20222023學年六年級奧數舉一反三典型題檢測專題13圓柱和圓錐試卷滿分：100分考試時間：100分鐘一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）把一段圓柱形木料削成一個體積最大的圓錐，削去部分的體積是圓錐體積的（）A．倍 B．3倍 C．倍 D．2倍【思路引導】要求削去部分體積是圓錐體積的幾倍或幾分之幾，根據圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的，即削去的體積是圓柱體積的（1﹣）；然后根據求一個數是另一個數的幾分之幾用除法計算即可．【完整解答】解：（1﹣）÷＝＝2答：削去部分的體積是圓錐體積的2倍．故選：D。【考察注意點】此題解題的關鍵是明確：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的，然后結合題意進行解答即可．2．（3分）一個圓柱形容器，底面直徑是a厘米，里面裝滿水。把一個圓錐形鐵塊放入其中，然后再取出，這時水面下降了h厘米，這個圓錐鐵塊的體積是（）A．立方厘米 B．立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米【思路引導】根據題意知道，圓柱形容器的水面下降了h厘米的水的體積就是圓錐鐵塊的體積，由此根據圓柱的體積公式，V＝Sh＝πr2h，代入數據，列式解答即可。【完整解答】解：π×（a÷2）2×h＝（立方厘米）答：這個圓錐鐵塊的體積是立方厘米。故選：A。【考察注意點】把圓錐鐵塊完全放入水中再取出，水下降的部分的體積就是圓錐鐵塊的體積，由此利用圓柱的體積公式，列式解答即可。3．（3分）一個圓柱和一個圓錐體積相等，已知圓柱和圓錐的底面積比是2：3，那么圓柱與圓錐高的比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．1：3【思路引導】根據題干，設圓柱與圓錐的體積是V，圓柱的底面積是2S，圓錐的底面積是3S，然后根據圓柱和圓錐的體積公式求出它們的高，再求比即可解決問題。【完整解答】解：設圓柱與圓錐的體積是V，圓柱的底面積是2S，圓錐的底面積是3S，則圓柱與圓錐的高的比是：：＝1：2答：圓柱與圓錐高的比是1：2。故選：B。【考察注意點】本題考查了圓柱與圓錐的體積公式的計算應用。4．（3分）一個圓錐的底面半徑擴大2倍，高縮小一半，它的體積是原體積的（）A． B． C．2倍 D．4倍【思路引導】根據圓錐的體積公式V＝πr2h，，圓錐體的底面半徑擴大2倍，它的底面積就擴大4倍，因為圓的半徑擴大2倍，則圓的面積就擴大4倍，高縮小為原來的一半，由此得解。【完整解答】解：圓錐體的底面半徑擴大2倍，它的底面積就擴大2×2＝4倍，又知高縮小為原來的一半，由此得此它的體積就擴大4÷2＝2倍。故選：C。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握圓錐的體積公式、積的變化規律及應用。5．（3分）一個圓柱和一個圓錐，它們的底面半徑的比是2：3，體積的比是3：5，它們高的比是（）A．9：20 B．4：25 C．3：10 D．4：15【思路引導】根據圓柱和圓錐底面半徑的比為2：3，底面積公式S＝πr2分別求出它們的底面積，進而求出底面積的比為4：9；再根據圓柱和圓錐的體積比為3：5，體積公式V＝Sh和V＝Sh分別求得圓柱和圓錐的高，進而求得高的比，列式計算即可．【完整解答】解：設圓柱和圓錐底面半徑分別為2和3，體積分別為3和5，所以圓柱和圓錐底面積比是：（π×22）：（π×32）＝4：9；又因為圓柱和圓錐的體積比是3：5，所以圓柱的高是：h柱＝，h錐＝÷＝，因此圓柱和圓錐高的比是：：＝9：20；故選：A。【考察注意點】本題關鍵是運用圓柱的體積計算公式V＝Sh和圓錐的體積計算公V＝Sh解決問題．6．（3分）如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容器的一半，這個容器最多能裝水（）升．A．100 B．200 C．400 D．800【思路引導】要求容器最多裝多少水量，即要算出容器與現有水量的比例關系，容器的高度是水面高度的2倍，底面半徑是現有水量的底面半徑的2被，根據圓錐的體積公式：．