專題43相關點法確定圓的軌跡

【方法點撥】

1.雙動點、一顯一隱：已知條件中有兩個動點，一個動點的軌跡明顯易求，另一個隱藏極深

難求.

2.建立關聯：即建立雙動點的關系，最好以向量的形式出現，從而便于使用坐標形式.

3.消顯現隱：利用顯動點的軌跡方程，通過代入，從而求出隱動點的軌跡方程.

【典型題示例】

例1在平面直角坐標系尤Oy中，已知點A(3,4),B,C是圓0：/+9=4上的兩動點，

且BC=2后，若圓。上存在一點P使得通+/=7%而(相＞0),則正數m的取值范

圍是.

【答案】[4,6]

【分析1BC是定長弦，動中取靜,直接取的中點為D易求出點。的軌跡方程是/+y2=l,

再求另一動點P的軌跡方程，利用m的幾何意義求出其取值范圍.

【解析】設的中點為。，則。。=1,故點D的軌跡方程是r+尸=1

為BC的中點

/.AB+AC=2AD

2AD=mOP

設。(九,y),P(x0,y0)

2x-6=nvc

???2(%—3?—4)=加(%,%),故有《

[2y-S=my0

又：「(％,北)在圓。上

224)22

/.x0+y0=4,故有0—3)2+(y—=加

這里加的幾何意義是點。(羽y)到點A(3,4)的距離

又：點D的軌跡方程是f+丁=1

.?.點。(羽y)到點A(3,4)距離的最大值是6,最小值是4

：.m的取值范圍是[4,6].

例2已知是圓。：(+y2=2的一條弦，且=M是42的中點，若動點P(f,f

+2),Q(m,-2),使得四邊形PM0Q為平行四邊形，則實數機的最大值是.

【答案】-3

【解析】易得點M的軌跡方程是尤2+產=g

???四邊形PMOQ為平行四邊形

：.OM=QP

設(x0,y0)=(?-mJ+4),

又??M(x0,y0)在圓/+y2=g上

211

-m)2+(/+4)-=—,可看作動點與動點,-4)距離的平方是5

實數初的最大值是一3.

例3在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：V+Cv—1)2=1及點A(G,0),設點尸圓C上

的一動點，在中，若NACP的平分線與AP相交于。(相，〃)，則廂二廠的取值范

圍是.

…力、一年2V7+2-

【答案】-------------

33

AQAC—?一

【解析】由角平分線性質定理得啟=7石=2?.AQ=2QP

3m-^3

%o=

2

設？(%,%){m-73,n)=2(x0-m,y0-n),故有＜

|%=萬3n

又?.?尸(%,%)在圓。上

’3加一6)(3n八2(73?(2丫4

2卜51

〔3J13；9

故點。的軌跡是以1J為圓心1為半徑的圓

vy/nr+n2的幾何意義是點Q到坐標原點的距離

L~B(百丫(2?2V7+2

+n的最大值、取小值分別是J+—+~=—-—

V333

(6丫(2丫2_A/7-2

+⑴-3=3

故府方的取值范圍是五二2,也出

【鞏固訓練】

1.若點A在圓C:(x—l『+(y+2)2=4上運動，點8在y軸上運動，定點尸(3,2),貝|

\PA+PB\的最小值為.

2.在平面直角坐標系xOy中，已知A,8為圓C：。+4>+&-a>=16上兩個動點，且45

=2”!1.若直線/：y=2尤上存在唯一的一個點P,使得前+而=近，則實數。的值

為

3.已知AABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點。滿足

AQ=^AP+^AC,貝”苑|的最小值是.

4.在平面直角坐標系xOy中，己知點4(2,2),E、R為圓C:(x—爐+(y—=4上的

兩動點，且ER=273，若圓C上存在點P，使得AE+AF=mCP,m>0,則m的取

值范圍為.

5.已知點。為圓。：/+丁=4的弦的中點，點A的坐標為(1,0),且加?麗r=1,則

OAOD的最小值為.

