第04講平面向量系數和（等和線、等值線）問題

（高階拓展、競賽適用）

（5類核心考點精講精練）

I傳.考情探究?

平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。

平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。

近年，高考、模考中有關“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，

往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共

線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數

形結合思想得到了有效體現，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用

知識點1平面向量系數和（等和線）講解

考點1"x+y"或"A+H"型綜合

考點2"mx+ny"或"mA+np"型蹤合

考點3"x-jT或"A-H"型綜合

考點4"mx-ny"或"mA-nx"型蹤合

考點5系數和（等和線、等值線）的琮合應用

知識講解

如圖，P為AAOB所在平面上一點，過O作直線///48,由平面向量基本定理知:

存在》/￡火，OP=xOA+yOB

A

下面根據點P的位置分幾種情況來考慮系數和x+y的值

①若尸e/時，則射線0P與/無交點，由///48知，存在實數4，使得歷=九萬

而刀=礪一次，所以麗=4?一/方，于是x+y=4-/l=0

②若尸時，

(i)如圖1,當尸在/右側時，過尸作CD//4B,交射線0408于C,。兩點，則

A0CD?A0AB,不妨設A0CD與A0AB的相似比為左

由P,C,。三點共線可知：存在4eR使得：

0P=A0C+(l-A)0D=kA0A+k(l-A)0B

所以x+y=左之+左(1-4)=左

(ii)當尸在/左側時，射線。尸的反向延長線與48有交點，如圖1作尸關于。的對稱點P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

0P'=A0C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以萬=-kXOA+-(1-2)05

于是x+y=-kA+-左(1-A)=-k

綜合上面的討論可知：圖中而用方，礪線性表示時，其系數和x+.v只與兩三角形的相似比有關。

我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A8邊的垂線

設點尸在/'上的射影為尸‘，直線r交直線ZB于點片，則|幻=^^(左的符號由點尸的位置確定)，因

此只需求出|。尸'I的范圍便知x+y的范圍

考點一、“x+v”或以+〃”型綜合

典例引領

1.(全國?高考真題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若屈=4

AB+^AD;則2+〃的最大值為

A.3B.272C.V5D.2

【答案】A

【法一：系數和】，分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當等和線/與圓相切時，2+〃最大，此時

,AFAB+BE+EF3AB

/I+，==--------=---=3,故選N.

ABABAB

【法二：坐標法】詳見解析版

2,（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形尸中，動圓0的半徑為1,圓心在線段CD（含短點）上運

動，尸是圓0上及其內部的動點，設向量4?=加+（加〃￡7?）,則加+〃的取值范圍是（）

4（1,2]5.[5,6]C.[2,5]￡>.[3,5]

AC：2

分析:如圖，設4P=mAB+nAF由等和線結論，加+〃=白￡=/2=2.此為加+〃的最小值；

ABAB

__.__?__?

同理，設4P=m4B+nAF,由等和線結論，m+n=-----=5.此為加+〃的最大值.

AB

綜上可知冽+〃￡[2,5].

即時性測

1.在矩形4BC。中，AB=1,AD=2,動點尸在以點C為圓心且與AD相切的圓上,

若萬=4萬+〃彳萬，則4+〃的最大值為（）

A3B2V2CV5D2

2.如圖，正六邊形48。。￡尸，尸是ACDE內（包括邊界）的動

點，^AP=aAB+j3AF（a,/3eR）,則a+尸的取值范圍是

3.如圖在直角梯形/8C。中，AB//CD,ABLAD,AD=DC=\,AB=3,動點尸在以C為圓心,

且與直線RD相切的圓內運動，^~AP=ocAD+pAB{a,/3&R）

則a+夕的取值范圍是

3.在A/8C中，AB=6,BC=8,ABIBC,M是外接圓上一動點，若加=2萬+〃就，則之+〃

的最大值是（）

54

A.1B.-C.-D.2

43

4.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習）在“8C中，A8=4,BC=3,C4=2,點尸在該三角形的內切圓

上運動，若萬=機刀+〃就（加，”為實數），則小+"的最小值為（）

5.（22-23高一下?廣東珠海?期末）在A48c中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,尸是“3C的外接圓上的一