容器的體積與現有裝的水量之比為8：1，故很容易求出容器的最大裝水量．【完整解答】解：根據分析，易知，容器的高為水面的高的2倍，即：H＝2h，R＝2r，如圖：設容器的體積為V大現有裝水量為V水，由題意，V水＝50L根據圓錐的體積公式：．得：＝＝8×50＝400L故選：C。【考察注意點】本題考查了圓柱與圓錐知識點，本題突破點是：找到容器體積和現有裝水量的比例關系，再利用體積公式算出容器的最大裝水量．7．（3分）用60個完全相同的鐵圓柱可以熔鑄成（）個與它等底等高的鐵圓錐．A．180 B．120 C．20 D．30【思路引導】本題是把圓柱體熔鑄成等底等高的圓錐，由于一個圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍，也就是說，要3個這樣的圓錐才能熔鑄成1個等底等高的圓柱體，所以就是求3個60是多少，然后解答即可．【完整解答】解：3×60＝180（個）故選：A。【考察注意點】此題是考查圓柱、圓錐的關系，要注意在等底等高的條件下，圓柱體積是圓錐體積的3倍．8．（3分）一個圓柱的高不變，底面半徑擴大3倍，它的體積擴大（）A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．8倍【思路引導】我們知道，圓柱的底面半徑擴大3倍，則它的底面積就擴大9倍，在高不變的情況下，體積就擴大9倍，所以應選C；也可用假設法通過計算選出正確答案．【完整解答】解：因為V＝πr2h當r擴大3倍時，V＝π（r×3）2h＝πr2h×9所以體積就擴大9倍；或：假設底面半徑是1，高也是1；V1＝3.14×12×1＝3.14當半徑擴大3倍時，R＝3V2＝3.14×32×1＝3.14×9所以體積就擴大9倍；故選：C。【考察注意點】此題的解答具有開放性，可靈活選用自己喜歡的方法解答．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）9．（2分）自來水管的內半徑是1厘米，水管內水的流速是每秒8厘米，一位同學去洗手，走時忘記關掉水龍頭，10分鐘后才被另一同學發現關上，問浪費了15.07升水．（精確到0.01）【思路引導】先求出10分鐘從水管中流出的水的長度，再利用圓柱的體積＝底面積×高，即可求出浪費的水的體積．【完整解答】解：10分鐘＝600秒，1厘米＝0.1分米，8厘米＝0.8分米，3.14×0.12×（0.8×600）＝3.14×0.01×480＝3.14×4.8＝15.072（立方分米）＝15.072≈15.07（升）；故答案為15.07．【考察注意點】此題主要考查圓柱體的體積計算公式：V＝πr2h，解答時一定要注意分清題目中條件，靈活解答．10．（2分）大圓柱的高是小圓柱的2倍，大圓柱的側面積是小圓柱側面積的12倍，大圓柱的體積是小圓柱體積的72倍．【思路引導】從問題著手，兩圓柱的體積之比，與底面半徑和高都有一定的關系，而側面積之比等于底面半徑之比與高之比的乘積，在已知高之比和側面積之比的前提下，可以算出底面半徑之比，進而求出體積之比．【完整解答】解：圓柱的側面積＝2πrh，設大圓柱的側面積為S大，小圓柱的側面積為S小，由題意得S大＝12S小；h大＝2h小∴r大＝6r小；則大圓柱的體積：V大＝πr大2h大＝π（6r小）2×2h小＝72πr小2h小＝72V小故答案為：72．【考察注意點】本題考查了圓柱的體積計算，本題突破點是：利用圓柱的側面積公式，和體積公式，從而求出體積之比．11．（2分）在阿基米德的墓碑上鐫刻著一個等邊圓柱體（即：高與底面直徑相等的圓柱）。如圖，從一個等邊圓柱體中截出一個圓錐，如果剩下部分的表面積與圓錐表面積的差為1256平方厘米，則圓柱的表面積為1884平方厘米。（π取3.14）【思路引導】如圖，從圖中可以看出，截出的兩個幾何體表面積之差恰為圓柱體的側面積，又圓柱體的高是圓柱體底面半徑的2倍，從而圓柱體的側面積和圓柱體的表面積的比值可得，再由已知圓柱體的側面積為1256平方厘米，則圓柱體的表面積可求。