省唐山市2024?2025學年高二上學期10月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．2．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．3．設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．4．若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知圓C的圓心在x軸上且經過，兩點，則圓C的標準方程是（

）A． B．C． D．6．已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一個半徑為的圓 B．是一條與相交的直線C．上的點到的距離均為 D．是兩條平行直線8．已知直線：與直線：交于點Px0,y0，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．32 D．64二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，互相平行，且，之間的距離為，則（

）A． B． C．3 D．510．數學著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內，到兩個定點，距離之比是常數（，且）的點的軌跡是圓．若兩定點，，動點滿足，則下列說法正確的是（

）A．點的軌跡圍成區域的面積為B．點的軌跡關于直線對稱C．點到原點的距離的最大值為6D．面積的最大值為11．如圖，在長方體中，，點為線段上一動點，則下列說法正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線和直線垂直，則實數.13．設點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則的最大值為.14．如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點在上移動，點在上移動，若，則的長的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．求過兩直線和的交點，且分別滿足下列條件的直線的方程．(1)過點；(2)和直線垂直．16．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？17．已知動點M與兩個定點，的距離的比為，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．18．已知為任意實數，當變化時，方程．(1)此方程表示什么圖形？圖形有什么特點？(2)求點與此方程所表示的圖形的距離的最大值，并求出此時的值．19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．

參考答案1．【答案】A【解析】根據直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據方向向量均共線，求解出結果.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2．【答案】A【詳解】，，，則．故選：A．3．【答案】C【詳解】直線的方程為，設直線的傾斜角為，當時，，②當時，直線的斜率，由于或，所以,,，所以，綜上所述：；故選：C．4．【答案】A【詳解】，即交點為，因為交點在第一象限，所以.故選：A5．【答案】A【詳解】因為圓C的圓心在x軸上，故設圓的標準方程,又經過，兩點，所以，解得，所以圓的標準方程.故選：A.6．【答案】D【詳解】由圓的方程為，可得圓的標準方程為，所以，解得，因為點在圓外，可得，整理得，解得或，綜上可得，實數的取值范圍是.故選：D.7．【答案】C【分析】設，由可得點坐標，由在直線上，故可將點代入坐標，即可得軌跡，結合選項即可得出正確答案.【詳解】設，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選C.8．【答案】D【詳解】由題知：直線恒過定點.直線化簡為：，當時，x=6，直線恒過點.當時，直線的斜率不存在，直線的斜率，則.當時，，，，則.綜上：直線恒過定點，直線恒過定點，且.因為直線與直線交于點，所以點在以為直徑的圓上，線段的中點坐標為，且，則其軌跡方程為（除點外），圓的半徑，因為表示圓上的點到原點距離的平方，設，則，所以的最大值為64.故選：D.9．【答案】AC【詳解】由，解得，滿足．的方程為，有，則，解得或，故．故選：AC．10．【答案】ABD【詳解】設動點，則，，由，即，所以，所以，所以動點的軌跡方程為，所以點的軌跡是圓且圓心，半徑為，對于A：點的軌跡區域面積，故A正確；對于B，圓心在直線上，故點的軌跡關于直線對稱，B正確，對于C，,故點到原點的距離的最大值為,C錯誤，對于D，又，所以，而，則的最大值為．D正確，故選：ABD11．【答案】ABD【詳解】對于A，由長方體性質可得，，平面，平面，平面，同理，平面，又平面，且，所以平面平面，又平面，平面.故A正確；

對于B，由A選項，平面，所以點到平面的距離和點到平面的距離相等，則.故B正確；對于C，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設外接球半徑為r，所以，所以外接球的表面積為.故C錯誤；對于D，因為平面，連接，，則直線與平面所成角即，在中，，當最小時，最大，，此時，，所以直線與平面所成角正弦值的最大值為.故D正確.故選：ABD.

12．【答案】【詳解】由于，所以，解得，所以的值為.故答案為：13．【答案】12【解析】由平面向量的數量積公式，可得的解析式；再由是圓上的動點，可得，的取值范圍；從而求得的最大值．【詳解】是圓上的動點，且，，，，，由，得，且，，的最大值為：12故答案為：．14．【答案】【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，所以兩兩垂直.過點M作，垂足分別為G，H，連接，易證.因為，所以以B為坐標原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以當，的長最小，且最小值為．故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由解得，，由兩點式直線方程得：，化簡得：；（2）∵與直線垂直，∴直線斜率，由點斜式直線方程得：，化簡得；16．【答案】四點在同一個圓上（證明見解析）【詳解】設過三點的圓的一般方程為.將三點代入得：.所以圓的一般方程為.將點代入得：，滿足方程.所以四點在同一個圓上.17．【答案】，以為圓心2為半徑的圓【詳解】設點.則，化簡得：為以為圓心2為半徑的圓.18．【答案】(1)答案見解析(2)距離的最大值為，此時【詳解】（1），解得，故當變化時，方程表示過直線和直線的交點，除直線以外的所有直線，包括直線．（2）由于到的距離為，故當過和點的直線與所給方程表示的圖形垂直時，此時距離最大，且最大值為,此時,故的斜率為，故，解得19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）（1）因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，