2024-2025學(xué)年度上學(xué)期10月份月考數(shù)學(xué)試卷命題人：高三數(shù)學(xué)組第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每個(gè)小題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題5分，共40分）Ax∣x22x30，B{∣y2x}，則AB（）1．設(shè)集合A．z2B．C．D．2．若2i，則z（B．1i）zA．1iC．1iD．1in3．已知Sn為等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和，p:S4S3a，q:a為常數(shù)列，則（）n2A．p是q的充分不必要條件C．p是q充要條件B．p是q的必要不充分條件D．p是q的既不充分也不必要條件14．已知銳角，滿足sincos，tantan3tantan3，則與的大小關(guān)系5為（）A．B．44C．D．445．在等差數(shù)列a中，若42928，則下列說法錯(cuò)誤的是（）nA．19B．45D．滿足Sn0的n的最大值為19C．Sn的最大值為4543，cos2539則6．已知，,sin（）4234242942223223A．B．C．D．97．已知函數(shù)f(x)Ax)A0,0,|的部分圖象如圖所示，D0)，B(2,)，2BCCD，則f(4)（）A．4B．10C．25D．422x2axa,x08．已知函數(shù)f(x)e的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）xln(xx0A．(,2]B．[0]C．(,2][2,)D．(,[2,)二、多選題（每小題6分，每個(gè)小題漏選2或3分或4分，有錯(cuò)選不得分，共18分）ax2bxc0的解集是(，則下列說法正確的是（）9．已知A．bc011bxa0的解集為,2B．不等式2312b4C．a(chǎn)的最小值是4D．當(dāng)c2時(shí)，若f(x)ax2bx，x1,2的值域是[，則nn[2,4]2110．設(shè)f(x)asin2xacos2x，其中aR，a0A．f(x)相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離是B．f(x)2a）3C．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k,k(kZ)6D．f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．6f(x)x3ax21，則（）11．已知函數(shù)A．曲線yf(x)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱B．a(chǎn)R，f(x)無極值C．若f(x)在(2,)上單調(diào)遞增，則a3D．若曲線yf(x)與x軸分別交于點(diǎn)Ax,0，Bx,0，Cx,0，且在這三個(gè)點(diǎn)處的切線斜率分別312111為k，k，k則為定值1231k2k3第II卷（非選擇題）三、填空題（每個(gè)小題5分，共15分）f(3x4)0的解集為__________．12．已知函數(shù)f(x)2xsin2x，則不等式fx22sin21342，則a的前n13．已知數(shù)列a滿足nn1sina(n2)an2sin2n1122n項(xiàng)和Sn_________．log2x2x,x014．若函數(shù)f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是__________．sinx,x03四、解答題（15題13分，16、17題每小題15分，18、19題每小題17分，共77分）1513分）已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bsinCcBc（1）求角B．（2）若為銳角三角形，且a2，求面積的取值范圍．1615分）設(shè)a是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，已知a與2的等差中項(xiàng)等于S與2的等比中項(xiàng)．nnnn（1）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n1aannN*，求b的前n項(xiàng)和．n（2）令bn1n2anan11715分）已知曲線()fxaxb在x0處的切線過點(diǎn)aex22a1．（1）試求ba2的值；（2）討論f(x)的單調(diào)性；32（3）證明：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2lna1817分）．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊1AB，AC上動(dòng)點(diǎn)，EF交AD于G．已知b4，且2csinABasinAbsinBbsinC．4（1）求c邊的長度；（2）若217，求BAC的余弦值；（3）在（2）的條件下，若△4△，求的取值范圍．1917分）已知對(duì)任意正整數(shù)n，均有cos(nx)anxacosn1xLaxa，我們稱0nnf(x)axnaxn1Laxa(1x為n次切比雪夫函數(shù)．nn110（1）若f(x)為3次切比雪夫函數(shù)，求f的值．(2k4n(kL,2n)．證明：（2）已知f(x)為2n次切比雪夫函數(shù)，若數(shù)列k滿足k①數(shù)列x中的每一項(xiàng)均為f(x)的零點(diǎn)；kn1n②當(dāng)n2時(shí)，．