點，若萬=加罰+〃就，貝1］加+〃的最大值是（）

31二

A.1B.-C.-D.V3

2，

考點二、“+”或“+”型綜合

典例引領

1.已知。是“BC內一點，且E+礪+玩=。,點/在AOBC內（不含邊界），若而=2萬+〃就，則

4+2〃的取值范圍是

2.已知A48C為邊長為2的等邊三角形，動點尸在以8C為直徑的半圓上.若刀=4萬+〃k,則

22+〃的取值范圍是

3.若點C在以尸為圓心,6為半徑的弧AB上，且PC=xPA+yPB，則2x+3y的取值范圍為

4.設長方形ABCD的邊長分別是AD=LAB=2,點、P是ABCD內（含邊界）的動點，設AP^xAB+yAD,

則x+2y的取值范圍是

1.在矩形ABCD中，48=1,AD=y/3,P為矩形內一點，且=.若萬=2礪+〃通,則

幾+石〃的最大值為（）

a3RV6r3+V30V6+3V2

2244

2.2023?安徽淮南?一模）已知G是的重心，過點G作直線AW與48,/C交于點MN,且寂=苫刀,

AN=yAC,（x,y>0）,則3x+y的最小值是

87542/-

A.-B.-C.-D.-+-V3

32233

3.已知。是AA8C內一點，S.OA+OB+OC=0,點M在AO8C內（不含邊界），若翔=2次+〃/，則

2+2〃的取值范圍是

4.（22-23高三上?江蘇南通?開學考試）在“8C中，AB=3,AC=2,A=g過AASC的外心O的直線（不

經過點A）分別交線段/8,/C于。,E,且石=/冠，AE=^AC,則％+〃的取值范圍是（）

11+4n13H+4#23-

—18一，歷—is—，TJ

,14+3街13一14+3e23

—18—,10—is一，!?

考點三、“/或型綜合

典例引領

,）1?----------?-----------?

1.如圖，已知O為銳角三角形N8C的外心,/=§,且CM=xOB+yOC,求2x—y的取值范圍？

即時性測

1.（2023?全國?高三專題練習）在矩形ABC。中，48=1,40=6，動點P在以點C為圓心且與BD相切

的圓上.若萬=448+。，則2-〃的最小值為（）

A.V3B.1C.-1D.-V3

考點四、或型綜合

典例引領

1.（2023?浙江?高三專題練習）如圖，在直角梯形/BCD中，ABLAD,AB//DC,AB=2,

AD=DC=l,圖中圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動.若

AP=xAB+yAC,其中x，y&R,則4x-y的取值范圍是（）

C」3一立,3+立］D」3一姮,3+晅

4222

2.2022春?安徽六安?高三階段練習）在直角梯形/BCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=1,AB=2,E、

尸分別為AB、3C的中點，點尸在以A為圓心，為半徑的圓弧DE上變動，（如圖所示），若

AP=AED+/JAF,其中則2彳-〃的取值范圍是.

即時檢圓

1.（2023?四川?校聯考三模）在直角梯形/BCD中，ABLAD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

別為3C,。。的中點，以A為圓心，為半徑的半圓分別交A4及其延長線于點可，N,點尸在麗上

運動（如圖）.若方=2衣+〃游，其中彳，〃eR,則24-5〃的取值范圍是

D.[-20,2&]

考點五、系數和（等和線）的綜合應用

典例引領

1.如圖所示，A/18C中，NC=3,點加■是3C的中點，點N在邊NC上，且AN=2NC,與8N相交于

點尸，艮PN=2PM,則AIBC面積的最大值為

5.5.2.我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“勾股圓方圖"，后人稱其為"趙爽弦圖".如圖，

它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知形=2E8,M為線段48的中點，設

尸為中間小正方形EFGH內一點（不含邊界）.若礪=XME-MB,則2的取值范圍為.

2222

3.（2023?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，橢圓=+4=1（。>6>0）與雙曲線二-4=1（加>0,">0）有公共焦

abmn

點片（-c,0）,月（c,0）（c>0）,橢圓的離心率為G，雙曲線的離心率為ez,點？為兩曲線的一個公共點，且

13_

N單岑=60。，則=+?=____；/為△片尸鳥的內心，耳/G三點共線，且否."=0，》軸上點45滿足

e\e2

Q=彳"，BG=ILIGP,則22+4的最小值為.