【完整解答】解：如圖，設原圓柱體的底面積半徑為r，則此圓柱體的高h＝2r，S側面積＝2πrh＝4πr2，而S表面積＝S側面積+S底面積＝4πr2+2πr2＝6πr2，則S表面積：S側面積＝6πr2：4πr2＝1.5，又S側面積＝1256平方厘米，則S表面積＝1.5×1256＝1884（平方厘米）。故答案為：1884平方厘米。【考察注意點】本題考查圓柱體的側面積和表面積，及圓錐體的表面積，學會區分表面積與側面積之間的區別，可以通過自己動手作圖加深理解表面積的意義。12．（2分）如圖所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圓柱和圓錐形鐵塊，根據圖1和圖2的變化知，圓柱形鐵塊的體積是15.42立方分米．【思路引導】根據等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，可知放入一個圓柱和兩個圓錐后溢出水的體積是25.7立方分米，即是一個圓柱和兩個圓錐的體積是25.7立方分米，據此可求出圓錐的體積，進而可求出圓柱的體積．據此解答．【完整解答】解：25.7÷（1+1+3）＝25.7÷5＝5.14（立方分米）5.14×3＝15.42（立方分米）答：圓柱形鐵塊的體積是15.42立方分米．故答案為：15.42．【考察注意點】本題重點考查了學生對等底等高的圓柱是圓錐體積的3倍這一知識的靈活運用．13．（2分）如圖，甲，乙兩個圓柱形容器的底面半徑分別是2厘米和3厘米．已知甲容器裝滿水，乙容器是空的．現將甲容器中的水全部倒入乙容器，水面的高比甲容器高的少6厘米，則甲容器的高是27厘米．【思路引導】半徑分別為2厘米和3厘米，從而可以分別求得它們的底面積．設容器的高度為x厘米，則容器乙中的水深就是（x﹣6）厘米，根據等量關系：水的體積前后沒有改變，利用圓柱的體積公式即可列出方程解決問題．【完整解答】解：設容器的高為x厘米，則容器B中的水深就是（x﹣6）厘米，根據題意可得方程：3.14×22×x＝3.14×32×（x﹣6）3.14×4×x＝3.14×9×（x﹣6），4x＝6x﹣542x＝54x＝27答：甲容器的高度是27厘米．故答案為：27．【考察注意點】此題考查圓柱體積計算公式的運用，掌握圓柱體積計算公式是解決問題的關鍵．14．（2分）如圖，一個圓柱形玻璃杯內放有一個半徑和高都與圓柱相等的圓錐形鐵塊．現在向杯內倒水，當水面高度是杯高的三分之二時，還需再倒260立方厘米的水才能將被子倒滿．這個圓錐形鐵塊的體積是270立方厘米．【思路引導】由題意，水面之上的小圓錐，半徑和高都是大圓錐的，故體積是大圓錐體積的＝，設小圓錐體積為x立方厘米，則大圓錐體積為27x立方厘米，有方程260+x＝V圓柱＝V大圓錐＝27x，求出x，即可得出結論．【完整解答】解：由題意，水面之上的小圓錐，半徑和高都是大圓錐的，故體積是大圓錐體積的＝，設小圓錐體積為x立方厘米，則大圓錐體積為27x立方厘米，有方程260+x＝V圓柱＝V大圓錐＝27x所以x＝10，27x＝270，故答案為270．【考察注意點】本題考查圓柱與圓錐體積的計算，考查方程思想，正確建立方程是關鍵．15．（2分）一個圓柱體，高增加2厘米后，側面積增加了12.56平方厘米，已知圓柱現在的高是10厘米，它原來的體積是25.12立方厘米．【思路引導】如果高增加2厘米，側面積增加12.56平方厘米，那么圓柱的底面周長應該是12.56÷2＝6.28厘米，此長度應該是圓柱原來的底面周長，求出圓的半徑，又知高是10厘米，求出原來的高，依據體積＝底面面積×高即可解答．【完整解答】解：12.56÷2÷3.14÷2＝6.28÷6.28＝1（厘米）3.14×1×1×（10﹣2）＝25.12（立方厘米）故答案為：25.12．【考察注意點】解答本題的關鍵是根據增加的側面積，求出圓柱原來的底面周長和半徑．16．（2分）綠頭蠅沿30度角爬上一個高為10厘米的圓柱體．當其爬到頂上的時候，它沿圓柱的側面爬行了20厘米．【思路引導】將圓柱側面展開，連接AB，根據30度角對應的直角邊是斜邊的一半即可求出AB的長．【完整解答】解：根據題意得，BC＝10厘米，∠BAC＝30°，所以AB＝BC×2＝20（厘米），答：它沿圓柱的側面爬行了20厘米；故答案為：20．【考察注意點】此題考查了圓柱的側面展開圖和“兩點之間線段最短”，利用30度角對應的直角邊是斜邊的一半求出答案是解題的關鍵．