6.在平面直角坐標系xOy中，已知點A,8分別為x軸，>軸上一點，且AB=2,若點

PQ,后,則所+而+叫的取值范圍是.

7.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M,N分別是邊BC,CD上的兩個動點，且BM+

DN=MN,則疝?尿的最小值是.

8.在平面直角坐標系xOy中，直線小fcc—y+2=0與直線氏x+處一2=0相交于點P,則

當實數%變化時，點P到直線x—y—4=0的距離的最大值為.

9.已知A,B是圓Ci：x2+y2=l上的動點，AB=[5,P是圓C2：(x—3)2+(y—4)2=l上的

動點，則函+聞|的取值范圍是.

10.設定點M(—3,4),動點N在圓/+產=4上運動，以。M、0N為兩邊作平行四邊形MONP,

則點P的軌跡是.

【答案或提示】

1.【答案】3

【解析】設A5的中點為Q(x,y),A&,%),6(0,%)

演=2x

,所以4

%+乂yY=2y-y2

2

..?點A在圓。上

（2x—l）2+（2y—乂+2）2=4,Up（x-1）2+（y-^+l）2=1

它表示以C'（g,券—1）為圓心，1為半徑的圓

3

?*-PQ^=PCmin-i=-

?.?。為A3的中點

：.PA+PB=2PQ

故|西+方|的最小值為3.

2.【答案】2或-18

【解析一】設A2的中點為M（xo,yo）,P（x,y）,

則由AB=2?,得CM=N16-11=鄧,即點M的軌跡為ao+4）2+（yo—。）2=5.

又因為友+￥亍=/\所以句

即（北）_》，州―丫）=（-2,3，

xo=x-2,

從而1,a則動點P的軌跡方程為@+2）2+（廠郛=5,

州=）+5，、々

又因為直線i上存在唯一的一個點P,所以直線i和動點P的軌跡（圓）相切，

?40|

則“、3=^=巾,解得a=2或。=—18?

V（-l）2+22

【解析二】由題意，圓心C到直線42的距離&=716-11=小,

則AB中點M的軌跡方程為（尤+4）2+。-。）2=5.

由高+定=碇，得2句/=/，所以說〃員

如圖，

連結CM并延長交I于點N,則CN=2CM=2乖.

故問題轉化為直線I上存在唯一的一個點N,使得CN=2y[5,所以點C到直線I的距離

I2（-4-3）|

為---//、,r-=2鄧,解得。=2或a=—18-

V（-l）2+22

3.【答案】々-2

3

【解析】以點A為坐標原點，AB為x軸正半軸，使得C落在第一象限，建立平面直角坐標

系

設P(x(),%)，Q(x,y)

2133

X=-XnH--=—x——

2__.1__.32,,24

貝ij由而得:廠,故＜

2V33373

:點P在單位圓上

為圓心,2為半徑的圓

3

又BD=幣,所以|麗|的最小值是近-1.

4.【答案】|^A/2—1,^2+1J

【分析】取EF中點為M，連接40,得到通+通=2汨，由近+福=機麗,，〃>0

得到機=而，再由E、歹為圓C:(x—I)?+(y—I?=4上的兩動點，目EF=26，

得到

|CM|=1,設M(x,y),求出點M的軌跡，再由點與圓位置關系，求出日而|的取值范圍,

即可求出結果.

【解析】取所中點為川，連接40,

則赤+赤=2血，

又圓C:(x—l)?+(y—1)2=4上存在點尸，使得衣+/=帆麗/〃>0,

所以2加=加而，

因此21AAi|，即"z=|AAf］；

因為E、歹為圓C:(x—l)?+(y—I)?=4上的兩動點，且EF=26，

所以|C"|==1，設M(x,y),

則J(x-l)2+(y_l)2=1，即(x—iy+(y—I)?=1即為動點M的軌跡;

所以|加|表示圓（x-l）2+（y—1）2=］上的點與定點42,2）之間的距離,

因止匕|AC|—if麗+即近一麗7上0+1.

GPV2-l<m<V