專題05講：二元一次方程組（考點清單）

【聚焦考點】

題型一：二元一次方程組的概念

題型二：解二元一次方程組

題型三：解二元一次方程組的應用

題型四：列二元一次方程組

題型五：工程問題和行程問題

題型六：方案問題

題型七：數字問題

題型八：分配問題

題型九：銷售利潤問題

題型十：和差倍問題

題型十一：古代問題

題型十二：幾何問題

【題型歸納】

題型一：二元一次方程組的概念

fx=3

【典例1】（2023上?廣東揭陽?八年級統考期末）若.是關于1,V的方程x+“y=13的一個解，則加的值是

U=-2

（）

A.-5B.5C.-8D.8

【專訓1-1]（2023上?河北保定?八年級統考期末）下列關于方程x+y=l的解的說法錯誤的是（）

（x=l

A.八是它的解B.它只有一個解

C.以它的解為坐標的點組成的圖象是一條直線D.它有無數多個解

【專訓1-2].（2022上.陜西西安?八年級?？计谀┘褐猍廣：是二元一次方程組的解，則2%-〃的算術

[y=l\nx-my=Y

平方根為（）

A.±2B.-2C.2D.4

題型二：解二元一次方程組

【典例2]（2023上?山東荷澤?八年級統考期末）解下列方程組:

x+y=4

(1)⑵34

3x-4y=2

【專訓2-1]（2023上?甘肅蘭州?八年級蘭州十一中校考期末）解方程組.

4x-y=15x=3(2y+l)

⑴y=2x+3⑵

3y—2x=-5

【專訓2-2】（2023上?山東棗莊?八年級統考期末）解方程（組）:

x+2y=1

(1)

3x-2y=U

::時，采用了一種“整體換元,，的解法.

（2）閱讀材料：善于思考的小明同學在解方程組

3（m+5）+2（〃+3）=7

角軍：把加+5,〃+3看成一個整體，設相+5=%,n+3=y,

3x-2y=—1

原方程組可化為

3x+2y=7，

x=lfm+5=1根=一4

解得QC?,?原方程組的解為

3=2〃+3=2n=-l

3(x+y)-4(x-y)=5

請仿照小明同學的方法，用“整體換元”法解方程組

蟲+0=0

I26

題型三：解二元一次方程組的應用

2x—y=5k+6

【典例3]（2023?山東聊城?統考一模）若關于x,y的方程組4x+7y=k的解滿足》k2。23,則人的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

x=2,rwc+ny=28，…,一、

【專訓3-1]（2023上?遼寧沈陽?八年級統考期末）已知。是二元一次方程組,『融=4的解'則碗+而的乂

y=3

方根為（)

A.2B.4C.8D.16

x-(4〃-2)?2

【專訓3-21,（2022上?重慶?八年級校聯考期中）若關于x的不等式組3x-li+2的解集為無＜4%且關于y、

——<——

23

。+

ty++z2z==24…5的解滿足j則滿足條件的所有整數。的和為（）

Z的二元一次方程組

A.-3B.-2C.0D.3

【典例4】（2023上?河北保定?八年級統考期末）《九章算術》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知

其數.甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十.問：甲、乙持錢各幾何?”題目大意是；甲、乙兩人各帶了若干

7

錢如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的那么乙也共有錢50.間：甲，乙兩

人各帶了多少錢?設甲，乙兩人持錢的數量分別為X,y,則可列方程組為（）

2%+y=50x+—y=50x--y=502x-y=50

22

A.2B.‘C2口.<

x+—y=502?X+2=50

13y+—x=50x——y=50

1313，13

【專訓4-1]（2021上?陜西咸陽?八年級統考期末）如圖，10塊相同的小長方形墻磚拼成一個大長方形，設小長方

形墻磚的長為％厘米，寬為V厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（）

x+2y=752x+y=75

C.

x=3yx=3y

【專訓4-2]（2023上?重慶沙坪壩?八年級重慶一中校考期末）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，共分三卷,

在卷下中記載了這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢各不知數.甲得乙中半，可滿四十八.乙得甲太半，亦

滿四十八.問甲、乙二人持錢各幾何？”譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢，不知道是多少.若甲得到乙錢數的看,

7

則甲的錢數為48.若乙得到甲錢數的?，則乙的錢數也為48.問甲、乙各有多少錢？”設甲持錢無，乙持錢》

則根據題意可以列出方程組為（）

L+y=48i

x+-y=48x--y=48XH-y--=48

2-2-2-2

A.2B,c2D-

2.1

x+—y=48—x+y=48—X+y=48XH—y=48

3<3b3

題型五：工程問題和行程問題

【典例5】（2023上?河北保定?八年級?？计谀暗吞忌睿G色出行”是一種環保、健康的生活方式，小麗從甲

地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行的時間x（min）

之間的函數關系式如圖中折線段M-3C-CD所示.在步行過程中，小明先到達甲地.有下列結論：

①甲、乙兩地相距5400m；

②兩人出發后30min相遇；

③小麗步行的速度為100m/min，小明步行的速度為80m/min；

④小明到達甲地時，小麗離乙地還有980m.