17．（2分）一個正方體的體積為1800立方厘米，將它切成兩個長方體，而且兩個長方體體積之比為1：2，若將其中較大的一個長方體加工成一個最大圓柱體，求圓柱體的體積最大等于942立方厘米．（π取3.14）【思路引導】設正方體的棱長是2r厘米，根據正方體的體積計算公式可得出：8r3＝1800，即r3＝225立方厘米，將其中較大的一個長方體加工成一個最大圓柱體，則加工的圓柱的底面半徑最大是（2r÷2），高是正方體棱長的，進而根據圓柱的體積計算公式求出圓柱的體積．【完整解答】解：設正方體的棱長是2r厘米，則：（2r）3＝1800，即8r3＝1800，r3＝225，因為兩個長方體體積之比為1：2，則高的比是1：2，所以，高為棱長的，則較大的一個長方體加工成一個最大圓柱體最大體積為：π（2r÷2）2×（2r×），＝πr2×r，＝πr3，＝×3.14×225，＝942（立方厘米）；答：圓柱體的體積最大等于942立方厘米；故答案為：942．【考察注意點】解答此題的關鍵是：先根據正方體的體積計算公式求出棱長的立方是多少，進而根據長方體中切割最大圓柱體的特點，求出切割后的圓柱體的底面半徑和高，進而根據圓柱的體積計算公式進行解答即可．18．（2分）如圖，固定于地面的一容器由三段組成，每段都是圓柱體且高度相同，三個圓柱的半徑之比1：3：5．如果將水注入容器內，水位分別在高度、高度和裝滿時的儲水量的最簡整數比為a：b：c，那么a+b+c＝94．【思路引導】水位在高度時，水的體積就是大圓柱的容積，水位在的高度時，水的體積就是大圓柱和中圓柱的兩個容積和，裝滿水時，水的體積就是三個圓柱的容積之和．因為三個圓柱的高相等，因此三個圓柱的容積比就等于底面積之比．【完整解答】解：三個圓柱的底面積之比為12：32：52＝1：9：25a：b：c＝25：（25+9）：（25+9+1）＝25：34：3525+34+35＝94故答案為：94．【考察注意點】此題的關鍵是分析水在三個不同的高度的時候，水的體積對應著什么．三．解答題（共10小題，滿分56分）19．（5分）這里有一個圓柱和一個圓錐（如圖），它們的高和底面直徑都標在圖上，單位是厘米．請回答：圓錐體積與圓柱體積的比是多少？【思路引導】利用V＝sh求得圓錐的體積，V＝sh求得圓柱的體積，依此可得圓錐體積與圓柱體積的比．【完整解答】解：圓錐體積：圓柱體積＝（×3.14×22×4）：（3.14×42×8）＝（×22×4）：（42×8）＝1：24；答：圓錐體積與圓柱體積的比是1：24．【考察注意點】此題是求圓柱、圓錐的體積，可利用它們的體積公式解答．20．（5分）王師傅是一位手藝高超的工匠。有一天，一位顧客拿來一塊長60厘米、寬40厘米的長方形白鐵皮，請王師傅用這塊白鐵皮做圓柱形容器的側面，并給容器配.上底，要求做成的容器的容積盡可能大。有幾種不同的設計方案？最大的容積是多少？【思路引導】根據圓柱的側面展開是一個長方形，因此，用一塊長60厘米、寬40厘米的鐵皮做圓柱形水桶的側面，有兩種做法，可以用60厘米作圓柱的底面周長，40厘米作高，也可以用40厘米作圓柱的底面周長，60厘米作高，再根據圓柱的容積公式：V＝Sh，把數據代入公式解答。【完整解答】解：鐵桶有以60厘米的邊為高和以40厘米的邊為高兩種做法。①以60厘米為高，40厘米為底面周長，由2πr＝40知，r＝，此時桶的容積為：πr2h＝π（）2×60＝≈7643（立方厘米）②以40厘米為高，60厘米為底面周長，由2πr＝60知，r＝，此時桶的容積為：＝≈11465（立方厘米）11465立方厘米＞7643立方厘米；答：這有2種不同的設計方案；最大的容積是11465立方厘米。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握圓柱側面展開圖的特征，以及圓柱容積公式的靈活運用。21．（5分）一個圓柱體油桶的高是10分米，將它的側面展開，會得到一個長為25.12分米的長方形．這個油桶能裝油多少升？（π取3.14）【思路引導】圓柱側面展開得到的長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高，根據圓的周長公式求出半徑，再求出容積即可．