專題04三角函數（新定義）

一、單選題

1.（2023秋.山東臨沂.高一統考期末）我們學過度量角有角度制與弧度制，最近，有學者提出用“面度制”度

量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數，從而稱這個常

數為該角的面度數，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度數為12兀，

則角。的正弦值為（）

2.（2023秋?江蘇蘇州?高一統考期末）定義:正割secc=—余割csca=—匚.已知加為正實數，且

cos6Zsma

機?。2》+121?%？15對任意的實數《戶上乃+不壯2）均成立，則加的最小值為（）

A.1B.4C.8D.9

3.（2022?全國?高一專題練習）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位

的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數碼表示角的大小，在百位數與十位數之間畫一條短

線，如7密位寫成“0-07”，478密位寫成“4-78”.若（sine-cosay=2sinacosc,則角a可取的值用密位制

表示錯誤的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

4.（2022秋?山東青島?高三山東省青島第五十八中學校考階段練習）計算器是如何計算sinx,cos%,/,

Inx,6等函數值的呢？計算器使用的是數值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這

r3r5V7v2r4r6

些函數，通過計算多項式的值求出原函數的值，$0sinx=x-—+cosx=l-—+

3!5!7!2!4!6!

其中〃!=lx2x...x”，英國數學家泰勒發現了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的sinx和

COSX的值也就越精確.運用上述思想，可得到-si”與+1）的近似值為（）

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

5.（2022春?廣東中山?高二統考期末）密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的士稱為1密位.用密

6000

位作為角的度量單位來度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個數字來記角的密位，且在百位

數字與十位數字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個平角=30—00,1個周

角=60—00,已知函數/（x）=7^x-2cosx,xe叁與，當/（尤）取到最大值時對應的無用密位制表示為（）

A.15—00B.35—00C.40—00D.45—00

6.（2022春?云南昆明?高二校考期末）在平面直角坐標系xOy中，P（x,y）（孫M）是角Q終邊上一點，P

YYX

與原點0之間距離為r,比值一叫做角a的正割，記作seca；比值一叫做角a的余割，記作csca；比值一叫

xyy

做角a的余切，記作cota.四名同學計算同一個角力的不同三角函數值如下：甲：sec/=-9；乙：csc￡=g；

34

丙：tan/?=-—；丁：cot/?=j.

如果只有一名同學的結果是錯誤的，則錯誤的同學是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

[a,a>b

7.（2023秋?湖南邵陽?高一統考期末）設￡R,定義運算〃區6=則函數/（x）=sin%區cos尤的

[b,a<b

最小值為（）

J21

A.-1B.-注C.——D.0

22

8.（2023秋.浙江杭州.高一浙江大學附屬中學校考期末）正割（secant）及余割（cosecant）這兩個概念是由伊

朗數學家阿布爾?威發首先引入的.定義正割seca=—,余割csca=—.已知加為正實數，且

cosasina

根?csc2x+tan?15對任意的實數。￡Z）均成立，則機的最小值為（）

A.1B.4C.8D.9

9.（2022春.江西景德鎮.高二景德鎮一中校考期中）對集合也,。2,…，％｝和常數加，把

/=空（%一句+到3—"）+???+s.（%—m）定義為集合｛知出,…9｝相對于m的“正弦方差”，則集合

k

9相對于加的“正弦方差”為（）

[02bJ

A.1B.1C.1D.與加有關的值

222

10.（2022秋?山東?高三山東聊城一中校聯考階段練習）現有如下信息：

（1）黃金分割比（簡稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長部分的長度之比等于較

長部分與整體長度之比，其比值為避二1

2

（2）黃金三角形被譽為最美三角形，是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形.

（3）有一個內角為36。的等腰三角形為黃金三角形，

由上述信息可求得5而126。=（）

Ay/5—1+1

A.-------RD.--------

22

C.>TD.>+l

44

ab

11.（2021秋?四川巴中?高一校聯考期末）定義運算^ad-bc如果

cJa

,,105jrTT

小)=2sm(5+"(…的圖像的一條對稱軸為滿足等式2W=3tM則。取最

小值時，函數的最小正周期為()

71

A.~2B.兀D.2兀

12.(2020?全國?高三校聯考階段練習)對于集合｛石,孫…,五｝，定義:

COS2（玉-X）+COS2（x-X）H------FCOS2（%〃一%）

o20為集合｛石,入2，…，%｝相對于%的“余弦方差”，則集合

n

相對于X。的“余弦方差”為(）

￡D.乎

A.B叵

4-I2

13.(2020秋?江西宜春?高三奉新縣第一中學校考階段練習)已知函數/'(x)=2tan(。尤)(0>0)的圖象與直線

,、[a,a..b

i=2的相鄰交點間的距圖為萬，若定義max｛a,b｝=1,則函數〃(x)=max"(x),f(x)cosx｝在區間

[b,a<b

14.(2022春?陜西延安?高一校考階段練習)對于函數f(x),在使/(x)NM成立的所有常數M中，我們把M

的最大值稱為函數Ax)的“下確界”.若函數/(x)=3cos(2x-g1+l,尤的“下確界，為一，貝1]小的

取值范圍是()