其中，正確結論的個數是（）

D.4

【專訓5?1】（2020上.重慶沙坪壩.八年級重慶八中?？计谀┈F有一段長為180米的河道整治任務，由A、6兩

個工程小組先后接力完成，A工程小組每天整治12米，6工程小組每天整治8米，共用時20天，設A工程小

組整治河道工天，6工程小組整治河道V天，依題意可列方程組（）

I卜+y=20

A，IA+2=20B.[12x+8y=180

1128

x+y=20

JcJx+y=180

C|A+2=20D,&+12y=20

1128

【專訓5-2]（2020?浙江紹興?統考中考真題）同型號的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210加2.它們各自單

獨行駛并返回的最遠距離是105km.現在它們都從A地出發，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃

料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車繼續行駛，到8地后再行駛返回A地.則B地最

遠可距離A地（）

A.120kmB.140kmC.160kmD.180km

題型六：方案問題

【典例6】（2021上?重慶沙坪壩?八年級重慶八中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車

正逐步成為人們喜愛的交通工具.某汽車公司計劃正好用190萬元購買A,3兩種型號的新能源汽車（兩種型號的

汽車均購買），其中A型汽車進價為20萬元/輛，3型汽車進價為30萬元/輛，則A,3型號兩種汽車一共最多購

買（）

A.9輛B.8輛C.7輛D.6輛

【專訓6-1]（2020上.浙江杭州?八年級統考期末）小聰去商店購買筆記本和鋼筆，共用了60元錢，已知每本筆記

本2元，每支鋼筆5元，若筆記本和鋼筆都需購買，且筆記本的數量多于鋼筆的數量，則小聰的購買方案有

（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【專訓6-2]（2023下?云南玉溪?八年級統考期末）某校計劃送370名師生（其中學生362人、教師8人）到全國

中小學生研學實踐教育基地之一的澄江化石地世界自然遺產博物館進行科普研學活動.現有甲、乙兩種大客車,

甲客車每輛可坐35人，乙客車每輛可坐50人，租用一輛甲客車和一輛乙客車共需700元，租用3輛甲客車和2

輛乙客車共需1700元.

（1）租用甲、乙兩種客車每輛各需多少元？

（2）要使每輛客車上至少要有1名教師，所有參與活動的師生都有車坐，則租用客車總數為8輛，設租用1輛甲客車，

租車的總費用為y元，則共有幾種不同的租車方案？哪種方案租車的總費用y最少？

題型七：數字問題

【典例7】（2022下?黑龍江大慶?八年級統考期末）一個兩位數，十位上的數與個位上的數之和是7,如果把這個兩

位數加上9,所得的兩位數的個位數字，十位數字恰好分別是原來兩位數的十位數字和個位數字，則這個兩位數是

（）

A.34B.43C.25D.52

【專訓7-1】（2021上?陜西西安?八年級?？计谀┯幸粋€兩位數和一個一位數若在這個一位數后面多寫一個0,則

它與這個兩位數的和是139；若用這個兩位數除以這個一位數，則商7余3,則這個兩位數為（）

A.59B.69C.79D.89

【專訓7-2］（2020上?江西萍鄉?八年級統考期末）小穎和小亮在做一道關于整數減法的作業題，小亮將被減數后

面多加了一個0,得到的差為750；小穎將減數后面多加了一個0,得到的差為-420,則這道減法題的正確結果為（）

A.-30B.-20C.20D.30

題型八：分配問題

【典例8］（2022下?山東德州?七年級統考期末）某車間有90名工人，每人每天平均能生產螺栓15個或螺帽24個，

要使一個螺栓配套兩個螺帽，應該如何分配工人才能使生產的螺栓和螺帽剛好配套？若設生產螺栓無人，生產螺帽

y人，則列方程組得（）

（x+y=90（x+y=9QJx+y=90x+y=90

A，jl5x=24yB，115x=48y=2（15-x）=24y

【專訓8-1］

23.（2023下?黑龍江大慶?八年級校考期末）某商店分兩次購進A,8型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數量及費用

如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A,B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲30%,20%.

購進的臺數

購進所需要的費用（元）

A型8型

第一次10203000

第二次15104500

（1）求第一次購進A,B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？

（2）A,2型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部

售出后，獲得的利潤為1800元.