【完整解答】解：25.12÷3.14÷2＝4（分米）3.14×42×10＝502.4（立方分米）502.4立方分米＝502.4升答：這個油桶能裝油502.4升．【考察注意點】解答本題關鍵是理解側面展開圖的長等于圓柱的底面周長．22．（5分）一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？（π取3.14）【思路引導】放入鐵塊前后的水的體積不變，根據水深8厘米，可以先求得水的體積，那么放入鐵塊后，容器的水與容器接觸底面積變小了，即3.14×102﹣8×8＝250平方厘米，由此根據h＝V÷S可以求得此時水的深度，減去原來沒放入鐵塊的水深就是上升的高度．【完整解答】解：3.14×102×8÷（3.14×102﹣8×8）﹣8＝2512÷250﹣8＝10.048﹣8＝2.048（厘米）答：水面上升了2.048厘米．【考察注意點】抓住前后水的體積不變，原來底面積減少了鐵塊的底面積部分，利用圓柱的體積公式即可求得底面積減少后的水深，由此即可解決問題．23．（6分）張大爺去年用長2米寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤，今年改用長3米寬2米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤．今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍？【思路引導】依據經驗可得：用長方形的長作底面周長，寬作高，圍成的圓柱的容積最大，據此利用圓柱的體積公式即可得解．【完整解答】解：π××2÷[π××1]＝×2÷＝÷＝4.5倍；答：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的4.5倍．【考察注意點】解答此題的關鍵是明白：用長方形的長作底面周長，寬作高，圍成的圓柱的容積最大．24．（6分）如圖是一張長方形鐵皮，利用圖中陰影部分剛好做成一個罐頭盒．求這個罐頭盒的容積．（接頭處和鐵皮厚度忽略不計）【思路引導】根據所給的圖，所做成的圓柱的底面周長是24.84減去一個底面直徑，圓柱的高是2個底面直徑，由此求出底面直徑，再根據圓柱的體積公式，即可作答．【完整解答】解：底面直徑是：24.84÷（3.14+1）＝24.84÷4.14＝6（厘米）高是：6×2＝12（厘米）容積是：3.14×（6÷2）2×12＝3.14×9×12＝339.12（立方厘米）＝339.12（毫升）答：這個油桶的容積是339.12毫升．【考察注意點】解答此題的關鍵是，根據所給的圖形，找出它們之間的聯系，再根據相應的公式，解答即可．25．（6分）有一個底面長20分米、寬8分米、高15分米的長方形水池，存有池水．將一個高50分米，體積為400立方分米的圓柱體豎直放入水池中，那么圓柱體被水浸濕的部分有幾分米高？【思路引導】根據題意，長方形水池長20分米、寬8分米、高15分米，存有池水，所以水的體積＝20×8×15×＝1600（立方分米），圓柱高50分米，體積為400立方分米，則圓柱的底面積＝400÷50＝8（分米），圓柱體豎直放入水池中，此時水池的底面積為20×8﹣8＝152（平方分米），此時圓柱被水浸濕的部分＝水的體積÷水的底面積，據此回答．【完整解答】解：20×8×15×÷[20×8﹣（400÷50）]＝1600÷152＝（分米），即水沒有溢出．答：圓柱體被水浸濕的部分有分米高．【考察注意點】本題考查了長方體與圓柱的體積，解決本題的關鍵是被水浸濕的高度＝水的體積÷水的底面積．26．（6分）用鐵皮制作兩個圓柱形水桶（無蓋），底面積半徑為12cm，高為40cm，制作這樣兩個水桶需用鐵皮多少平方分米？【思路引導】一個水桶兩個面，一個的底面，另一個是側面，其中側面積等于底面周長×高．【完整解答】解：底面積：π×12×12＝144π（平方厘米）側面積：2×12π×40＝960π（平方厘米）兩個水桶需要鐵皮：（144π+960π）×2÷100＝69.3312（平方分米）答：制作這樣的兩個水桶需用鐵皮69.3312平方分米．【考察注意點】此題主要考查圓柱表面積的計算方法．27．