第二章有理數專題訓練4絕對值綜合運用類型一

絕對值的分類討論1.

[2024蘇州相城區期中]已知｜

a

｜＝6，｜

b

｜＝4，且

a

，

b

異號，求｜

a

＋

b

｜－(

a

－

b

)的值.解：因為｜

a

｜＝6，｜

b

｜＝4，所以

a

＝±6，

b

＝±4.

因為

a

，

b

異號，所以有兩種情況：①當

a

＝6，

b

＝－4

時，原式＝｜6＋(－4)｜－[6－(－4)]＝－8.②當

a

＝－6，

b

＝4時，原式＝｜－6＋4｜－(－6－4)＝12.所以｜

a

＋

b

｜－(

a

－

b

)的值為－8或12.234561

234561

234561

234561

234561

234561

2345613.

[2024張家港校級期中](1)比較下列各式的大小.(用

“＜”“＞”或“＝”填空)①｜－2｜＋｜3｜

｜－2＋3｜；②｜－2｜＋｜－3｜

｜－2－3｜；③｜－2｜＋｜0｜

｜－2＋0｜；＞

＝

＝

234561(2)通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當

a

，

b

為有理數時，｜

a

｜＋｜

b

｜與｜

a

＋

b

｜的

大小關系；解：(2)當

a

，

b

異號時，｜

a

｜＋｜

b

｜＞｜

a

＋

b

｜；當

a

，

b

同號時(包括零)，｜

a

｜＋｜

b

｜＝｜

a

＋

b

｜，所以｜

a

｜＋｜

b

｜≥｜

a

＋

b

｜.234561(3)根據上述結論，求當｜

x

｜＋2

025＝｜

x

－2

025｜

時，

x

的取值范圍.解：(3)因為｜

x

｜＋2

025＝｜

x

－2

025｜，所以｜

x

｜＋｜－2

025｜＝｜

x

＋(－2

025)｜.由(2)可知

x

≤0.234561類型二

絕對值的非負性4.

[2024南京玄武區期中](1)若｜

x

＋2｜＋｜

y

－3｜＝0，求

x

－

y

＋1的值.解：(1)由題意得

x

＋2＝0，

y

－3＝0.解得

x

＝－2，

y

＝3.所以

x

－

y

＋1＝－2－3＋1＝－4.234561(2)已知｜

a

－2｜與｜

b

＋2｜互為相反數，求3

a

＋2

b

的值.解：(2)因為｜

a

－2｜與｜

b

＋2｜互為相反數，所以｜

a

－2｜＋｜

b

＋2｜＝0.所以

a

－2＝0，

b

＋2＝0，解

得

a

＝2，

b

＝－2.所以3

a

＋2

b

＝3×2＋2×(－2)＝6－

4＝2.2345615.

[2024南京棲霞區校級月考](1)｜

a

｜能取最

(填

“大”或“小”)值，是

.此時

a

滿足的條件是

?

?.(2)｜

a

｜＋2能取最

(填“大”或“小”)值，是

.此時

a

滿足的條件是

?.小0

a

＝

0

小2

a

＝0

234561(3)2－｜

a

－1｜能取最

(填“大”或“小”)值，

是

.此時

a

滿足的條件是

?.(4)｜

a

－1｜＋｜

a

＋2｜能取最

(填“大”或

“小”)值，是

.此時

a

滿足的條件是

?

?.大2

a

＝1

小3

－2≤

a

≤1

234561類型三

絕對值的幾何意義6.

綜合與探究：【背景知識】在學習絕對值后，我們知道，｜a｜表示數在數軸上的對應點到原點的距離.如圖，例如：｜5｜表示5在數軸上的對應點到原點的距離.而｜5｜＝｜5－0｜，即｜5｜也可理解為5，0在數軸上對應的兩點之間的距離.類似地，｜5－3｜表示5與3之差的絕對值，也可理解為5與3兩數在數軸上對應的兩點之間的距離.｜x－3｜的幾何意義是數軸上表示有理數3的點與表示數x的點之間的距離，一般地，點A，B在數軸上分別表示數a，b，那么

A，B之間的距離可表示為｜a－b｜.234561

1

－1或5

234561【拓展延伸】(4)如圖，

A

，

B

分別為數軸上的兩點，

A

點對

應的數為－20，

B

點對應的數為100.現有一只電子螞蟻

P

從

B

點出發