即照測

1.Q024高三?全國?專題練習）在“8C中，三個內角分別為/,3,C,AB=4,ZC=3,BC=2,H^）^4BC

的垂心.若4H=x4B+y4C,則乙=.

X

2.（22-23高二下?廣東汕尾?期末）如圖，在“8C中，點。在線段48上，且=E是CD的中點,

延長4E交BC于點X,點P為直線上一動點（不含點/）,且萬=2萬+〃就（％〃eR）.若/2=4,

且/UC=〃5C,貝IJAC4/的面積的最大值為.

3.（20-21高一?江蘇?課后作業）已知AABC中，CD=-^BC,EC=^AC,AF=^AB,若點P為四邊形AEDF

內一點（不含邊界）且加=-；皮+無方，則實數x的取值范圍為.

III.好題沖關.

能力提?

1.（2023高三?全國?專題練習）在正方形A8CD中，AC與BD交于點O,E為邊8c上的動點（不含端點）,

一______21

AE=ZAC+]LIDO,則不+一的最小值為____.

Z/LI

2.（2023高三?全國?專題練習）如圖，四邊形CM8C是邊長為1的正方形，點。在04的延長線上，且

/。=1,點尸是ABC。（含邊界）的動點，設而=2反+〃歷，則4+〃的最大值為.

3.（22-23高一下?四川眉山?階段練習）已知點G是。8c的重心，過點G作直線分別與/用工。兩邊相交于

點、M,N兩點（點N與點、B,C不重合），設9=x而，AC=yAN,則一7+七的最小值為____.

x-iy-i

4.（2023高三?全國?專題練習）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓。，P為圓。上任一點，若

AP=xAB+yAC,則2x+2y的最大值為

5.（2023高三?全國?專題練習）如圖，在“8C中，M為邊8C上不同于8,C的任意一點，點N滿足

AN=2.NMAN=xAB+yAC,則爐+9y2的最小值為.

6.（22-23高一下?河南省直轄縣級單位?階段練習）如圖，四邊形/BCD是邊長為1的正方形，延長CD至

E,使得DE=2CD.動點尸從點/出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到/點，

7.（23-24高三下?安徽?階段練習）已知正方形/BCD的邊長為2,中心為O,四個半圓的圓心均為正方形

N8CZ）各邊的中點（如圖），若尸在病上，且萬=2萬+〃疝5,則彳+〃的最大值為.

8.（23-24高一下?天津?期中）如圖，在“3C中，AD=；AB,AE=；AC,CD與BE交于點、P,4B=2,

AC=3,APBC=1,則就.就的值為;過點尸的直線/分別交/反）。于點MN,設赤=優存,

AN=nAC（m>0,n>0）,則加+2〃的最小值為.

9.（21-22高三上?河南鄭州?階段練習）如圖，在扇形0/5中，408=120。，04=03=2,點河為05的

中點，點尸為曲邊“八四區域內任一點（含邊界），若加=加厲+〃兩，則加+〃的最大值為.

10.（22-23高三下,上海寶山?開學考試）如圖所示，NBAC=w，圓M與NC分別相切于點。，E,

AD=1,點尸是圓M及其內部任意一點，S.AP=xAD+yAE（x,yeR）,則2x+3y的取值范圍是

11.（2024高三下?全國?專題練習）如圖，平面內有三個向量次，OB，OC，其中方，礪=120。

OA,OC=30°,且畫=煙=1,|oc|=2百，若雙=〃而+〃礪，則加+〃=.

12.（22-23高二上?上海寶山?階段練習）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧3C上運動（包含B、C兩

2______

個端點），ABAC=-K,^.AP=xAB+yAC,則x+了+孫的取值范圍為.

13.（19-20高一上?黑龍江牡丹江?期末）如圖，扇形的半徑為1,圓心角NA4c=120。，點P在弧8c上運

動，AP=xAB+yAC,則3x+.y的最大值為.

14.（22-230高三上?浙江臺州?期末）如圖，己知正方形/5CD,點E,F分別為線段3C,8上的動點，且

\BE\=1\CF\,設就=x荏+y簫（x,jeR）,則x+y的最大值為.

15.（22-23高三?浙江?階段練