22n4n2024-2025學(xué)年度上學(xué)期10月份月考數(shù)學(xué)試卷答案一、單選題1-8．CABB二、多選題9．ACDDCAC10．AD11．BD．三、填空題n113．22n117103312．(14．,2四、解答題151）bsinCcBc，由正弦定理得：3sinBsinCsinCBsinC，612因?yàn)?C，sinC0，所以3sinBcosB1，所以sinB，因?yàn)?B，所以B（2）由題設(shè)，解得B；663231AsinA3sinA322133a3sinCsinA3sinA33SacsinBcsinC222sinAsinA22tanA，因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以0A，0CA從而A，2326233333可得tanA，所以0，則面積的取值范圍是,23．32tanA2212161）由題意，當(dāng)n1時(shí)有2S，Sa，111212an2n2a，解得：a21，2SnN*，所以122112，由此得Sn1a2，2整理得Snann18818222a2，所以an1Sn1Snan1n40，由題意知n1n0，整理得aan1nn1n所以n1a4，即數(shù)列a為等差數(shù)列，其中12，公差d4，nn所以an4n2．（2）令cb1，nn1an12n12n111則cn1211，n2nn122n12n12n12n1故bbLbnccLc，12n12n111335111Tn1L12n12n12n1n1所以nn1．2n1171）函數(shù)()fxaxb，求導(dǎo)得f(x)aeexx1，則f(0)a1，而f(0)ab，因此曲線f(x)在x0處的切線方程為yab(ax，即y(axab，a22a1a1ab，0．依題意，所以則ba2f(x)aexxa2，其定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f(x)aex1，（2）由（1）知函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在R上單調(diào)遞減；fx當(dāng)a0時(shí)，由()aex10，得xa，當(dāng)xa時(shí)，f(x)0，f(x)在(,a)上單調(diào)遞減；當(dāng)xa時(shí)，f(x)0，f(x)在(a,所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(,a)上單調(diào)遞減，在(a,)上單調(diào)遞增．)上單調(diào)遞增；a1af(x)f(a)aeaa2c，（3）由（2）得3231要證明f(x)2lna，即證1a2a2lna，即證a2a0，22112a21令g(a)a2a，求導(dǎo)得g(a)2a，2aa22由g(a)0，得0a，由g(a)0，得a，2222即函數(shù)g(a)在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，2222212因此g(a)g20，22221g(a)aa0恒成立，2即232所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)2lna．1181）由已知2csinABasinAbsinBbsinC，412Ba2b2bc．由正弦定理角化邊可得，4c2a2b212a2bbc，2由余弦定理角化邊可得，2ac41．c2bc，即b4c整理可得，4因?yàn)閎4，所以c1．1（2）因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以(AC)．2設(shè)AB，AC的夾角為，|1212178cos222ABc2bbccos2則22112c2cos14cos又ABADAB(ABAC)ABABAC，222ABAD|AB||AD|14cos21所以cosBAD，178cos728cos110，整理可得28cos111解得cos或cos．214217又0，所以AB0，14cos0，112所以cos，所以BAC的余弦值為．2（3）由（2）可得，ABAC|AB||AC|cos2．由已知可設(shè)ADkAG，，AF(k,,所以|AB|AE|，|AE|AB|1|AC|4，|AC|AF|，|AF．121|AB||AC|sin14sinSVSV2因?yàn)?，所以4．1114sin2|AE||AF|sin2．11由ADABAC可得，2k，即222k2k由G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得1，即2k．2k2k所以AGEFAD(AFAE)1k|AC||AB|11111111(ABAC)ACAB22ABAC2k2k46116122363442k3642436224283628．244244244因?yàn)?，所以4，即4]，所以2420]，282028285285282822842235所以，即，即6，2424205332869所以6，1042420所以AGEF103693691020，所以的取值范圍為,．201913x2xxsin2xsinx23xx2sin2xx4x3cosx，3f(x)4x3x，則f431．3所以f(x)3x3a2xaxa，102（方法二）由題意得令x0，得0a0acosn10a0an1，nn110即nn1a1，則faaaa1．03210f(x)ax2n2n1x2n1Laxa，10（2）證明：①由題可知2nax2n1cos2n1k2nkL則fk1k02k．2n(2k4n2k1因?yàn)閗，所以fk2nxcos2ncosk0，2k4n所以數(shù)列x中的每一項(xiàng)均為