15.（2020?全國?高一假期作業）如果函數〃x）在區間。上是凸函數，那么對于區間。內的任意4,^2,

%,都有/（xJ+/KJ…+"%）<f[.+々；-+尤]，若尸sinx在區間（0,乃上是凸函數，那么在MBC

中，sinA+sin_B+sinC的最大值是（）

A.-B.3C.立D.迪

222

二、多選題

16.（2022?全國?高一專題練習）定義：〃=cos?-q）+cos?（a4）+???+cos?（--4）為集合

n

A={GC，…0}相對常數4的“余弦方差”.若0,^,則集合A=g,0%目對。的“余弦方差”的取值可能

為（）

A.-B.-C.-D.-

8245

17.（2021秋.全國?高三校聯考期中）數學中一般用min{a,6}表示a,b中的較小值，max{a,6}表示a,b

中的較大值；關于函數：/（x）=min|sinx+A/3COSJ;,sinx-yficos；

g（無）=max卜inx+gcos尤,sinx-石cosx},有如下四個命題，其中是真命題的是（）

A.〃尤）與g（x）的最小正周期均為萬

B.與g（"的圖象均關于直線尤=芋對稱

C.“X）的最大值是g（x）的最小值

D.〃尤）與g（x）的圖象關于原點中心對稱

1T

18.（2022?江蘇?高一專題練習）已知角。和。都是任意角，若滿足。+9=]+2日#wZ,則稱。與9“廣義

互余”?若sin（乃+可=-；，則下列角夕中，可能與角a"廣義互余''的有（）

A.sin。=半B.cos（%+￡）=：C.tan/=岳D.tan〃="

19.（2022春?遼寧沈陽?高一沈陽市第一二O中學校考階段練習）在數學史上，為了三角計算的簡便并且更

加追求計算的精確性，曾經出現過下列兩種三角函數：定義1-COS。為角。的正矢，記作versin。，定義1-sin。

為角。的余矢，記作coversin。，則下列命題正確的是（）

.16%1

A.versm-----=—

32

B.versin----6=coversmO

coversinx-]-

貝!2

C.右；~乙，J(coversinx-versinx)=—

versmx-1

函數/(%)=ver

sinf2020%-y+coversin2020%+—的最大值為2+0

D.I6

20.(2022秋.河南濮陽.高一濮陽一高校考期末)在數學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精

確性，曾經出現過下列兩種三角函數:?定義1-cos。為角。的正矢，記作ursine,?定義1-sing為角。的余

矢，記作coversin。，則下列命題中正確的是()

「31

A.函數y=versinx在肛2萬上是減函數

B.函數y=--------；——的取小正周期為乃

coversmx

.71.

C.versin(——0)=coversin0

D.versin(cr+J3)=versina-coversin/?+coversina?versin0

三、填空題

21.(2023?高一課時練習)我們規定把y=g[cos2(2+A)+cos22+cos2(2-A)]叫做8對A的余弦方差，那

么對任意實數8,8對三的余弦方差是

22.(2022.全國?高一專題練習)已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數，若存在實數也〃，使得

h[x}=nf{x}+ng{x},則稱人⑺是/(無),g(x)在R上生成的函數.

若〃x)=cos21■-sin],g(x)=sinx,以下四個函數中:

③y=2cos2@y=2sin2lx.

所有是/(x)，g(x)在H上生成的函數的序號為.

abab

23.(2021春?江蘇淮安?高一校聯考階段練習)形如的式子叫做行列式,其運算法則為=ad-be,

cdcd

心

sin15°

2

則行列式的值是

cos15°顯

2

24.（2023?高一課時練習）若兩個函數的圖象經過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數為“同形”函數.給

出下列四個函數：①/（x）=sinx+cosx；②力（x）=0sinx+逝；③力⑺=sinx；④

力（x）=^（sinx+cosx）.其中“同形”函數有.（選填序號）

25.（2023?高一課時練習）在直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點叫格點.若函數y=/（x）的圖像恰好經

過上個格點，則稱函數為左階格點函數.在彳亡［-心句上，下列函數中，為一階格點函數的是

.（選填序號）①y=sinx；（2）y=ex-1；③y=lnx；@y=x2

26.（2022春?河南商丘?高一商丘市第一高級中學校考開學考試）在平面直角坐標系X。，中，己知任意角。以

坐標原點。為頂點，x軸的非負半軸為始邊，若終邊經過點p（x。,%）,且即|=r（r>0）,定義：sos6=國土員，

r

稱“SOS。”為“正余弦函數”，對于“正余弦函數y=sosx”，有同學得到以下性質：

①該函數的值域為［-后,0］;②該函數的圖象關于原點對稱；

3

③該函數的圖象關于直線x=對稱；④該函數為周期函數，且最小正周期為2萬；

4

37T

⑤該函數的遞增區間為2k7r--^,2k7r+—kez.

其中正確的是.（填上所有正確性質的序號）

ab4

27.（2015秋?廣東揭陽?高一統考期中）定義一種運算4@%=」""一,令f（x）=（cos2x+siflx）?2,

bza>b4

植F

窠；I的最大值是

且富圈噌I‘則函數,外

M這區,a

四、解答題

28.（2023春?云南文山?高一校考階段練習）人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉

識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在

人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距

離.若二維空間有兩個點4（%,%）,B（孫力），則曼哈頓距離為:d（A3）=/-余弦相似度為:

（［々

cosA,B}=,%—x-_x,%余弦距離為l-cos（AB）

&+正+貨代+y；&+貨

⑴若A（-l,2）,求A，8之間的曼哈頓距離d（A3）和余弦距離;

12

⑵已知Af（sin<z,cosa）,N（sin，,cos，），Q（sin△-cos，），若cos（M,N）=《，cos（Af,Q）=1■，求tanetan￡

的值

29.（2023?高一課時練習）知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊

長與角的大小之間可以相互轉化.與之類似，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系，我們定義：等腰

三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖，在AABC中，AB=AC.頂角A的正對記作sadA,這

時騁電=需二器.容易知道一個角的