①求A,B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？

②若按照第二次購進48型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000

元，求有哪幾種購進方案？

【專訓8-2124.（2023上?四川雅安?八年級統考期末）今年11月，某城市受疫情影響，為了人民健康采取了一系列

措施，某公司安排大、小貨車共20輛，分別從兩地運送320噸物資到該城市，支援抗擊疫情，每輛大貨車裝25噸

物資，每輛小貨車裝10噸物資，這20輛貨車恰好裝完這批物資，已知這兩種貨車的運費如表：

目的地

A地（元/輛）6地（元/輛）

車型

大貨車700800

小貨車300500

要安排上述裝好物資的20輛貨車中的12輛從A地出發，其余從3地出發.

⑴這20輛貨車中，若大貨車1輛、小貨車V輛，請求出1與V的值.

（2）若從A地出發的大貨車有〃輛（大貨車不少于5輛）這20輛貨車的總運費為加元，求總運費加的最小值.

題型九：銷售利潤問題

【典例9】（2020上?遼寧遼陽?八年級統考期末）元旦期間，燈塔市遼東商業城“女裝部”推出“全部服裝八折”，男裝

部推出“全部服裝八五折”的優惠活動.某顧客在女裝部購買了原價1元，在男裝部購買了原價y元的服裝各一套,

優惠前需付700元，而她實際付款580元，根據題意列出的方程組是（）

(x+y=580{x+y-700

[o.8x+O.85y=700[o.85x+O.8y=58O

Jx+y=700[x+y—700

[0.8x+Q.85y=700-580[o.8x+O.85y=58O

【專訓9-1].（2023下?云南紅河?八年級統考期末）紅星超市銷售每臺進價分別是160元，120元的I、II兩種型

號的吹風機，下表是近兩周的銷售情況.

銷售型號

銷售時間收入

團型團型

第一周3臺4臺1200元

第二周5臺6臺1900元

⑴求I、II兩種型號的吹風機的銷售單價.

（2）若紅星超市準備用不多于7500元的資金再購進這兩種型號的吹風機共50臺，請設計出能取得最大利潤的購進方

【專訓9-2]

（2023下?河南安陽?八年級校考期末）某商店銷售1臺A型和2臺B型電腦的利潤為400元，銷售2臺A型和1臺

8型電腦的利潤為350元.

⑴求每臺A型電腦和2型電腦的銷售利潤；

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍.設購進A掀電

腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元.

①求y與x的關系式；

②該商店購進A型、B型各多少臺，才能使銷售利潤最大？

⑶實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調機（0＜相＜100）元，且限定商店最多購進A型電腦70臺.若商店保持

兩種電腦的售價不變，請你根據以上信息及（2）中的條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.

題型十：和差倍問題

【典例10］（2012.浙江溫州.中考真題）楠溪江某景點門票價格：成人票每張70元，兒童票每張35元.小明買20

張門票共花了1225元，設其中有1張成人票，V張兒童票，根據題意，下列方程組正確的是【】

x+y=20x+y=20x+y=1225x+y=1225

A，{35^+70^=1225B-（70尤+35y=1225C'{70x+35y=20D'（35^+70y=20

【專訓10-1】.

.（2020上?廣東深圳?八年級?？计谀┮阎仔Ｔ?016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數變動的

原因只有轉出與轉入兩種，且轉出的人數比為1：3,轉入的人數比也為1：3.若寒假結束開學時甲、乙兩校人數相

同，問：乙校開學時的人數與原有的人數相差多少？（）

A.6B.9C.12D.18

【專訓10-21

（2022上?重慶泰江.八年級統考期末）新學期伊始，泰江區某中學的學子們積極響應學校的“書香校園”活動，踴躍

捐出自己喜愛的書籍，互相分享，讓閱讀成為一種習慣.據調查，某年級甲班、乙班共60人捐書，丙班有50人捐

書，已知乙班人均捐書數量比甲班人均捐書數量多5本，而丙班的人均捐書數量是甲班人均捐書數量的一半，若該

3

年級甲、乙、丙三班的人均捐書數量恰好是乙班人均捐書數量的《，且各班人均捐書數量均為正整數，則甲、乙、

丙三班共捐書一本.

題型十一：古代問題

【典例10］（2023上?四川成都?八年級統考期末）《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：今有甲發長安，五日

至齊；乙發齊，七日至長安.今乙發已先二日，甲仍發長安.問：幾何日相逢?譯文：甲從長安出發，5日到齊國；乙

從齊國出發，7日到長安.現乙先出發2日，甲才從長安出發.問：多久后甲、乙相逢?設甲出發％日，乙出發y日后

甲、乙相逢，則所列方程組正確的是（）

x-2-y

c.《:11,

—x+—y=1

157'

【專訓10-11.（2023上?遼寧錦州?八年級統考期末）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一

條竿子一條索，索比竿子長一托.折回索子卻量竿，卻比竿子短一托.”題目大意是：現有一根竿子和一條繩索，

用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺.設竿長為x尺，繩索長為y

尺，則符合題意的方程組是（）

元=）+5[y=x+5,.r<

fx=y-5y=x-5

A.\1B.\1C.{：=D.V「

-尤=y-5